Sistem dinamic liniar staționar

În teoria sistemelor , un sistem dinamic liniar staționar , numit și sistem liniar invariant în timp sau sistem LTI , este un sistem liniar dinamic invariant în timp , adică supus principiului suprapunerii de efecte și astfel încât comportamentul său să fie constant în timp. Este un model matematic care are o importanță deosebită în numeroase aplicații, în special în electronică și teoria controlului .

Descriere

Un sistem staționar (sau invariant de timp) este un sistem ai cărui parametri nu depind de timp. Prin urmare, procesul fizic al cărui sistem este modelul matematic este un sistem de ecuații diferențiale , derivat în raport cu timpul, cu coeficienți constanți:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\,{\vec {f}}({\vec {x}}(t),{\vec {x}}_{0},{\vec {u}}(t))\qquad {\vec {y}}(t)=\,{\vec {h}}({\vec {x}}(t),{\vec {x}}_{0},{\vec {u}}(t)),

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \, {\ vec {f}} ({\ vec {x}} (t), {\ vec {x }} _ {0}, {\ vec {u}} (t)) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \, {\ vec {h}} ({\ vec {x}} (t ), {\ vec {x}} _ {0}, {\ vec {u}} (t)),}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \, {\ vec {f}} ({\ vec {x}} (t), {\ vec {x }} _ {0}, {\ vec {u}} (t)) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \, {\ vec {h}} ({\ vec {x}} (t ), {\ vec {x}} _ {0}, {\ vec {u}} (t)),}

unde este ${\vec {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ , ${\vec {x}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {0}}$ , ${\vec {u}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ Și ${\vec {y}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ sunt vectori de coloană . Vectorul ${\vec {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ reprezintă variabilele de stare în funcție de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , care în general nu poate fi fixat sau observat direct, vectorul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ reprezintă variabilele de stare la momentul inițial $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , ${\vec {u}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ sunt intrările, adică variabilele asupra cărora se acționează pentru a modifica tendința sau traiectoria statului și ${\vec {y}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ acestea sunt rezultatele, adică variabilele măsurate din care se deduce, în funcție de caracteristicile de observabilitate ale sistemului, valoarea sau estimarea stării . Pot exista anumite variabile de intrare, numite tulburări sau zgomote, asupra cărora nu puteți acționa în niciun fel. Termenul $d{\vec {x}}(t)/dt$ ${\ displaystyle d {\ vec {x}} (t) / dt}$ ${\ displaystyle d {\ vec {x}} (t) / dt}$ este și derivatul în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ din ${\vec {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ și funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ nu sunt direct dependenți de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Un sistem este, de asemenea, liniar atunci când depinde liniar de variabilele de stare și de variabilele de intrare:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} (t){\vec {x}}(t)+\mathbf {B} (t){\vec {u}}(t)\qquad {\vec {y}}(t)=\mathbf {C} (t){\vec {x}}(t)+\mathbf {D} (t){\vec {u}}(t),

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} (t ) {\ vec {u}} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} (t ) {\ vec {u}} (t),}

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} (t ) {\ vec {u}} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} (t) {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} (t ) {\ vec {u}} (t),}

unde este $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ sunt matrici de dimensiuni adecvate carepremultiplic ${\vec {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ Și ${\vec {u}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ . În general, acestea pot varia în timp, dar nu și în cazul unui sistem staționar:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)\qquad {\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u }} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t). }

{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u }} (t) \ qquad {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t). }

Printre caracteristicile celor mai studiate sisteme LTI se numără proprietățile de stabilitate , accesibilitate și observabilitate : dacă sunt verificate atunci pentru sistemul de control (adică sistemul obținut prin feedback - ul sistemului dinamic LTI cu un controler LTI) există întotdeauna un controler care face ca sistem de control stabil asimptotic.

Răspunsul în frecvență al sistemelor LTI poate fi studiat pornind de la caracteristicile funcției de transfer , o funcție complexă a cărei comportament al polilor este simptomatic al stabilității sistemului pe care îl descrie.

Un sistem liniar staționar este deosebit de important, deoarece, pe lângă faptul că oferă nenumărate rezultate practice și teoretice, este adesea folosit pentru a liniarizează chiar și sistemele neliniare sau non-staționare pentru a facilita calculul și aplicațiile. În cazul variabilelor continue, sistemele liniare și staționare sunt descrise prin ecuații algebrice în domeniul timpului dacă sunt statice, altfel există ecuații diferențiale obișnuite dacă sunt dinamice. Mai mult, sistemele liniare și staționare pot fi studiate și în domeniul frecvenței .

