Diagrama Bode

Diagrama Bode pentru un filtru Butterworth de prim ordin

Un grafic Bode este o reprezentare grafică a răspunsului în frecvență al unui sistem liniar invariant în timp (LTI) și care constă din două grafice reprezentând respectiv amplitudinea (sau modulul) și faza funcției complexe de răspuns în frecvență. Ne amintim că vorbim despre răspunsul în frecvență atunci când funcția de transfer a unui sistem liniar de timp invariant este solicitată de o intrare de tip sinusoidal cu pulsație ω pe măsură ce variază.

Denumirea acestui tip de reprezentare se datorează savantului american Hendrik Wade Bode , un pionier în studiul teoriei controalelor și a telecomunicațiilor electronice.

Spre deosebire de reprezentarea polară sau diagrama Nyquist , reprezentarea modulului și a fazei funcției de transfer nu are loc pe un singur plan cartesian , ci în două distincte care au frecvența sau pulsația pe abscisă , ca variabilă independentă, frecvența sau pulsația și în ordonată exact modulul amplitudinii exprimat de obicei în decibeli sau faza exprimată în grade sau radiani.

Cele două diagrame pot fi rareori schimbate independent unul de celălalt - dacă modificați răspunsul în formă, cel mai probabil veți schimba răspunsul în fază și invers. Pentru sistemele de fază minime este posibilă urmărirea diagramei de răspuns de fază din diagrama de răspuns de modul folosind transformata Hilbert .

Diagrama Bode își găsește aplicația, de exemplu, în teoria controalelor , în teoria sistemelor , în proiectarea filtrelor și amplificatoarelor .

Diagrama Bode

Scara logaritmică

Pentru a facilita studiul unui spectru mare de pulsații, atât diagrama modulului, cât și diagrama fazelor sunt reprezentate pe hârtie logaritmică sau semi-logaritmică împărțită în decenii. Cardul semilogaritmic se caracterizează prin faptul că distanța separă două valori $\omega _{a}$ ${\ displaystyle \ omega _ {a}}$ $\ omega _ {a}$ Și $\omega _{b}$ ${\ displaystyle \ omega _ {b}}$ $\ omega _ {b}$ este proporțională cu diferența dintre logaritmii (de obicei baza 10) a $\omega _{a}$ ${\ displaystyle \ omega _ {a}}$ $\ omega _ {a}$ Și $\omega _{b}$ ${\ displaystyle \ omega _ {b}}$ $\ omega _ {b}$ . Având în vedere aceste premise, o posibilă reprezentare a valorilor pulsației pe diagrama semilogaritmică ar putea fi

Valorile pulsației pe diagrama semilogaritmică

Avantajele utilizării diagramelor logaritmice sunt în mod substanțial posibilitatea reprezentării cu detalii cuvenite a cantităților care variază în câmpuri considerabil extinse și posibilitatea simplificării calculelor de multiplicare care, în cazul logaritmilor, sunt pur și simplu reduse la sume.

Diagrama formularului

Diagrama modulului arată, pe diagrama semi-logaritmică, pulsația pe axa absciselor, în timp ce pe axa ordonată modulul exprimat în decibeli , adică modulul exprimat conform formulei ^[1]

$\left|{F(j\omega )}\right|_{dB}=20\log _{10}\left({\left|{F(j\omega )}\right|}\right)$ ${\ displaystyle \ left | {F (j \ omega)} \ right | _ {dB} = 20 \ log _ {10} \ left ({\ left | {F (j \ omega)} \ right |} \ right )}}$ $\ left | {F (j \ omega)} \ right | _ {{dB}} = 20 \ log _ {{10}} \ left ({\ left | {F (j \ omega)} \ right |} \ dreapta)$

Diagrama fazelor

Diagrama de fază reprezintă amplitudinile asumate de argumentul lui F pentru diferite valori ale $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ . De asemenea, în acest caz este util să se utilizeze diagrama semilogaritmică care indică pulsațiile pe axa absciselor și amplitudinile, de obicei exprimate în grade, pe axa ordonată.

Diagramele asimptotice

Pentru a reprezenta diagrama reală Bode, atât a modulului cât și a fazei, este necesară o cantitate deosebit de mare de calcule, trebuind să evalueze modulul și faza funcției F pentru o gamă foarte largă de valori de pulsație, iar aceasta, în absența unui calculator electronic care efectuează mai multe calcule într-un timp scurt, poate fi foarte dificilă sau altfel consumatoare de timp. Pentru a depăși această problemă, este o practică obișnuită să desenăm diagrame Bode pornind de la diagrame asimptotice și aproximând comportamentul graficelor reale din ele.

