Transformarea lui Hilbert

Transformata Hilbert este o transformare integrală , definită pentru un semnal generic $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ ca:

{\hat {x}}(t)\equiv {\mathcal {H}}\{x(t)\}=x(t)*h_{H}(t)={\text{p.v.}}\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h_{H}(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ {\text{p.v.}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,t\in (-{\mathcal {1}},+{\mathcal {1}})

{\ displaystyle {\ hat {x}} (t) \ equiv {\ mathcal {H}} \ {x (t) \} = x (t) * h_ {H} (t) = {\ text {pv} } \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h_ {H} (t- \ tau) \, d \ tau = {\ frac {1} {\ pi}} \ {\ text {pv}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {x (\ tau)} {t- \ tau}} \, d \ tau, t \ in (- {\ mathcal {1 }}, + {\ mathcal {1}})}

{\ displaystyle {\ hat {x}} (t) \ equiv {\ mathcal {H}} \ {x (t) \} = x (t) * h_ {H} (t) = {\ text {pv} } \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h_ {H} (t- \ tau) \, d \ tau = {\ frac {1} {\ pi}} \ {\ text {pv}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {x (\ tau)} {t- \ tau}} \, d \ tau, t \ in (- {\ mathcal {1 }}, + {\ mathcal {1}})}

unde este ${\hat {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}} (t)}$ este funcția sau semnalul transformat; $h_{H}(t)\equiv {\frac {1}{\pi t}}$ ${\ displaystyle h_ {H} (t) \ equiv {\ frac {1} {\ pi t}}}$ ${\ displaystyle h_ {H} (t) \ equiv {\ frac {1} {\ pi t}}}$ este răspunsul la impuls al filtrului Hilbert și prefixul "pv" indică faptul că integralul trebuie să existe ca valoare principală Cauchy .

Transformata Hilbert este o transformare integrală, adică o aplicație , în general liniară , a unui spațiu de funcții la un alt spațiu de funcții, realizat cu o integrală . Transformările integrale sunt utile pentru reducerea ecuațiilor diferențiale liniare la ecuații algebrice și pentru analiza semnalului .

În special, principala utilizare a transformatei Hilbert este în sectorul telecomunicațiilor , deoarece permite adaptarea unui semnal sau funcție de t la canalul de comunicație, care permite transmiterea acestuia într-un interval sau interval de frecvențe predeterminat ( banda comunicației) canal): acest lucru se realizează prin dezvoltarea componentelor analogice de joasă frecvență . Este, de asemenea, utilizat în domeniul militar în sonar pentru colimarea țintelor .

Rețineți că operațiunea $x(t)*y(t)$ ${\ displaystyle x (t) * y (t)}$ ${\ displaystyle x (t) * y (t)}$ este operația de convoluție între 2 semnale $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ Și $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ .