Funcție de transfer

În modelele matematice ale sistemelor dinamice , funcția de transfer este o funcție care caracterizează comportamentul unui sistem dinamic invariant în timp în domeniul frecvenței , raportând intrarea și ieșirea. Poate fi definit pentru a descrie atât sistemele liniare, cât și cele neliniare. ^[1]

Funcția de transfer a unui sistem liniar staționar dinamic (LTI) este transformata Laplace a răspunsului la impuls al sistemului; este funcția de rețea care exprimă relația algebrică dintre intrare și ieșire în domeniul frecvenței, caracterizând comportamentul sistemului într-un mod echivalent cu cel oferit de reprezentarea în spațiul de stare . Cu ajutorul funcției de transfer este posibil să se studieze ( extern ) stabilitatea sistemului LTI luat în considerare, și anume capacitatea sa de a menține o putere limitată pentru fiecare intrare limitată.

Sisteme liniare

Funcția de transfer a unui sistem liniar staționar dinamic (LTI) este o funcție variabilă complexă care descrie complet comportamentul ( frecvenței ) sistemului, raportând intrarea și ieșirea acestuia. Luați în considerare o funcție $u(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle u (t): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle u (t): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ care reprezintă intrarea pe măsură ce timpul se schimbă ( $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ) și o funcție $y(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle y (t): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle y (t): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ care reprezintă ieșirea sistemului în timp. Spus $U(s)$ ${\ displaystyle U (s)}$ ${\ displaystyle U (s)}$ Și $Y(s)$ ${\ displaystyle Y (s)}$ ${\ displaystyle Y (s)}$ transformarea Laplace a $u(t)$ ${\ displaystyle u (t)}$ $tu (t)$ Și $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ , funcția de transfer este funcția

H(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}\qquad s=\sigma +i\omega \in \mathbb {C}

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} \ qquad s = \ sigma + i \ omega \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} \ qquad s = \ sigma + i \ omega \ in \ mathbb {C}}

Un sistem dinamic liniar staționar generic este descris de

{\begin{cases}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t) \\ y (t) = Cx (t) + Du (t) \ end {cases} }}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t) \\ y (t) = Cx (t) + Du (t) \ end {cases} }}

unde este $x(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{p}$ ${\ displaystyle x (t): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {p}}$ $x (t): \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {p}$ este vectorul stării sistemului, în timp ce $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ sunt matrici .

În domeniul transformării Laplace, unde variabila este frecvența $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , rezultatul este dat de contribuția răspunsului gratuit - în care $X_{0}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ este starea inițială - și a răspunsului forțat

Y(s)=C(sI-A)^{-1}X_{0}+(D+C(sI-A)^{-1}B)U(s)

{\ displaystyle Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} X_ {0} + (D + C (sI-A) ^ {- 1} B) U (s)}

{\ displaystyle Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} X_ {0} + (D + C (sI-A) ^ {- 1} B) U (s)}

Funcția de transfer este, prin urmare, reprezentată de matrice $(D+C(sI-A)^{-1}B)$ ${\ displaystyle (D + C (sI-A) ^ {- 1} B)}$ $(D + C (sI-A) ^ {{- 1}} B)$ , și dacă există o singură intrare și o singură ieșire (sisteme SISO), adică $u(t)$ ${\ displaystyle u (t)}$ $tu (t)$ Și $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ sunt definite de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ in sinea lui, $H(s)$ ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle H (s)}$ ia forma particulară

H(s)={\frac {\prod _{i=0}^{Z}(s-z_{i})}{\prod _{i=0}^{P}(s-p_{i})}}

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {\ prod _ {i = 0} ^ {Z} (s-z_ {i})} {\ prod _ {i = 0} ^ {P} (s-p_ {the})}}}

H (s) = {\ frac {\ prod _ {{i = 0}} ^ {{Z}} (s-z_ {i})} {\ prod _ {{i = 0}} ^ {{P} } (s-p_ {i})}}