Funcția normală de transfer al formularului

Funcția de transfer a unui sistem este cu siguranță o funcție fracțională adecvată, în care ieșirile apar în numărător și intrările în numitor. Pentru a studia mai ușor o funcție de transfer este util să o raportați în formă canonică sau în formă Bode . Această formă specială este alcătuită dintr-o serie factorizată de monomii , binomii și trinomii exprimate în variabila complexă Laplace . Acesta ia forma:

G(s)={\frac {\mu }{s^{g}}}\cdot {\frac {\prod \limits _{i=1}^{p}{\left({1+T_{i}s}\right)}\cdot \prod \limits _{i=1}^{q}{\left({{\frac {s^{2}}{\omega _{n_{i}}^{2}}}+2\xi _{i}{\frac {s}{\omega _{n_{i}}}}+1}\right)}}{\prod \limits _{i=1}^{m}{\left({1+\tau _{i}s}\right)}\cdot \prod \limits _{i=1}^{w}{\left({{\frac {s^{2}}{\omega _{n_{i}}^{2}}}+2\zeta _{i}{\frac {s}{\omega _{n_{i}}}}+1}\right)}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {\ mu} {s ^ {g}}} \ cdot {\ frac {\ prod \ limits _ {i = 1} ^ {p} {\ left ({1+ T_ {i} s} \ right)} \ cdot \ prod \ limits _ {i = 1} ^ {q} {\ left ({{\ frac {s ^ {2}} {\ omega _ {n_ {i} } ^ {2}}} + 2 \ xi _ {i} {\ frac {s} {\ omega _ {n_ {i}}}} + 1} \ right)}} {\ prod \ limits _ {i = 1} ^ {m} {\ left ({1+ \ tau _ {i} s} \ right)} \ cdot \ prod \ limits _ {i = 1} ^ {w} {\ left ({{\ frac { s ^ {2}} {\ omega _ {n_ {i}} ^ {2}}} + 2 \ zeta _ {i} {\ frac {s} {\ omega _ {n_ {i}}}} + 1 } \ dreapta)}}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {\ mu} {s ^ {g}}} \ cdot {\ frac {\ prod \ limits _ {i = 1} ^ {p} {\ left ({1+ T_ {i} s} \ right)} \ cdot \ prod \ limits _ {i = 1} ^ {q} {\ left ({{\ frac {s ^ {2}} {\ omega _ {n_ {i} } ^ {2}}} + 2 \ xi _ {i} {\ frac {s} {\ omega _ {n_ {i}}}} + 1} \ right)}} {\ prod \ limits _ {i = 1} ^ {m} {\ left ({1+ \ tau _ {i} s} \ right)} \ cdot \ prod \ limits _ {i = 1} ^ {w} {\ left ({{\ frac { s ^ {2}} {\ omega _ {n_ {i}} ^ {2}}} + 2 \ zeta _ {i} {\ frac {s} {\ omega _ {n_ {i}}}} + 1 } \ dreapta)}}}}

Semnificația diferiților membri ai acestei funcții sunt:

$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ : Valoare constantă care exprimă câștigul funcției de transfer
$s^{g}$ ${\ displaystyle s ^ {g}}$ $s ^ {g}$ : Zero sau poli în origine, în funcție de valoarea asumată de g.
${\left({1+T_{i}s}\right)}$ ${\ displaystyle {\ left ({1 + T_ {i} s} \ right)}}$ ${\ left ({1 + T_ {i} s} \ right)}$ : Zero real al funcției de transfer.
${\left({1+\tau _{i}s}\right)}$ ${\ displaystyle {\ left ({1+ \ tau _ {i} s} \ right)}}$ ${\ left ({1+ \ tau _ {i} s} \ right)}$ : Polul real al funcției de transfer.
${\left({{\frac {s^{2}}{\omega _{n}^{2}}}+2\xi {\frac {s}{\omega _{n}}}+1}\right)}$ ${\ displaystyle {\ left ({{\ frac {s ^ {2}} {\ omega _ {n} ^ {2}}} + 2 \ xi {\ frac {s} {\ omega _ {n}}} +1} \ dreapta)}}$ ${\ left ({{\ frac {{s ^ {2}}} {{\ omega _ {n} ^ {2}}}} + 2 \ xi {\ frac {s} {{\ omega _ {n} }}} + 1} \ dreapta)}$ : Pereche de zerouri complexe conjugate.
${\left({{\frac {s^{2}}{\omega _{n}^{2}}}+2\zeta {\frac {s}{\omega _{n}}}+1}\right)}$ ${\ displaystyle {\ left ({{\ frac {s ^ {2}} {\ omega _ {n} ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {s} {\ omega _ {n}}} +1} \ dreapta)}}$ ${\ left ({{\ frac {{s ^ {2}}} {{\ omega _ {n} ^ {2}}}} + 2 \ zeta {\ frac {s} {{\ omega _ {n} }}} + 1} \ dreapta)}$ : Pereche de poli conjugați complexi.

Prin restricționarea domeniului de la $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ la $j\omega$ ${\ displaystyle j \ omega}$ ${\ displaystyle j \ omega}$ , în condițiile extinderii analitice , trecem la forma canonică , ceea ce face posibilă studierea mai ușoară a tendinței funcției, aflându-ne acum în domeniul transformatei Fourier. Pe o scară semilogaritmică (măsurând amplitudinea în dB), de fapt, toți producătorii sunt transformați în însumări și este posibil să se studieze fiecare membru al funcției separat, ceea ce aduce contribuții diferite atât pe diagrama modulului, cât și pe diagrama de fază. Modulul lui H (s) , de fapt, va fi suma algebrică a modulelor tuturor factorilor, precum și faza va fi suma algebrică a fazelor tuturor factorilor.