În cazul general și cu singura dependență de o variabilă de timp, fie $\mathbf {u} _{in}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {in} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {in} (t)}$ orice solicitare de intrare. Este $\mathbf {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ un operator care rezumă toate operațiunile pe care sistemul le poate efectua la solicitarea de intrare $\mathbf {u} _{in}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {in} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {in} (t)}$ . Apoi relația care leagă intrarea și ieșirea unui sistem este în general:

\mathbf {u} _{out}(t)=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}(t)).

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in} (t)).}

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in} (t)).}

Sistemele liniare sunt supuse principiului suprapunerii , adică un sistem este liniar dacă se mențin următoarele proprietăți:

\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}}+\mathbf {u} _{in_{2}})=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}})+\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{2}})\qquad \mathbf {Z} (c\mathbf {u} _{in})=c\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}),

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}} + \ mathbf {u} _ {in_ {2}}) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}}) + \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {2}}) \ qquad \ mathbf {Z} (c \ mathbf {u} _ {in}) = c \ mathbf {Z } (\ mathbf {u} _ {in}),}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}} + \ mathbf {u} _ {in_ {2}}) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}}) + \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {2}}) \ qquad \ mathbf {Z} (c \ mathbf {u} _ {in}) = c \ mathbf {Z } (\ mathbf {u} _ {in}),}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este un număr arbitrar. Sistemele invariante în timp, numite și staționare sau statice , sunt și acele sisteme pentru care răspunsul depinde doar de valorile instantanee ale intrării:

\mathbf {u} _{out}(t-t_{0})=\mathbf {Z} \mathbf {u} _{in}(t-t_{0})

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t-t_ {0}) = \ mathbf {Z} \ mathbf {u} _ {in} (t-t_ {0})}

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t-t_ {0}) = \ mathbf {Z} \ mathbf {u} _ {in} (t-t_ {0})}

chiar dacă parametrii sistemului sunt independenți de timp.

Există, de asemenea, sisteme statice în electronica digitală și se numesc combinatori . În contrast, există sisteme dinamice liniare în care ieșirea este dependentă atât de valorile instantanee ale intrării, cât și de istoricul trecut al semnalului de intrare. În mod similar, în electronica digitală există sisteme dinamice numite secvențiale . În electronică , printre sistemele liniare, elementele circuitului precum rezistențele , condensatoarele , inductoarele sunt considerabil importante, în timp ce printre sistemele neliniare există dioda și tranzistoarele .

Sisteme de timp continuu

Ieșirea $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ a unui sistem dinamic liniar în timp continuu invariant din timp supus unui semnal de intrare ${\vec {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ este descris de convoluție :

y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\vec {x}}(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau

{\ displaystyle y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ vec {x}} (t- \ tau) \ cdot h (\ tau ) \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau}

{\ displaystyle y (t) = x (t) * h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ vec {x}} (t- \ tau) \ cdot h (\ tau ) \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ operatorname {d} \ tau}

unde este $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ este răspunsul sistemului la impuls, adică la intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este o funcție delta Dirac . Ieșirea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este deci proporțional cu media înregistrării $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ponderat de funcție $h(-\tau )$ ${\ displaystyle h (- \ tau)}$ $h (- \ tau)$ , mutat cu un timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Dacă funcția $h(\tau )$ ${\ displaystyle h (\ tau)}$ $h (\ tau)$ nu este nimic când $\tau <0$ ${\ displaystyle \ tau <0}$ $\ tau <0$ asa de $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ depinde doar de valorile asumate de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ înainte de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , iar sistemul se numește cauzal .

Pentru a arăta cum răspunsul la impuls determină complet comportamentul sistemului LTI $O_{t}$ ${\ displaystyle O_ {t}}$ ${\ displaystyle O_ {t}}$ acțiunea sistemului la momentul respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Pentru invarianța timpului avem:

O_{t}\{x(u-\tau )\}=y(t-\tau )\equiv O_{t-\tau }\{x\}\qquad h(t)\equiv O_{t}\{\delta (u)\}

{\ displaystyle O_ {t} \ {x (u- \ tau) \} = y (t- \ tau) \ equiv O_ {t- \ tau} \ {x \} \ qquad h (t) \ equiv O_ { t} \ {\ delta (u) \}}

{\ displaystyle O_ {t} \ {x (u- \ tau) \} = y (t- \ tau) \ equiv O_ {t- \ tau} \ {x \} \ qquad h (t) \ equiv O_ { t} \ {\ delta (u) \}}

de la care:

h(t-\tau )\equiv O_{t-\tau }\{\delta (u)\}=O_{t}\{\delta (u-\tau )\}

{\ displaystyle h (t- \ tau) \ equiv O_ {t- \ tau} \ {\ delta (u) \} = O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \}}

{\ displaystyle h (t- \ tau) \ equiv O_ {t- \ tau} \ {\ delta (u) \} = O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \}}

astfel încât să obținem:

{\begin{aligned}{\vec {x}}(t)*h(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\operatorname {d} \tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau )\}\operatorname {d} \tau \\&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\operatorname {d} \tau \right\}\\&=O_{t}\left\{x(u)\right\}=y(t)\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {x}} (t) * h (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \ operatorname {d} \ tau \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \} \ operatorname {d} \ tau \\ & = O_ {t} \ left \ {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot \ delta (u- \ tau) \ operatorname { d} \ tau \ right \} \\ & = O_ {t} \ left \ {x (u) \ right \} = y (t) \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {x}} (t) * h (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \ operatorname {d} \ tau \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau) \} \ operatorname {d} \ tau \\ & = O_ {t} \ left \ {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot \ delta (u- \ tau) \ operatorname { d} \ tau \ right \} \\ & = O_ {t} \ left \ {x (u) \ right \} = y (t) \\\ end {align}}}

Funcție de transfer

O funcție automată $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a unui operator liniar $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este o funcție care este transformată de operator în aceeași funcție înmulțită cu un număr $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , numită valoare proprie :

{\mathcal {H}}f=\lambda f.

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} f = \ lambda f.}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} f = \ lambda f.}

Pentru un sistem LTI în timp continuu, funcțiile proprii sunt funcțiile exponențiale $Ae^{st}$ ${\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ , cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ . Într-adevăr, fie el $x(t)=Ae^{st}$ ${\ displaystyle x (t) = Ae ^ {st}}$ $x (t) = Ae ^ {{st}}$ intrarea e $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ răspunsul sistemului la delta Dirac. Eliberarea este dată de:

\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau =Ae^{st}H(s).

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) Ae ^ {s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {st} e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } h (\ tau) \, e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} H (s).}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) Ae ^ {s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {st} e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } h (\ tau) \, e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau = Ae ^ {st} H (s).}

Transformata Laplace:

H(s)\equiv {\mathcal {L}}\{h(t)\}\equiv \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t

{\ displaystyle H (s) \ equiv {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \ , \ operatorname {d} t}

{\ displaystyle H (s) \ equiv {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \ , \ operatorname {d} t}

este funcția de transfer a sistemului, ceea ce face posibilă obținerea valorilor proprii pornind de la răspunsul impulsului Dirac. Pentru fiecare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ieșirea este deci produsul intrării $Ae^{st}$ ${\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ pentru o constantă dependentă numai de parametru $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , valoarea proprie a sistemului LTI referitoare la vectorul propriu $Ae^{st}$ ${\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st}}$ (element al unui spațiu vectorial funcțional). Un interes deosebit este cazul în care intrarea este un exponențial complex $\exp({j\omega t})$ ${\ displaystyle \ exp ({j \ omega t})}$ $\ exp ({j \ omega t})$ , cu $\omega \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R}}$ $\ omega \ în {\ mathbb {R}}$ Și $j\equiv {\sqrt {-1}}$ ${\ displaystyle j \ equiv {\ sqrt {-1}}}$ ${\ displaystyle j \ equiv {\ sqrt {-1}}}$ . Funcția de transfer este dată în acest caz de transformata Fourier :

H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}.

{\ displaystyle H (j \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}.}

{\ displaystyle H (j \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}.}

În timp ce transformarea Laplace este utilizată pentru semnale care sunt nule înainte de un anumit timp $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , de obicei zero, transformata Fourier permite să se ocupe de funcții de durată infinită, cu cerința (spre deosebire de transformata Laplace în sisteme stabile) de a fi pătrată însumabilă .

Datorită proprietăților convoluției, în domeniul transformării integrala este redusă la o multiplicare:

y(t)=(h*x)(t)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \equiv {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s){X}(s)\}.

{\ displaystyle y (t) = (h * x) (t) \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau \ equiv {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {H (s) {X} (s) \}.}

{\ displaystyle y (t) = (h * x) (t) \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) \, \ operatorname {d} \ tau \ equiv {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {H (s) {X} (s) \}.}

Acest fapt permite transformarea ecuațiilor diferențiale și integrale care guvernează de obicei sistemele dinamice LTI în ecuații algebrice.

Răspuns de domeniu de frecvență

Descrierea unui sistem LTI în domeniul timpului (în albastru) și în domeniul frecvenței ( transformata Laplace este afișată în roșu).

Sistemele liniare și staționare pot fi studiate în domeniul frecvenței analizând răspunsul lor la intrările sinusoidale pure , a căror frecvență nu este modificată în urma transformării liniare efectuate de sistem (de exemplu, derivarea sau integrarea semnalului). Aceasta permite reprezentarea unui semnal periodic ca o combinație liniară de semnale sinusoidale prin seria Fourier . În cazul funcțiilor non-periodice, se utilizează transformata Fourier sau transformata Laplace .

Studiul sistemelor liniare și staționare în domeniul frecvenței trece prin metodele simbolice și / sau metoda operatorului , care sunt utile și pentru studierea sistemelor în cascadă. Scopul este de a determina o funcție de transfer care determină complet răspunsul sistemului.

Legătura dintre răspunsul domeniului timp și răspunsul domeniului de frecvență este de o importanță considerabilă. Aceste relații sunt obținute exact numai în cazuri simple și, în special, sunt legăturile dintre intrările impulsive sau unitare și diferitele frecvențe de tăiere sau de rezonanță, precum și valorile amplitudinii și fazelor în termeni de frecvență. Mai precis, există conexiuni simple între timpii de creștere a semnalelor, lățimea de bandă și faza unui sistem. În cazul sistemelor de ordinul întâi sunt conexiuni exacte, în cazul sistemelor de ordinul doi sau mai mari decât al doilea sunt utile pentru o aproximare.

Sisteme de timp discrete

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar staționar discret .

Un sistem discret de timp transformă secvența în intrare $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ într-o altă succesiune $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ , dat de convoluția discretă cu răspunsul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ spre delta Kronecker :

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k].

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k].}

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k].}

Elementele din $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ poate depinde de orice element al $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ . Obișnuit $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ depinde mai mult de elementele din apropierea timpului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Cele mai multe semnale de timp discret sunt obținute dintr-un semnal de timp continuu, luând în considerare valoarea sa luată în momente precise de timp, de obicei separate printr-un interval de timp fixat $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Procedura care permite obținerea unui semnal discret pornind de la unul continuu se numește eșantionare și este baza conversiei analog-digitale (ADC). Transformă o funcție continuă ${\vec {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ în semnalul discret:

x[n]\equiv x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,

{\ displaystyle x [n] \ equiv x (nT) \ qquad \ forall \, n \ in \ mathbb {Z},}

{\ displaystyle x [n] \ equiv x (nT) \ qquad \ forall \, n \ in \ mathbb {Z},}

cu $1/T$ ${\ displaystyle 1 / T}$ ${\ displaystyle 1 / T}$ rata de eșantionare . Teorema de eșantionare plasează o limită a frecvenței maxime a semnalului continuu, care nu poate fi mai mare de $1/(2T)$ ${\ displaystyle 1 / (2T)}$ ${\ displaystyle 1 / (2T)}$ dacă doriți să evitați pierderea informațiilor (fenomen aliasing ).

Ca și în cazul sistemelor de timp continuu, dacă $O_{n}$ ${\ displaystyle O_ {n}}$ ${\ displaystyle O_ {n}}$ este operatorul de transformare la momentul respectiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

y[n]\equiv O_{n}\{x\},

{\ displaystyle y [n] \ equiv O_ {n} \ {x \},}

{\ displaystyle y [n] \ equiv O_ {n} \ {x \},}

succesiunea:

h[n]\equiv O_{n}\{\delta [m]\}

{\ displaystyle h [n] \ equiv O_ {n} \ {\ delta [m] \}}

{\ displaystyle h [n] \ equiv O_ {n} \ {\ delta [m] \}}

caracterizează complet sistemul. Pentru a arăta acest lucru, luând în considerare invarianța în timp:

O_{n}\{x[m-k]\}=y[n-k]\equiv O_{n-k}\{x\}

{\ displaystyle O_ {n} \ {x [mk] \} = y [nk] \ equiv O_ {nk} \ {x \}}

{\ displaystyle O_ {n} \ {x [m-k] \} = y [n-k] \ equiv O_ {n-k} \ {x \}}

și având în vedere că identitatea este valabilă:

x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],

{\ displaystyle x [m] \ equiv \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [mk],}

{\ displaystyle x [m] \ equiv \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [m-k],}

avem:

y[n]=O_{n}\{x\}=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k]\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n-k}\{\delta [m]\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k].

{\ displaystyle y [n] = O_ {n} \ {x \} = O_ {n} \ left \ {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [ mk] \ right \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {n} \ {\ delta [mk] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {nk} \ {\ delta [m] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [ nk].}

{\ displaystyle y [n] = O_ {n} \ {x \} = O_ {n} \ left \ {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot \ delta [ mk] \ right \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {n} \ {\ delta [mk] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot O_ {nk} \ {\ delta [m] \} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [ nk].}

Operatorul $O_{n}$ ${\ displaystyle O_ {n}}$ ${\ displaystyle O_ {n}}$ returnează o ieșire proporțională cu media ponderată a $x[k]$ ${\ displaystyle x [k]}$ ${\ displaystyle x [k]}$ cu funcție de greutate dată de $h[-k]$ ${\ displaystyle h [-k]}$ ${\ displaystyle h [-k]}$ . De sine $h[k]=0$ ${\ displaystyle h [k] = 0}$ ${\ displaystyle h [k] = 0}$ pentru valori de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ negativ sistemul este cauzal.

Funcție de transfer

Exponențialele de tip $z^{n}=e^{sTn}$ ${\ displaystyle z ^ {n} = e ^ {sTn}}$ $z ^ {n} = e ^ {{sTn}}$ , cu $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in {\ mathbb {Z}}$ , sunt funcții proprii ale unui operator liniar invariant în timp. Într-adevăr, a spus $T\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle T \ in \ mathbb {R}}$ $T \ in {\ mathbb {R}}$ perioada de eșantionare e $z=e^{sT}$ ${\ displaystyle z = e ^ {sT}}$ $z = e ^ {{sT}}$ , cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în $\mathbf {C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ , să presupunem $x[n]=\,\!z^{n}$ ${\ displaystyle x [n] = \, \! z ^ {n}}$ $x [n] = \, \! z ^ {n}$ intrarea sistemului. De sine $h[n]$ ${\ displaystyle h [n]}$ $h [n]$ este răspunsul impulsiv, avem:

y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] \, z ^ {m} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] \, z ^ {(nm)} = z ^ {n} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] \, z ^ {- m} = z ^ { n} H (z)}

y [n] = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h [nm] \, z ^ {m} = \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ { {\ infty}} h [m] \, z ^ {{(nm)}} = z ^ {n} \ sum _ {{m = - \ infty}} ^ {{\ infty}} h [m] \ , z ^ {{- m}} = z ^ {n} H (z)

Functia:

H(z)\equiv \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}

{\ displaystyle H (z) \ equiv \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] z ^ {- m}}

{\ displaystyle H (z) \ equiv \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [m] z ^ {- m}}

depinde doar de parametru $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și este valoarea proprie asociată cu vectorul propriu (funcția proprie) $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ a sistemului LTI.

Transformarea zeta :

H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}

{\ displaystyle H (z) = {\ mathcal {Z}} \ {h [n] \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} h [n] z ^ {- n}}

H (z) = {\ mathcal {Z}} \ {h [n] \} = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} h [n] z ^ {{- n}}

este funcția de transfer a sistemului. Un interes deosebit este cazul în care funcțiile proprii sunt sinusoide pure $e^{j\omega n}$ ${\ displaystyle e ^ {j \ omega n}}$ $e ^ {{j \ omega n}}$ , cu $\omega \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R}}$ $\ omega \ în {\ mathbb {R}}$ , care poate fi scris ca $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ , unde este $z=e^{j\omega }$ ${\ displaystyle z = e ^ {j \ omega}}$ $z = e ^ {{j \ omega}}$ . Pentru funcții de acest tip, funcția de transfer este dată de transformata Fourier în timp discret :

H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}.

{\ displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = {\ mathcal {F}} \ {h [n] \}.}

{\ displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = {\ mathcal {F}} \ {h [n] \}.}

Datorită proprietăților convoluției, se obține o multiplicare în domeniul transformării:

y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z){\vec {X}}(z)\},

{\ displaystyle y [n] = (h * x) [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] x [m] = {\ mathcal {Z}} ^ { -1} \ {H (z) {\ vec {X}} (z) \},}

{\ displaystyle y [n] = (h * x) [n] = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [nm] x [m] = {\ mathcal {Z}} ^ { -1} \ {H (z) {\ vec {X}} (z) \},}

care, similar cu cazul continuu, este de o utilitate considerabilă în analiza sistemelor LTI.

Descrierea matricei

Un sistem LTI este descris printr-o ecuație precum:

\left\{{\begin{matrix}{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)\\{\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \\ {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} { \ vec {u}} (t) \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \\ {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} { \ vec {u}} (t) \ end {matrix}} \ right.}

in care $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ nu sunt o funcție a timpului, ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ , ${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ Și ${\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{p}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ; de asemenea matricea $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ are dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ are dimensiune $n\times q$ ${\ displaystyle n \ times q}$ ${\ displaystyle n \ times q}$ , $\mathbf {C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ are dimensiune $p\times n$ ${\ displaystyle p \ times n}$ $p \ ori n$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ are dimensiune $p\times q$ ${\ displaystyle p \ times q}$ ${\ displaystyle p \ times q}$ .