Este o funcție rațională a unei variabile complexe, în care $Z+1$ ${\ displaystyle Z + 1}$ $Z + 1$ numere $z_{i}$ ${\ displaystyle z_ {i}}$ $z_ {i}$ (care anulează numeratorul ) sunt zerourile sale, în timp ce i $P+1$ ${\ displaystyle P + 1}$ $P + 1$ numere $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ (care anulează numitorul ) sunt polii săi. La fiecare pol al $H(s)$ ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle H (s)}$ un mod de răspuns este asociat în domeniul timpului și se spune că modurile de răspuns sunt asimptotice stabile dacă polii corespunzători au o parte negativă reală, marginal stabilă (la limita de stabilitate) dacă printre polii corespunzători există unii simpli (de multiplicitate algebrică egală cu unu) cu zero parte reală și instabilă dacă polii au zero parte reală și multiplicitate algebrică mai mare decât una și / sau parte reală pozitivă.

O caracteristică cheie a oricărui sistem LTI este faptul că furnizarea de date de intrare $u(t)$ ${\ displaystyle u (t)}$ $tu (t)$ o funcție delta Dirac (mai bine o distribuție ) are ieșirea respectivă $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ a sistemului, numit în acest caz răspuns impuls , are ca transformare Laplace funcția de transfer a sistemului în sine $H(s)$ ${\ displaystyle H (s)}$ ${\ displaystyle H (s)}$ (acest lucru derivă din faptul că transformata Laplace a deltei Dirac este 1).

Deoarece în domeniul transformării Laplace un produs de două funcții corespunde convoluției lor în domeniul timpului, rezultă că răspunsul sistemului la o intrare generică $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ este convoluția intrării $u(t)$ ${\ displaystyle u (t)}$ $tu (t)$ cu răspunsul sistemului la delta Dirac $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ .

Analiza frecvenței

Același subiect în detaliu: Răspunsul în frecvență .

Descrierea unui sistem LTI în domeniul timpului (în albastru) și în domeniul frecvenței (în roșu). Transformata Laplace permite scrierea convoluției dintre intrare și răspunsul la impuls ca produs, în domeniul frecvenței, al transformatelor respective.

Este $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ intrarea unui sistem liniar staționar dinamic (LTI) cu ieșire $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ , și ia în considerare transformatele Laplace

X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }x(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\qquad

{\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} x (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \ qquad}

{\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} x (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t \ qquad}

Și

\qquad Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }y(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t

{\ displaystyle \ qquad Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} y (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t}

{\ displaystyle \ qquad Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} y (t) {\ text {e}} ^ {- st} \, {\ text {d}} t}

deci funcția de transfer $H(s)$ ${\ displaystyle H (s)}$ $H (s)$ satisface prin definiție:

Y(s)=H(s)X(s)\qquad H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}

{\ displaystyle Y (s) = H (s) X (s) \ qquad H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}}

Y (s) = H (s) X (s) \ qquad H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}

În special, dacă există un semnal cu o componentă de amplitudine sinusoidală la intrarea sistemului LTI $|X|$ ${\ displaystyle | X |}$ $| X |$ , frecvența unghiulară $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ și fază $\arg(X)$ ${\ displaystyle \ arg (X)}$ $\ arg (X)$ :

x(t)=Xe^{i\omega t}=|X|e^{i(\omega t+\arg(X))}\qquad X=|X|e^{i\arg(X)}

{\ displaystyle x (t) = Xe ^ {i \ omega t} = | X | e ^ {i (\ omega t + \ arg (X))} \ qquad X = | X | e ^ {i \ arg ( X)}}

{\ displaystyle x (t) = Xe ^ {i \ omega t} = | X | e ^ {i (\ omega t + \ arg (X))} \ qquad X = | X | e ^ {i \ arg ( X)}}

atunci ieșirea corespunzătoare este:

y(t)=Ye^{i\omega t}=|Y|e^{i(\omega t+\arg(Y))}\qquad Y=|Y|e^{i\arg(Y)}

{\ displaystyle y (t) = Ye ^ {i \ omega t} = | Y | e ^ {i (\ omega t + \ arg (Y))} \ qquad Y = | Y | e ^ {i \ arg ( Y)}}

{\ displaystyle y (t) = Ye ^ {i \ omega t} = | Y | e ^ {i (\ omega t + \ arg (Y))} \ qquad Y = | Y | e ^ {i \ arg ( Y)}}

De fapt, într-un sistem LTI, frecvența $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ semnalului de intrare nu este modificat, deoarece este posibilă doar amplitudinea și modificarea fazei. Răspunsul în frecvență $H(i\omega )$ ${\ displaystyle H (i \ omega)}$ ${\ displaystyle H (i \ omega)}$ descrie o astfel de modificare pentru fiecare frecvență $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ posibil, iar modulul său definește câștigul :

G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(i\omega )|\

{\ displaystyle G (\ omega) = {\ frac {| Y |} {| X |}} = | H (i \ omega) | \}

{\ displaystyle G (\ omega) = {\ frac {| Y |} {| X |}} = | H (i \ omega) | \}

Schimbarea fazei între intrare și ieșire este dată de:

\phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(i\omega ))

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ arg (Y) - \ arg (X) = \ arg (H (i \ omega))}

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ arg (Y) - \ arg (X) = \ arg (H (i \ omega))}

în timp ce întârzierile $\tau _{\phi }$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ phi}}$ $\ tau _ {{\ phi}}$ Și $\tau _{g}$ ${\ displaystyle \ tau _ {g}}$ $\ tau _ {{g}}$ introduse de funcția de transfer respectiv pe fază și pe anvelopa sinusoidului, exprimate în funcție de frecvență, sunt:

\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\qquad \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}

{\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}} \ qquad \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac { d \ phi (\ omega)} {d \ omega}}}

{\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}} \ qquad \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac { d \ phi (\ omega)} {d \ omega}}}

Răspuns impulsiv

Ieșirea $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ a unui sistem dinamic liniar în timp continuu invariant din timp supus unui semnal de intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este descris de convoluție :

y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau

{\ displaystyle y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t- \ tau) \ cdot h (\ tau) \, \ operatorname { d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau}

y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} x (t- \ tau) \ cdot h (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau

unde este $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ este răspunsul sistemului la intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este o funcție delta Dirac . Ieșirea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este deci proporțional cu media înregistrării $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ponderat de funcție $h(-\tau )$ ${\ displaystyle h (- \ tau)}$ $h (- \ tau)$ , mutat cu un timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Dacă funcția $h(\tau )$ ${\ displaystyle h (\ tau)}$ $h (\ tau)$ nu este nimic când $\tau <0$ ${\ displaystyle \ tau <0}$ $\ tau <0$ asa de $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ depinde doar de valorile asumate de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ înainte de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , iar sistemul se numește cauzal .

Funcțiile proprii ale unui sistem LTI în timp continuu sunt funcțiile exponențiale $Ae^{st}$ ${\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ , cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ . Într-adevăr, fie el $x(t)=Ae^{st}$ ${\ displaystyle x (t) = Ae ^ {st}}$ $x (t) = Ae ^ {{st}}$ intrarea e $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ răspunsul sistemului la delta Dirac. Eliberarea este dată de:

y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}H(s)

{\ displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) Ae ^ {s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {st} e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} h (\ tau) \, e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} H (s)}

y (t) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} h (t- \ tau) Ae ^ {{s \ tau}} \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} h (\ tau) \, Ae ^ {{st}} e ^ {{- s \ tau}} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {{st}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} h (\ tau) \, e ^ {{- s \ tau}} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {{st}} H (s)

Transformata Laplace:

H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t

{\ displaystyle H (s) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ {\ stackrel {\ text {def}} { =}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, \ operatorname {d} t}

H (s) \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} h (t) e ^ {{- st}} \, \ operatorname {d} t

este funcția de transfer a sistemului, ceea ce face posibilă obținerea valorilor proprii pornind de la răspunsul impulsului Dirac. Pentru fiecare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ieșirea este deci produsul intrării $Ae^{st}$ ${\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ pentru o constantă dependentă numai de parametru $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , valoarea proprie a sistemului LTI referitoare la vectorul propriu $Ae^{st}$ ${\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ (element al unui spațiu vectorial funcțional). Un interes deosebit este cazul în care intrarea este un exponențial complex $\exp({i\omega t})$ ${\ displaystyle \ exp ({i \ omega t})}$ ${\ displaystyle \ exp ({i \ omega t})}$ , cu $\omega \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R}}$ $\ omega \ în {\ mathbb {R}}$ . Funcția de transfer este dată în acest caz de transformata Fourier :

H(i\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}

{\ displaystyle H (i \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}}

{\ displaystyle H (i \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}}

În timp ce transformarea Laplace este utilizată pentru semnale care sunt nule înainte de un anumit timp $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , de obicei zero, transformata Fourier ne permite să ne ocupăm de funcții de durată infinită, cu cerința (spre deosebire de transformata Laplace în sisteme stabile) de a fi pătrate însumabile .

Datorită proprietăților convoluției, în domeniul transformării integrala este redusă la o multiplicare:

y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}

{\ displaystyle y (t) = (h * x) (t) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {H (s) X (s) \}}

y (t) = (h * x) (t) \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ {\ mathcal {L}} ^ {{- 1}} \ {H (s) X (s) \}

Acest fapt permite transformarea ecuațiilor diferențiale și integrale care guvernează de obicei sistemele dinamice LTI în ecuații algebrice.

Ecuatii diferentiale

Un alt mod de a descrie răspunsul $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ al sistemului este de a lua în considerare ecuația diferențială liniară cu coeficienți constanți:

{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(y)+a_{1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}(y)+\dotsb +a_{n-1}{\frac {d}{dt}}(y)+a_{n}y={\frac {d^{m}}{dt^{m}}}(u)+b_{1}{\frac {d^{m-1}}{dt^{m-1}}}(u)+\dotsb +b_{m-1}{\frac {d}{dt}}(u)+b_{m}u

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} (y) + a_ {1} {\ frac {d ^ {n-1}} {dt ^ {n-1}} } (y) + \ dotsb + a_ {n-1} {\ frac {d} {dt}} (y) + a_ {n} y = {\ frac {d ^ {m}} {dt ^ {m} }} (u) + b_ {1} {\ frac {d ^ {m-1}} {dt ^ {m-1}}} (u) + \ dotsb + b_ {m-1} {\ frac {d } {dt}} (u) + b_ {m} u}

{\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} (y) + a_ {1} {\ frac {d ^ {{n-1}}} {dt ^ {{n-1}} }} (y) + \ dotsb + a _ {{n-1}} {\ frac {d} {dt}} (y) + a_ {n} y = {\ frac {d ^ {{m}}} {dt ^ {m}}} (u) + b_ {1} {\ frac {d ^ {{m-1}}} {dt ^ {{m-1}}}} (u) + \ dotsb + b_ {{m-1}} {\ frac {d} {dt}} (u) + b _ {{m}} u

În domeniul transformării Laplace , diferențierea corespunde multiplicării cu variabila complexă (frecvență) $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ și, prin urmare, avem:

s^{n}y+a_{1}s^{n-1}y+\dotsb +a_{n-1}s\,y+a_{n}y=s^{m}u+b_{1}s^{m-1}u+\dotsb +b_{m-1}s\,u+b_{m}u

{\ displaystyle s ^ {n} y + a_ {1} s ^ {n-1} y + \ dotsb + a_ {n-1} s \, y + a_ {n} y = s ^ {m} u + b_ {1} s ^ {m-1} u + \ dotsb + b_ {m-1} s \, u + b_ {m} u}

s ^ {n} y + a_ {1} s ^ {{n-1}} y + \ dotsb + a _ {{n-1}} s \, y + a_ {n} y = s ^ {{m }} u + b_ {1} s ^ {{m-1}} u + \ dotsb + b _ {{m-1}} s \, u + b _ {{m}} u

Pentru a obține funcția de transfer, dacă intrarea este $u=e^{st}$ ${\ displaystyle u = e ^ {st}}$ $u = e ^ {{st}}$ ieșirea unui sistem liniar are forma $y=y_{0}e^{st}$ ${\ displaystyle y = y_ {0} e ^ {st}}$ $y = y_ {0} e ^ {{st}}$ . Înlocuind avem:

(s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots +a_{n})y_{0}e^{st}=(s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\cdots +b_{m})e^{st}

{\ displaystyle (s ^ {n} + a_ {1} s ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n}) y_ {0} e ^ {st} = (s ^ {m} + b_ {1 } s ^ {m-1} + \ cdots + b_ {m}) și ^ {st}}

{\ displaystyle (s ^ {n} + a_ {1} s ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n}) y_ {0} e ^ {st} = (s ^ {m} + b_ {1 } s ^ {m-1} + \ cdots + b_ {m}) și ^ {st}}

din care obținem:

y=y_{0}e^{st}={\frac {b(s)}{a(s)}}e^{st}=H(s)u(t)

{\ displaystyle y = y_ {0} e ^ {st} = {\ frac {b (s)} {a (s)}} e ^ {st} = H (s) u (t)}

y = y_ {0} e ^ {{st}} = {\ frac {b (s)} {a (s)}} e ^ {{st}} = H (s) u (t)

unde este:

{\begin{aligned}a(s)&=s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}\\b(s)&=s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_{m}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a (s) & = s ^ {n} + a_ {1} s ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} s + a_ {n} \\ b (s) & = s ^ {m} + b_ {1} s ^ {m-1} + \ cdots + b_ {m-1} s + b_ {m} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a (s) & = s ^ {n} + a_ {1} s ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} s + a_ {n} \\ b (s) & = s ^ {m} + b_ {1} s ^ {m-1} + \ cdots + b_ {m-1} s + b_ {m} \ end {align}}}

sunt polinoamele caracteristice ale ecuației. Prin urmare, avem:

H(s)={\frac {b(s)}{a(s)}}

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {b (s)} {a (s)}}}

H (s) = {\ frac {b (s)} {a (s)}}

Pentru teorema fundamentală a algebrei , fracția poate fi scrisă într-o formă care evidențiază zerourile și polii săi:

H(s)={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots (s-z_{n})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{m})}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}(s-z_{i})}{\prod _{i=1}^{m}(s-p_{i})}}

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) \ cdots (s-z_ {n})} {(s-p_ {1}) (s -p_ {2}) \ cdots (s-p_ {m})}} = {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {n} (s-z_ {i})} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} (s-p_ {i})}}}

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {(s-z_ {1}) (s-z_ {2}) \ cdots (s-z_ {n})} {(s-p_ {1}) (s -p_ {2}) \ cdots (s-p_ {m})}} = {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {n} (s-z_ {i})} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} (s-p_ {i})}}}

Sisteme de timp discrete

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar staționar discret .

Un sistem discret de timp transformă secvența în intrare $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ într-o altă succesiune $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ , dat de convoluția discretă cu răspunsul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ spre delta Kronecker :

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k]}

y [n] = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{ \ infty}} x [nk] \ cdot h [k]

Elementele din $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ poate depinde de orice element al $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ . Obișnuit $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ depinde mai mult de elementele din apropierea timpului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Exponențialele de tip $z^{n}=e^{sTn}$ ${\ displaystyle z ^ {n} = e ^ {sTn}}$ $z ^ {n} = e ^ {{sTn}}$ , cu $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in {\ mathbb {Z}}$ , sunt funcții proprii ale unui operator liniar discret invariant în timp. Într-adevăr, a spus $T\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle T \ in \ mathbb {R}}$ $T \ in {\ mathbb {R}}$ perioada de eșantionare e $z=e^{sT}$ ${\ displaystyle z = e ^ {sT}}$ $z = e ^ {{sT}}$ , cu $z,s\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z, s \ in \ mathbb {C}}$ $z, s \ in {\ mathbb {C}}$ , să presupunem $x[n]=\,\!z^{n}$ ${\ displaystyle x [n] = \, \! z ^ {n}}$ $x [n] = \, \! z ^ {n}$ intrarea sistemului. De sine $h[n]$ ${\ displaystyle h [n]}$ $h [n]$ este răspunsul impulsiv, avem:

y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] \, z ^ {m} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] \, z ^ {(nm)} = z ^ {n} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] \, z ^ {- m} = z ^ { n} H (z)}

y [n] = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h [nm] \, z ^ {m} = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ { {\ infty}} h [m] \, z ^ {{(nm)}} = z ^ {n} \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h [m] \ , z ^ {{- m}} = z ^ {n} H (z)