Funcția de transfer după efectuarea înlocuirii apare în formularul:

H(j\omega )=k\cdot {\frac {\prod _{i=1}^{p}(1+T_{i}j\omega )\prod _{i=1}^{q}({\frac {(j\omega )^{2}}{\omega _{n_{i}}^{2}}}+{\frac {2\xi _{i}}{\omega _{n_{i}}}}j\omega +1)}{(j\omega )^{g}\prod _{i=1}^{\mu }(1+\tau _{i}j\omega )\prod _{i=1}^{w}({\frac {(j\omega )^{2}}{\omega _{n_{i}}^{2}}}+{\frac {2\zeta _{i}}{\omega _{n_{i}}}}j\omega +1)}}

{\ displaystyle H (j \ omega) = k \ cdot {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {p} (1 + T_ {i} j \ omega) \ prod _ {i = 1} ^ { q} ({\ frac {(j \ omega) ^ {2}} {\ omega _ {n_ {i}} ^ {2}}} + {\ frac {2 \ xi _ {i}} {\ omega _ {n_ {i}}}} j \ omega +1)} {(j \ omega) ^ {g} \ prod _ {i = 1} ^ {\ mu} (1+ \ tau _ {i} j \ omega ) \ prod _ {i = 1} ^ {w} ({\ frac {(j \ omega) ^ {2}} {\ omega _ {n_ {i}} ^ {2}}} + {\ frac {2 \ zeta _ {i}} {\ omega _ {n_ {i}}}} j \ omega +1)}}}

H (j \ omega) = k \ cdot {\ frac {\ prod _ {{i = 1}} ^ {p} (1 + T_ {i} j \ omega) \ prod _ {{i = 1}} ^ {q} ({\ frac {(j \ omega) ^ {2}} {\ omega _ {{n_ {i}}} ^ {2}}} + {\ frac {2 \ xi _ {i}} { \ omega _ {{n_ {i}}}}} j \ omega +1)} {(j \ omega) ^ {g} \ prod _ {{i = 1}} ^ {\ mu} (1+ \ tau _ {i} j \ omega) \ prod _ {{i = 1}} ^ {w} ({\ frac {(j \ omega) ^ {2}} {\ omega _ {{n_ {i}}} ^ {2}}} + {\ frac {2 \ zeta _ {i}} {\ omega _ {{n_ {i}}}}} j \ omega +1)}}

Exemplu

Cerere

Funcția de transfer este dată $G(s)$ ${\ displaystyle G (s)}$ ${\ displaystyle G (s)}$ și doriți să găsiți câștigul, tipul, zerourile sau polii din origine, zerourile și polii reali și zerourile și polii complexi conjugați.

G(s)={\frac {8s^{2}\left({1+s}\right)\left({{\frac {s^{2}}{100}}+2\cdot 0{,}3{\frac {s}{10}}+1}\right)}{\left({1+0{,}2s}\right)^{2}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {8s ^ {2} \ left ({1 + s} \ right) \ left ({{\ frac {s ^ {2}} {100}} + 2 \ cdot 0 {,} 3 {\ frac {s} {10}} + 1} \ right)} {\ left ({1 + 0 {,} 2s} \ right) ^ {2}}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {8s ^ {2} \ left ({1 + s} \ right) \ left ({{\ frac {s ^ {2}} {100}} + 2 \ cdot 0 {,} 3 {\ frac {s} {10}} + 1} \ right)} {\ left ({1 + 0 {,} 2s} \ right) ^ {2}}}}

Soluţie

În primul rând este mai bine să rescrieți funcția într-o expresie care „seamănă” mai mult cu cea canonică scrisă mai sus atunci

G(s)={\frac {8s^{2}\left({1+s}\right)\left({{\frac {s^{2}}{100}}+2\cdot 0{,}3{\frac {s}{10}}+1}\right)}{\left({1+0{,}2s}\right)^{2}}}={\frac {8}{s^{-2}}}\cdot {\frac {\left({1+s}\right)\left({{\frac {s^{2}}{100}}+2\cdot 0{,}3{\frac {s}{10}}+1}\right)}{\left({1+0{,}2s}\right)\left({1+0{,}2s}\right)}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {8s ^ {2} \ left ({1 + s} \ right) \ left ({{\ frac {s ^ {2}} {100}} + 2 \ cdot 0 {,} 3 {\ frac {s} {10}} + 1} \ right)} {\ left ({1 + 0 {,} 2s} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {8 } {s ^ {- 2}}} \ cdot {\ frac {\ left ({1 + s} \ right) \ left ({{\ frac {s ^ {2}} {100}} + 2 \ cdot 0 {,} 3 {\ frac {s} {10}} + 1} \ right)} {\ left ({1 + 0 {,} 2s} \ right) \ left ({1 + 0 {,} 2s} \ dreapta)}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {8s ^ {2} \ left ({1 + s} \ right) \ left ({{\ frac {s ^ {2}} {100}} + 2 \ cdot 0 {,} 3 {\ frac {s} {10}} + 1} \ right)} {\ left ({1 + 0 {,} 2s} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {8 } {s ^ {- 2}}} \ cdot {\ frac {\ left ({1 + s} \ right) \ left ({{\ frac {s ^ {2}} {100}} + 2 \ cdot 0 {,} 3 {\ frac {s} {10}} + 1} \ right)} {\ left ({1 + 0 {,} 2s} \ right) \ left ({1 + 0 {,} 2s} \ dreapta)}}}