Soluția ecuației matricei

Dorind să rezolve ecuația anterioară, trebuie să se distingă următoarele cazuri:

$\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ admite doar valori proprii reale cu multiplicitate algebrică egală cu multiplicitatea geometrică pentru fiecare valoare proprie.
$\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ admite doar valori proprii complexe conjugate .
$\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ admite valori proprii conjugate atât reale, cât și complexe.

Valori proprii reale cu multiplicitate algebrică egală cu multiplicitatea geometrică

Luați în considerare transformarea coordonatelor:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} {\vec {z}}(t),

{\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t),}

{\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t),}

cu $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ mathbf {P}$ matrice de dimensiuni $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , ale căror coloane sunt vectorii proprii ai $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ liniar independent care generează fiecare spațiu propriu raportat la fiecare valoare proprie, e ${\vec {z}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {z}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {z}} (t)}$ vectorul de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Are asta ${\vec {z}}(t)=\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t)$ ${\ displaystyle {\ vec {z}} (t) = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ vec {x}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {z}} (t) = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ vec {x}} (t)}$ , unde este $\mathbf {P} ^{-1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1}}$ este matricea inversă a $\mathbf {P}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$ $\ mathbf {P}$ , in timp ce:

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\mathbf {P} ^{-1}{\frac {d({\vec {x}}(t))}{dt}}=\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t))=\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} {\vec {z}}(t)+\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} {\vec {u}}(t).

{\ displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ frac {d ({\ vec {x}} ( t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} (\ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t )) = \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} { \ vec {u}} (t).}

{\ displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ frac {d ({\ vec {x}} ( t))} {dt}} = \ mathbf {P} ^ {- 1} (\ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t )) = \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} { \ vec {u}} (t).}

Din teoria diagonalizării matricilor avem că $\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {\Lambda }$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} = \ mathbf {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} = \ mathbf {\ Lambda}}$ , unde este $\mathbf {\Lambda }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ este matricea diagonală în care pe diagonala principală există valorile proprii ale $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ repetat, în cele din urmă fiecare cu propria sa multiplicitate. Prin urmare, se obține următoarea ecuație diferențială a matricei:

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\mathbf {\Lambda } {\vec {z}}(t)+\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} {\vec {u}}(t).

{\ displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {\ Lambda} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ { -1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t).}

{\ displaystyle {\ frac {d ({\ vec {z}} (t))} {dt}} = \ mathbf {\ Lambda} {\ vec {z}} (t) + \ mathbf {P} ^ { -1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t).}

În special, dacă valorile proprii ale $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ sunt reale și distincte pe matricea diagonală $\mathbf {\Lambda }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Lambda}}$ vor exista $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ valori proprii distincte ale $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ .

Înmulțind ambele părți ale ecuației cu matricea exponențială $e^{-\mathbf {\Lambda } t}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t}}$ , care are exponențialele pe diagonala principală $e^{-\lambda _{i}t}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ lambda _ {i} t}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ lambda _ {i} t}}$ (cu $\lambda _{i}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ valorile proprii ale $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ ), avem următoarea ecuație diferențială:

{\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {\Lambda } t}{\vec {z}}(t))=e^{-\mathbf {\Lambda } t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} {\vec {u}}(t).

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} {\ vec {z}} (t)) = e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t).}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} {\ vec {z}} (t)) = e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t).}

Prin integrare obținem, alegând ca primitive pe cele care se anulează în $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ și înmulțirea ecuației cu $e^{\mathbf {\Lambda } t}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t}}$ :

{\vec {z}}(t)=e^{\mathbf {\Lambda } t}(\int e^{-\mathbf {\Lambda } t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} dt+{\vec {c}}).

{\ displaystyle {\ vec {z}} (t) = e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t} (\ int e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} dt + {\ vec {c}}).}

{\ displaystyle {\ vec {z}} (t) = e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t} (\ int e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} t} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} dt + {\ vec {c}}).}

Deci avem:

{\vec {x}}(t_{0})=\mathbf {P} {\vec {z}}(t_{0})=Pe^{\mathbf {\Lambda } t_{0}}{\vec {x}},

{\ displaystyle {\ vec {x}} (t_ {0}) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t_ {0}) = Pe ^ {\ mathbf {\ Lambda} t_ {0}} {\ vec {x}},}

{\ displaystyle {\ vec {x}} (t_ {0}) = \ mathbf {P} {\ vec {z}} (t_ {0}) = Pe ^ {\ mathbf {\ Lambda} t_ {0}} {\ vec {x}},}

din care derivă vectorul ${\vec {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ vec {x}}$ . Prin urmare, soluția ecuației diferențiale a matricei este:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } t}\int _{t_{0}}^{t}e^{-\mathbf {\Lambda } \tau }\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = \ mathbf {P} e ^ {\ mathbf {\ Lambda} (t-t_ {0})} \ mathbf {P} ^ {- 1} {\ vec {x}} (t_ {0}) + \ mathbf {P} e ^ {\ mathbf {\ Lambda} t} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} e ^ {- \ mathbf {\ Lambda} \ tau} \ mathbf {P} ^ {- 1} \ mathbf {B} u (\ tau) d \ tau.}