Functia:

H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}

{\ displaystyle H (z) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] z ^ {- m}}

H (z) \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {\ infty} h [m] z ^ {{- m} }

depinde doar de parametrul z și este valoarea proprie asociată cu vectorul propriu (funcția proprie) $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ a sistemului LTI. Transformarea zeta :

H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}

{\ displaystyle H (z) = {\ mathcal {Z}} \ {h [n] \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} h [n] z ^ {- n}}

H (z) = {\ mathcal {Z}} \ {h [n] \} = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} h [n] z ^ {{- n}}

este funcția de transfer a sistemului. Un interes deosebit este cazul în care funcțiile proprii sunt sinusoide pure $e^{i\omega n}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ omega n}}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ omega n}}$ , cu $\omega \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R}}$ $\ omega \ în {\ mathbb {R}}$ , care poate fi scris ca $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ , unde este $z=e^{i\omega }$ ${\ displaystyle z = e ^ {i \ omega}}$ ${\ displaystyle z = e ^ {i \ omega}}$ . Pentru funcții de acest tip, funcția de transfer este dată de transformata Fourier în timp discret :

H(e^{i\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}

{\ displaystyle H (e ^ {i \ omega}) = {\ mathcal {F}} \ {h [n] \}}

{\ displaystyle H (e ^ {i \ omega}) = {\ mathcal {F}} \ {h [n] \}}

Datorită proprietăților convoluției, se obține o multiplicare în domeniul transformării:

y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}

{\ displaystyle y [n] = (h * x) [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] x [m] = {\ mathcal {Z}} ^ { -1} \ {H (z) X (z) \}}

y [n] = (h * x) [n] = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {\ infty} h [nm] x [m] = {\ mathcal {Z}} ^ {{ -1}} \ {H (z) X (z) \}

Sisteme neliniare

Pentru sistemele neliniare, ieșirea poate fi aproximată prin seria compusă din răspuns $h_{1}(\tau _{1})$ ${\ displaystyle h_ {1} (\ tau _ {1})}$ ${\ displaystyle h_ {1} (\ tau _ {1})}$ a unui sistem liniar, adăugat la răspuns $h_{2}(\tau _{1},\tau _{2})$ ${\ displaystyle h_ {2} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2})}$ ${\ displaystyle h_ {2} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2})}$ a unui sistem pătratic, adăugat la asta $h_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})$ ${\ displaystyle h_ {3} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3})}$ ${\ displaystyle h_ {3} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3})}$ de unul cubic și așa mai departe:

{\begin{aligned}y(t)&=\int _{-\infty }^{+\infty }h_{1}(\tau _{1})x(t-\tau _{1})d\tau _{1}+\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }h_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(t-\tau _{1})x(t-\tau _{2})d\tau _{1}d\tau _{2}\\&+\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }h_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(t-\tau _{1})x(t-\tau _{2})x(t-\tau _{3})d\tau _{1}d\tau _{2}d\tau _{3}+\cdots \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h_ {1} (\ tau _ {1}) x (t- \ tau _ {1 }) d \ tau _ {1} + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h_ {2} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}) x (t- \ tau _ {1}) x (t- \ tau _ {2}) d \ tau _ {1} d \ tau _ {2} \\ & + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h_ {3} (\ tau _ {1} , \ tau _ {2}, \ tau _ {3}) x (t- \ tau _ {1}) x (t- \ tau _ {2}) x (t- \ tau _ {3}) d \ tau _ {1} d \ tau _ {2} d \ tau _ {3} + \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h_ {1} (\ tau _ {1}) x (t- \ tau _ {1 }) d \ tau _ {1} + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h_ {2} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}) x (t- \ tau _ {1}) x (t- \ tau _ {2}) d \ tau _ {1} d \ tau _ {2} \\ & + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h_ {3} (\ tau _ {1} , \ tau _ {2}, \ tau _ {3}) x (t- \ tau _ {1}) x (t- \ tau _ {2}) x (t- \ tau _ {3}) d \ tau _ {1} d \ tau _ {2} d \ tau _ {3} + \ cdots \ end {align}}}

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este intrarea. Seria poate converge sau diferi în funcție de sistemul luat în considerare și de mărimea intrării; dacă converge, atunci ieșirea poate fi scrisă cu primii termeni diferiți de zero ai funcției de expansiune și de transfer $H_{n}(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})$ ${\ displaystyle H_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, \ dots, s_ {n})}$ ${\ displaystyle H_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, \ dots, s_ {n})}$ este definit, similar sistemelor liniare, ca transformare: ^[2]

H_{n}(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})=\int _{-\infty }^{+\infty }\dots \int _{-\infty }^{+\infty }h_{n}(\tau _{1},\tau _{2},\dots ,\tau _{n})e^{-(s_{1}\tau _{1}+s_{2}\tau _{2}+\dots +s_{n}\tau _{n})}d\tau _{1}\,d\tau _{2}\,\dots ,\ d\tau _{n}

{\ displaystyle H_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, \ dots, s_ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ dots \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} h_ {n} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ dots, \ tau _ {n}) și ^ {- (s_ {1} \ tau _ {1 } + s_ {2} \ tau _ {2} + \ dots + s_ {n} \ tau _ {n})} d \ tau _ {1} \, d \ tau _ {2} \, \ dots, \ d \ tau _ {n}}

{\ displaystyle H_ {n} (s_ {1}, s_ {2}, \ dots, s_ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ dots \ int _ {- \ infty } ^ {+ \ infty} h_ {n} (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ dots, \ tau _ {n}) și ^ {- (s_ {1} \ tau _ {1 } + s_ {2} \ tau _ {2} + \ dots + s_ {n} \ tau _ {n})} d \ tau _ {1} \, d \ tau _ {2} \, \ dots, \ d \ tau _ {n}}

Notă

^ (EN) Miroslav Halás și Ülle Kotta, Funcțiile de transfer ale sistemelor de control neliniare în timp discret (PDF) pe kirj.ee.
^ (EN) Sudhangshu B. Karmakar, Laplace transform soluție de ecuații diferențiale neliniare (PDF) pe new1.dli.ernet.in (depus de „Original url 28 iunie 2015).

Bibliografie

Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni. Bazele controalelor automate . McGraw-Hill Companies, iunie 2008. ISBN 978-88-386-6434-2 .
( EN ) Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Semnale și sisteme , ediția a II-a, Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 p. 50
( EN ) Garrett Birkhoff și Rota, Gian-Carlo, Ecuații diferențiale ordinare , New York, John Wiley & Sons, 1978, ISBN 0-471-05224-8 .
( EN ) Karsuhiko Ogata. Inginerie modernă de control . Prentice Hall, 2002.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Funcția de transfer , în PlanetMath .
( EN ) ECE 209: Revizuirea circuitelor ca sisteme LTI - Primer scurt pentru analiza matematică a sistemelor (electrice) LTI.
( EN ) ECE 209: Surse de schimbare de fază - Oferă o explicație intuitivă a sursei de schimbare de fază în două sisteme LTI simple. Verifică, de asemenea, funcții simple de transfer, utilizând identități trigonometrice.
( EN ) Modelul funcției de transfer în Mathematica , pe reference.wolfram.com .

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85136905 · GND (DE) 4186647-2

Portal automat de verificări : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu verificări automate

[1] (EN) Miroslav Halás și Ülle Kotta, Funcțiile de transfer ale sistemelor de control neliniare în timp discret (PDF) pe kirj.ee.

[2] (EN) Sudhangshu B. Karmakar, Laplace transform soluție de ecuații diferențiale neliniare (PDF) pe new1.dli.ernet.in (depus de „Original url 28 iunie 2015).

[1]

[2]