Din care se recunoaște imediat că câștigul este $\mu =8$ ${\ displaystyle \ mu = 8}$ ${\ displaystyle \ mu = 8}$ iar tipul este $g=-2$ ${\ displaystyle g = -2}$ $g = -2$ (adică există două zerouri în origine). Se vede apoi zero-ul real $s=-1$ ${\ displaystyle s = -1}$ $s = -1$ și dublu pol regal $s=-5$ ${\ displaystyle s = -5}$ $s = -5$ . În cele din urmă, există prezența unei perechi de zerouri complexe conjugate cu pulsație naturală $\omega _{n}=10$ ${\ displaystyle \ omega _ {n} = 10}$ $\ omega _ {n} = 10$ și amortizare $\xi =0{,}3$ ${\ displaystyle \ xi = 0 {,} 3}$ ${\ displaystyle \ xi = 0 {,} 3}$ .

Câștigul unei funcții de transfer

Graficul câștigului unei funcții de transfer apare, destul de simplu, ca o linie orizontală a modulului $20\log _{10}\left|\mu \right|dB$ ${\ displaystyle 20 \ log _ {10} \ left | \ mu \ right | dB}$ $20 \ log _ {{10}} \ left | \ mu \ right | dB$ și altul de lățime $\arg \left(\mu \right)$ ${\ displaystyle \ arg \ left (\ mu \ right)}$ $\ arg \ left (\ mu \ right)$ .

Exemplu

Diagrama Bode a

G(s)=2

{\ displaystyle G (s) = 2}

G (s) = 2

Vrem să trasăm diagrama reală Bode a funcției de transfer $G(s)=2$ ${\ displaystyle G (s) = 2}$ $G (s) = 2$

Modul

Diagrama modulului este o linie orizontală de ordonată egală cu $20\log _{10}\left|2\right|\simeq 6dB$ ${\ displaystyle 20 \ log _ {10} \ left | 2 \ right | \ simeq 6dB}$ $20 \ log _ {{10}} \ left | 2 \ right | \ simeq 6dB$

Fază

Diagrama de fază este, de asemenea, o linie orizontală de ordonată egală cu $\arg \left(2\right)=0^{\circ }$ ${\ displaystyle \ arg \ left (2 \ right) = 0 ^ {\ circ}}$ $\ arg \ left (2 \ right) = 0 ^ {\ circ}$

Polii în zero: $(j\omega )^{m}$ ${\ displaystyle (j \ omega) ^ {m}}$ $(j \ omega) ^ {m}$

Polii unei funcții de transfer sunt definiți ca rădăcinile numitorului (și, prin urmare, ale intrării). Din moment ce studiem polii generați de $(j\omega )^{m}$ ${\ displaystyle (j \ omega) ^ {m}}$ $(j \ omega) ^ {m}$ , suntem in cazul polilor situati in 0 si cu multiplicitate m. Pentru simplitatea studiului, ne limităm la analiza cazului $m=1$ ${\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$ , lăsând pentru mai târziu considerațiile asupra unei posibile multiplicități m> 1 .

Polii zero afectează cursul funcției de transfer după cum urmează:

Modul

{\bigg |}{\frac {1}{(j\omega )^{m}}}{\bigg |}_{dB}=20m\log _{10}{{\bigg |}{\frac {1}{j\omega }}{\bigg |}}=-20m\log _{10}{|\omega |}

{\ displaystyle {\ bigg |} {\ frac {1} {(j \ omega) ^ {m}}} {\ bigg |} _ {dB} = 20m \ log _ {10} {{\ bigg |} { \ frac {1} {j \ omega}} {\ bigg |}} = - 20m \ log _ {10} {| \ omega |}}

{\ bigg |} {\ frac {1} {(j \ omega) ^ {m}}} {\ bigg |} _ {{dB}} = 20m \ log _ {{10}} {{\ bigg |} {\ frac {1} {j \ omega}} {\ bigg |}} = - 20m \ log _ {{10}} {| \ omega |}

Prin urmare, este o linie dreaptă cu o pantă de -20 dB / deceniu (sau 6 dB / octavă) incident pe axa absciselor în $\omega =1$ ${\ displaystyle \ omega = 1}$ ${\ displaystyle \ omega = 1}$

Fază

\phi {\bigg (}{\frac {1}{j\omega }}{\bigg )}=\arg {\bigg (}{\frac {1}{j\omega }}{\bigg )}=-\arg(j\omega )=-{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ phi {\ bigg (} {\ frac {1} {j \ omega}} {\ bigg)} = \ arg {\ bigg (} {\ frac {1} {j \ omega}} {\ bigg )} = - \ arg (j \ omega) = - {\ frac {\ pi} {2}}}

\ phi {\ bigg (} {\ frac {1} {j \ omega}} {\ bigg)} = \ arg {\ bigg (} {\ frac {1} {j \ omega}} {\ bigg)} = - \ arg (j \ omega) = - {\ frac {\ pi} {2}}

În cazul (mai general) în care m> 1 puteți „ocoli” problema gândindu-vă că $(j\omega )^{m}=j\omega \cdot j\omega \cdot \ldots \cdot j\omega$ ${\ displaystyle (j \ omega) ^ {m} = j \ omega \ cdot j \ omega \ cdot \ ldots \ cdot j \ omega}$ $(j \ omega) ^ {m} = j \ omega \ cdot j \ omega \ cdot \ ldots \ cdot j \ omega$ . Prin urmare, întrucât diagrama Bode este reprezentată pe o scară semilogaritmică, ne putem gândi să adăugăm m contribuții ale unor factori monomiali destul de asemănători cu cei luați în considerare.

Această teză este susținută de faptul că, prin reefectuarea conturilor de modul și fază efectuate mai sus, menținerea $m\neq 0$ ${\ displaystyle m \ neq 0}$ $m \ neq 0$ , noi obținem:

{\bigg |}{\frac {1}{(j\omega )^{m}}}{\bigg |}_{dB}=-m\cdot 20\log _{10}|\omega |

{\ displaystyle {\ bigg |} {\ frac {1} {(j \ omega) ^ {m}}} {\ bigg |} _ {dB} = - m \ cdot 20 \ log _ {10} | \ omega |}

{\ displaystyle {\ bigg |} {\ frac {1} {(j \ omega) ^ {m}}} {\ bigg |} _ {dB} = - m \ cdot 20 \ log _ {10} | \ omega |}

\phi {\bigg (}{\frac {1}{(j\omega )^{m}}}{\bigg )}=-m{\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ phi {\ bigg (} {\ frac {1} {(j \ omega) ^ {m}}} {\ bigg)} = - m {\ frac {\ pi} {2}}}

\ phi {\ bigg (} {\ frac {1} {(j \ omega) ^ {m}}} {\ bigg)} = - m {\ frac {\ pi} {2}}

Exemplu

Vrem să desenăm diagrama funcției de transfer $G(s)={\frac {2}{s}}$ ${\ displaystyle G (s) = {\ frac {2} {s}}}$ $G (s) = {\ frac {2} {s}}$

Diagrama Bode a

G(s)={\frac {2}{s}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {2} {s}}}

G (s) = {\ frac {2} {s}}

Modul

În acest caz fiind $s=j\omega$ ${\ displaystyle s = j \ omega}$ $s = j \ omega$ Și

G(j\omega )={\frac {2}{j\omega }}

{\ displaystyle G (j \ omega) = {\ frac {2} {j \ omega}}}

G (j \ omega) = {\ frac {2} {j \ omega}}

atunci modulul este:

|G(j\omega )|=|{\frac {2}{j\omega }}|={\frac {2}{|j\omega |}}={\frac {2}{\omega }}

{\ displaystyle | G (j \ omega) | = | {\ frac {2} {j \ omega}} | = {\ frac {2} {| j \ omega |}} = {\ frac {2} {\ omega}}}

| G (j \ omega) | = | {\ frac {2} {j \ omega}} | = {\ frac {2} {| j \ omega |}} = {\ frac {2} {\ omega}}

cu $\omega \in \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ omega \ in {\ mathbb {R}} ^ {{+}}$ . Prin urmare:

|G(j\omega )|_{dB}=20\log _{10}{\frac {2}{\omega }}

{\ displaystyle | G (j \ omega) | _ {dB} = 20 \ log _ {10} {\ frac {2} {\ omega}}}

| G (j \ omega) | _ {{dB}} = 20 \ log _ {{10}} {{\ frac {2} {\ omega}}}

si pentru

\omega \rightarrow 0^{+}\Rightarrow |G(j\omega )|_{dB}\rightarrow +\infty

{\ displaystyle \ omega \ rightarrow 0 ^ {+} \ Rightarrow | G (j \ omega) | _ {dB} \ rightarrow + \ infty}

\ omega \ rightarrow 0 ^ {{+}} \ Rightarrow | G (j \ omega) | _ {{dB}} \ rightarrow + \ infty

în timp ce pentru

\omega \rightarrow +\infty \Rightarrow |G(j\omega )|_{db}\rightarrow -\infty

{\ displaystyle \ omega \ rightarrow + \ infty \ Rightarrow | G (j \ omega) | _ {db} \ rightarrow - \ infty}

\ omega \ rightarrow + \ infty \ Rightarrow | G (j \ omega) | _ {{db}} \ rightarrow - \ infty

,

de asemenea pentru $\omega =2$ ${\ displaystyle \ omega = 2}$ $\ omega = 2$ radiani pe secundă

|G(j\omega )|_{db}=0

{\ displaystyle | G (j \ omega) | _ {db} = 0}

| G (j \ omega) | _ {{db}} = 0

.