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } t}\int _{t_{0}}^{t}e^{-\mathbf {\Lambda } \tau }\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

Essendo $Pe^{\mathbf {\Lambda } t}$ $Pe^{\mathbf {\Lambda } t}$ $Pe^{\mathbf {\Lambda } t}$ costante rispetto a $\tau$ $\tau$ $\tau$ , si ottiene:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau

{\vec {x}}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau

Si nota che larisposta libera nello stato , ottenuta ponendo ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ , è:

{\vec {x}}_{l}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {x}}_{l}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {x}}_{l}(t)=\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

cioè basta moltiplicare la matrice $\mathbf {P}$ $\mathbf {P}$ $\mathbf{P}$ degli autovettori di $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ , la matrice esponenziale $e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}$ $e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}$ $e^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}$ , l'inversa di $\mathbf {P}$ $\mathbf {P}$ $\mathbf{P}$ ed il vettore di stato ${\vec {x}}(t_{0})$ ${\vec {x}}(t_{0})$ ${\vec {x}}(t_{0})$ .

La risposta forzata nello stato è invece ottenuta ponendo ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ , cioè:

{\vec {x}}_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau .

Inoltre, la risposta libera nell'uscita per ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ ${\vec {u}}(t)=0$ è:

{\vec {y}}_{l}(t)=\mathbf {C} Pe^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {y}}_{l}(t)=\mathbf {C} Pe^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

{\vec {y}}_{l}(t)=\mathbf {C} Pe^{\mathbf {\Lambda } (t-t_{0})}\mathbf {P} ^{-1}{\vec {x}}(t_{0}),

mentre la risposta forzata nell'uscita per ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ ${\vec {x}}(t_{0})=0$ è:

y_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {C} \mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau +\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

y_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {C} \mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau +\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

y_{f}(t)=\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {C} \mathbf {P} e^{\mathbf {\Lambda } (t-\tau )}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {B} u(\tau )d\tau +\mathbf {D} {\vec {u}}(t).

Autovalori complessi coniugati

Volendo analizzare il caso in cui $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ ammette autovalori complessi coniugati, si supponga che essa sia una matrice di dimensione 2 e siano $\alpha +j\omega$ $\alpha +j\omega$ $\alpha +j\omega$ e $\alpha -j\omega$ $\alpha -j\omega$ $\alpha -j\omega$ i due autovalori complessi coniugati di $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ . Siano inoltre ${\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b}$ e ${\vec {u}}_{a}-j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}-j{\vec {u}}_{b}$ ${\vec {u}}_{a}-j{\vec {u}}_{b}$ i due autovettori complessi coniugati corrispondenti. Applicando la definizione di autovalore e di autovettore si ha la seguente equazione algebrica:

(\mathbf {A} -(\alpha +j\omega )\mathbf {I} )(({\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b})={\vec {0}},

(\mathbf {A} -(\alpha +j\omega )\mathbf {I} )(({\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b})={\vec {0}},

(\mathbf {A} -(\alpha +j\omega )\mathbf {I} )(({\vec {u}}_{a}+j{\vec {u}}_{b})={\vec {0}},

dove $\mathbf {I}$ $\mathbf {I}$ $\mathbf{I}$ è la matrice identica di dimensione 2. Si possono separare parte reale e parte immaginaria nella forma:

((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b})+j((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}))={\vec {0}}.

((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b})+j((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}))={\vec {0}}.

((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b})+j((\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}))={\vec {0}}.

Affinché l'equazione sia vera è necessario che parte reale e parte immaginaria si annullino entrambe, pertanto si ha il sistema:

(\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b}={\vec {0}}\qquad (\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}={\vec {0}},

(\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b}={\vec {0}}\qquad (\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}={\vec {0}},

(\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{a}+\omega {\vec {u}}_{b}={\vec {0}}\qquad (\mathbf {A} -\alpha \mathbf {I} ){\vec {u}}_{b}+\omega {\vec {u}}_{a}={\vec {0}},

che può essere posto nella forma:

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})=({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})=({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})=({\vec {u}}_{a}{\vec {u}}_{b})\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

Se si pone $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono la parte reale e immaginaria dei due autovettori complessi coniugati si ha che:

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right).