După cum se poate vedea din diagramă, panta este întotdeauna -1.

Fază

Atâta timp cât $G(j\omega )=-j{\frac {2}{\omega }}$ ${\ displaystyle G (j \ omega) = - j {\ frac {2} {\ omega}}}$ $G (j \ omega) = - j {\ frac {2} {\ omega}}$ este imagini pure și $\omega \in \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ $\ omega \ in {\ mathbb {R}} ^ {{+}}$ este întotdeauna pozitiv, atunci numerele complexe, atunci când variază $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , sunt pe raza imaginară negativă și, prin urmare, faza lor este -90 întotdeauna.

Zerouri reale $(1+j\omega \tau )$ ${\ displaystyle (1 + j \ omega \ tau)}$ $(1 + j \ omega \ tau)$

Zerourile binomilor plasate în numărător afectează comportamentul funcției de transfer într-un mod neliniar. Cu toate acestea, pentru a simplifica conturile, poate fi convenabil să studiați un curs aproximativ al modulului și fazei, luând în considerare ulterior eroarea maximă care poate fi făcută cu această simplificare.

Modul

{\begin{aligned}|1+j\omega \tau |_{dB}&=20\log _{10}{|1+j\omega \tau |}\\&=20\log _{10}{\sqrt {1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}\\&=10\log _{10}{\left(1+\omega ^{2}\tau ^{2}\right)}\\&=10\log _{10}{\left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{B}^{2}}}\right)}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | 1 + j \ omega \ tau | _ {dB} & = 20 \ log _ {10} {| 1 + j \ omega \ tau |} \\ & = 20 \ log _ {10} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}} \\ & = 10 \ log _ {10} {\ left (1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ { 2} \ right)} \\ & = 10 \ log _ {10} {\ left (1 + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ omega _ {B} ^ {2}}} \ right) } \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | 1 + j \ omega \ tau | _ {dB} & = 20 \ log _ {10} {| 1 + j \ omega \ tau |} \\ & = 20 \ log _ {10} {\ sqrt {1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ {2}}} \\ & = 10 \ log _ {10} {\ left (1+ \ omega ^ {2} \ tau ^ { 2} \ right)} \\ & = 10 \ log _ {10} {\ left (1 + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ omega _ {B} ^ {2}}} \ right) } \ end {align}}}

plasarea atunci $\omega _{B}=1/\tau$ ${\ displaystyle \ omega _ {B} = 1 / \ tau}$ ${\ displaystyle \ omega _ {B} = 1 / \ tau}$

Acum există două cazuri:

|1+j\omega \tau |_{dB}={\begin{cases}\sim 10\log _{10}{1}=0&{\mbox{se }}\omega \ll \omega _{B}\\\sim 10\log _{10}{\omega ^{2}\tau ^{2}}=20\log _{10}{\omega \tau }&{\mbox{se }}\omega \gg \omega _{B}\end{cases}}

{\ displaystyle | 1 + j \ omega \ tau | _ {dB} = {\ begin {cases} \ sim 10 \ log _ {10} {1} = 0 & {\ mbox {se}} \ omega \ ll \ omega _ {B} \\\ sim 10 \ log _ {10} {\ omega ^ {2} \ tau ^ {2}} = 20 \ log _ {10} {\ omega \ tau} & {\ mbox {se }} \ omega \ gg \ omega _ {B} \ end {cases}}}

{\ displaystyle | 1 + j \ omega \ tau | _ {dB} = {\ begin {cases} \ sim 10 \ log _ {10} {1} = 0 & {\ mbox {se}} \ omega \ ll \ omega _ {B} \\\ sim 10 \ log _ {10} {\ omega ^ {2} \ tau ^ {2}} = 20 \ log _ {10} {\ omega \ tau} & {\ mbox {se }} \ omega \ gg \ omega _ {B} \ end {cases}}}

Aceasta înseamnă că graficul aproximativ Bode pentru un termen binomial setat ca numărător al funcției de transfer constă dintr-o linie întreruptă care are valoarea 0 pentru toate $\omega <{1 \over |\tau |}$ ${\ displaystyle \ omega <{1 \ over | \ tau |}}$ $\ omega <{1 \ over | \ tau |}$ și care crește liniar cu 20 dB / deceniu (sau 6 dB / octavă) pentru toți $\omega >{1/|\tau |}$ ${\ displaystyle \ omega> {1 / | \ tau |}}$ ${\ displaystyle \ omega> {1 / | \ tau |}}$ .

Acum este firesc să ne întrebăm care este eroarea maximă care se comite făcând această aproximare. Eroarea maximă este comisă pentru orice eventualitate $\omega =\omega _{B}$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {B}}$ $\ omega = \ omega _ {B}$ . De fapt, dacă $\omega =\omega _{B}$ ${\ displaystyle \ omega = \ omega _ {B}}$ $\ omega = \ omega _ {B}$

\implies |1+j\omega \tau |_{dB}=10\log _{10}{2}\cong 3dB

{\ displaystyle \ implica | 1 + j \ omega \ tau | _ {dB} = 10 \ log _ {10} {2} \ cong 3dB}

{\ displaystyle \ implica | 1 + j \ omega \ tau | _ {dB} = 10 \ log _ {10} {2} \ cong 3dB}

Prin urmare, suntem siguri că, în aproximarea modulului unui termen binomial cu o linie întreruptă, nu este comisă o eroare mai mare decât 3dB.

Fază

Exemplu

Un filtru trece jos RC, de exemplu, are următorul răspuns de frecvență:

H(f)={\frac {1}{1+j2\pi fRC}}

{\ displaystyle H (f) = {\ frac {1} {1 + j2 \ pi fRC}}}

H (f) = {\ frac {1} {1 + j2 \ pi fRC}}

Frecvența de întrerupere indicată de punctul f _c (în hertz ) are o valoare egală cu

f_{\mathrm {c} }={1 \over {2\pi RC}}

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {c}} = {1 \ peste {2 \ pi RC}}}

f _ {{\ mathrm {c}}} = {1 \ peste {2 \ pi RC}}

.

Aproximarea asimptotică a diagramei Bode constă din două linii:

pentru frecvențe mai mici decât f _c este o linie orizontală la 0 dB,
pentru frecvențe mai mari decât f _c este o linie cu o pantă de -20 dB pe deceniu.

Aceste două linii se întâlnesc la frecvența de tăiere . Din diagramă se poate observa că pentru frecvențe cu mult sub frecvența de întrerupere circuitul are o atenuare de 0 dB, adică filtrul nu modifică modulul de semnal. Frecvențele peste frecvența de tăiere sunt atenuate într-o măsură mai mare cu cât crește frecvența.

Exemplu practic de desenare a diagramei

Acum, să vedem, în practică, cum procedăm la trasarea unei diagrame asimptotice Bode din care putem trage apoi, cu o bună aproximare, cea reală. Explicația este făcută urmând un exemplu practic: vrem să desenăm diagrama asimptotică Bode a modulului și faza funcției de transfer

G(s)={\frac {10(1-0,05s)}{\left({1+s}\right)\left({1+0,5s}\right)}}={\frac {10}{s^{0}}}\cdot {\frac {\left({1-0,05s}\right)}{\left({1+s}\right)\left({1+0,5s}\right)}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {10 (1-0,05s)} {\ left ({1 + s} \ right) \ left ({1 + 0,5s} \ right)}} = { \ frac {10} {s ^ {0}}} \ cdot {\ frac {\ left ({1-0,05s} \ right)} {\ left ({1 + s} \ right) \ left ({1 + 0,5s} \ dreapta)}}}

{\ displaystyle G (s) = {\ frac {10 (1-0,05s)} {\ left ({1 + s} \ right) \ left ({1 + 0,5s} \ right)}} = { \ frac {10} {s ^ {0}}} \ cdot {\ frac {\ left ({1-0,05s} \ right)} {\ left ({1 + s} \ right) \ left ({1 + 0,5s} \ dreapta)}}}

Mai întâi evidențiem toate informațiile de care avem nevoie.

Câștig static μ

Se găsește foarte simplu calculând $\mu =G\left(0\right)$ ${\ displaystyle \ mu = G \ left (0 \ right)}$ $\ mu = G \ left (0 \ right)$ și apoi transformându-l în decibeli cu formula $\left|\mu \right|=20\log _{10}\mu$ ${\ displaystyle \ left | \ mu \ right | = 20 \ log _ {10} \ mu}$ $\ left | \ mu \ right | = 20 \ log _ {{10}} \ mu$ În acest caz $\mu =10$ ${\ displaystyle \ mu = 10}$ $\ mu = 10$ de la care $\left|\mu \right|=20\log _{10}10=20dB$ ${\ displaystyle \ left | \ mu \ right | = 20 \ log _ {10} 10 = 20dB}$ $\ left | \ mu \ right | = 20 \ log _ {{10}} 10 = 20dB$

Panta inițială

Este necesar să privim tipul, adică exponentul (de obicei indicat cu litera g) relativ la polul din origine. În acest caz $s^{0}$ ${\ displaystyle s ^ {0}}$ $s ^ {0}$ deci tipul este zero. Panta inițială este egală cu $-g=0$ ${\ displaystyle -g = 0}$ ${\ displaystyle -g = 0}$ .

Faza initiala

Etapa inițială este egală cu $\arg \left\{\mu \right\}-g\cdot 90^{\circ }=0-0\cdot 90^{\circ }=0^{\circ }$ ${\ displaystyle \ arg \ left \ {\ mu \ right \} - g \ cdot 90 ^ {\ circ} = 0-0 \ cdot 90 ^ {\ circ} = 0 ^ {\ circ}}$ $\ arg \ left \ {\ mu \ right \} - g \ cdot 90 ^ {\ circ} = 0-0 \ cdot 90 ^ {\ circ} = 0 ^ {\ circ}$

Zero și stâlpi

În acest moment, sunt identificate zerourile și polii funcției de transfer:

${\rm {z}}_{\rm {1}}{\rm {=+20}}$ ${\ displaystyle {\ rm {z}} _ {\ rm {1}} {\ rm {= + 20}}}$ ${{\ rm {{z}}}} _ {{{\ rm {{1}}}}} {{\ rm {{= + 20}}}}$

${\rm {p}}_{\rm {1}}{\rm {=-1}}$ ${\ displaystyle {\ rm {p}} _ {\ rm {1}} {\ rm {= -1}}}$ ${{\ rm {{p}}}} _ {{{\ rm {{1}}}}} {{\ rm {{= -1}}}}$

${\rm {p}}_{\rm {2}}{\rm {=-2}}$ ${\ displaystyle {\ rm {p}} _ {\ rm {2}} {\ rm {= -2}}}$ ${{\ rm {{p}}}} _ {{{\ rm {{2}}}}} {{\ rm {{= -2}}}}$

Polii și zerourile sunt toate reale (nu complexe) și nu în origine. Aceste valori sunt introduse într-un tabel în care polii sunt împărțiți cu zerouri și cei cu partea reală pozitivă de cei cu partea reală negativă de cei din origine.

Căsuțele albastre din tabel arată ce singularități (poli sau zerouri) determină creșterea sau scăderea diagramei de fază asimptotice cu 90 °.

Panta finală

Este dat de numărul total de zerouri minus numărul total de poli. Nu este necesar să desenați schema modulului, dar permite verificarea corectitudinii exercițiului. În acest caz 1 - 2 = - 1.

Tragem acum diagramele asimptotice ale lui Bode pe graficul semilogaritmic.

Diagrama formularului

Să începem prin a lua în considerare o linie dreaptă cu o pantă inițială de 0 și care trece prin punctul inițial 20dB (înseamnă că în punctul de impuls 1 are modulul 20dB).

În corespondența ω = 1 găsim un pol, prin urmare panta diagramei modulului este redusă cu 20dB pe deceniu. La fel se întâmplă și în ω = 2, unde panta scade cu încă 20 dB pe deceniu la ω = 20, unde găsim un zero care mărește panta diagramei cu 20 dB pe deceniu.

Diagrama fazelor

Acum putem desena diagrama de faze. Știind că diagrama are o fază inițială de 0 °, desenez prima parte a graficului asimptotic.

În corespondența ω = 1 găsim un pol cu o parte reală negativă care face ca diagrama să scadă cu 90 ° așa cum se întâmplă în ω = 2 și, ulterior, în ω = 20 datorită zeroului cu partea reală pozitivă. „+” Și „-” afișate în casetele albastre din tabel servesc tocmai pentru a evidenția ce singularități (poli sau zerouri) determină creșterea sau scăderea diagramei de fază asimptotice cu 90 °.

Cu zero este coborât cu încă 90 ° deoarece acest lucru este instabil, având partea reală pozitivă. Mai mult, comportamentul fazei din diagramele Bode pentru poli cu parte reală pozitivă și zero cu parte reală negativă este inversul celui descris anterior.

Notă

^ În definiția decibelilor există un factor de 10 și nu 20. Vezi acest paragraf .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre diagrama lui Bode

linkuri externe

Bode Plot Applet - Afișează graficul modulului și fazei, având în vedere coeficienții funcției de transfer

Portal automat de verificări : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de verificări automate

[1] În definiția decibelilor există un factor de 10 și nu 20. Vezi acest paragraf .

[1]

Diagrama Bode

Diagrama Bode

Scara logaritmică

Diagrama formularului

Diagrama fazelor

Diagramele asimptotice

Funcția normală de transfer al formularului

Exemplu

Cerere

Soluţie

Câștigul unei funcții de transfer

Exemplu

Modul

Fază

Polii în zero: ( j ω ) m {\ displaystyle (j \ omega) ^ {m}}

Modul

Fază

Exemplu

Zerouri reale ( 1 + j ω τ ) {\ displaystyle (1 + j \ omega \ tau)}

Exemplu

Exemplu practic de desenare a diagramei

Câștig static μ

Panta inițială

Faza initiala

Zero și stâlpi

Panta finală

Diagrama formularului

Diagrama fazelor

Notă

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Polii în zero: $(j\omega )^{m}$ ${\ displaystyle (j \ omega) ^ {m}}$ $(j \ omega) ^ {m}$

Zerouri reale $(1+j\omega \tau )$ ${\ displaystyle (1 + j \ omega \ tau)}$ $(1 + j \ omega \ tau)$