Ragionando come nel caso degli autovalori reali e distinti si ottiene:

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right){\vec {z}}(t)+\mathbf {T} \mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right){\vec {z}}(t)+\mathbf {T} \mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d({\vec {z}}(t))}{dt}}=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right){\vec {z}}(t)+\mathbf {T} \mathbf {B} {\vec {u}}(t)

e quindi in tal caso la soluzione dell'equazione differenziale matriciale è:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-\tau )}\mathbf {T} \mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-\tau )}\mathbf {T} \mathbf {B} u(\tau )d\tau .

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {T} ^{-1}e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-\tau )}\mathbf {T} \mathbf {B} u(\tau )d\tau .

Sviluppando in serie di Taylor la matrice esponenziale :

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}

per l' identità di Eulero si ha che:

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}=e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right).

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}=e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right).

e^{\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)(t-t_{0})}=e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right).

Per cui, sostituendo si ha:

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+x_{f}(t).

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+x_{f}(t).

{\vec {x}}(t)=\mathbf {T} ^{-1}e^{\alpha (t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-t_{0})&\sin \omega (t-t_{0})\\-\sin \omega (t-t_{0})&\cos \omega (t-t_{0})\end{array}}\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0})+x_{f}(t).

Autovalori reali e complessi coniugati

Si supponga che la matrice $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ di ordine n ammetta $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ autovalori reali distinti $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}$ a cui corrispondono $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ autovettori distinti $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.$ $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.$ $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}.$ Allora si hanno le seguenti equazioni:

\mathbf {A} v_{1}=\lambda _{1}v_{1}\qquad Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\quad \dots \quad \mathbf {A} v_{k}=\lambda _{k}v_{k}.

\mathbf {A} v_{1}=\lambda _{1}v_{1}\qquad Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\quad \dots \quad \mathbf {A} v_{k}=\lambda _{k}v_{k}.

\mathbf {A} v_{1}=\lambda _{1}v_{1}\qquad Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}\quad \dots \quad \mathbf {A} v_{k}=\lambda _{k}v_{k}.

Supponendo inoltre che $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ ammetta $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ coppie di autovalori complessi coniugati la cui p-esima coppia è $\alpha _{p}+j\omega _{p}$ $\alpha _{p}+j\omega _{p}$ $\alpha _{p}+j\omega _{p}$ e $\alpha _{p}-j\omega _{p}$ $\alpha _{p}-j\omega _{p}$ $\alpha _{p}-j\omega _{p}$ , a cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati ${\vec {u}}_{a_{p}}+j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}+j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}+j{\vec {u}}_{b_{p}}$ e ${\vec {u}}_{a_{p}}-j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}-j{\vec {u}}_{b_{p}}$ ${\vec {u}}_{a_{p}}-j{\vec {u}}_{b_{p}}$ , allora per quanto visto nel caso precedente si ha per la $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ -esima coppia:

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})=({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})=({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)

\mathbf {A} ({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})=({\vec {u}}_{a_{p}}{\vec {u}}_{b_{p}})\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)

Posto $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ $\mathbf {T} ^{-1}$ uguale alla matrice le cui colonne sono i $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie delle $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ coppie di autovettori complessi coniugati, cioè:

\mathbf {T} ^{-1}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k},{\vec {u}}_{a_{1}},{\vec {u}}_{b_{1}},{\vec {u}}_{a_{2}},{\vec {u}}_{b_{2}},...,{\vec {u}}_{a_{p}},{\vec {u}}_{b_{p}})

\mathbf {T} ^{-1}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k},{\vec {u}}_{a_{1}},{\vec {u}}_{b_{1}},{\vec {u}}_{a_{2}},{\vec {u}}_{b_{2}},...,{\vec {u}}_{a_{p}},{\vec {u}}_{b_{p}})

\mathbf {T} ^{-1}=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k},{\vec {u}}_{a_{1}},{\vec {u}}_{b_{1}},{\vec {u}}_{a_{2}},{\vec {u}}_{b_{2}},...,{\vec {u}}_{a_{p}},{\vec {u}}_{b_{p}})

allora dalle precedenti equazioni si ha la matrice diagonale a blocchi :

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&\omega _{1}\\-\omega _{1}&\alpha _{1}\end{array}}\right),...,\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)\right)

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&\omega _{1}\\-\omega _{1}&\alpha _{1}\end{array}}\right),...,\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)\right)

\mathbf {T} \mathbf {A} \mathbf {T} ^{-1}={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k},\left({\begin{array}{cc}\alpha _{1}&\omega _{1}\\-\omega _{1}&\alpha _{1}\end{array}}\right),...,\left({\begin{array}{cc}\alpha _{p}&\omega _{p}\\-\omega _{p}&\alpha _{p}\end{array}}\right)\right)

pertanto:

x_{l}(t)=\mathbf {T} ^{-1}{\mbox{diag}}\left(e^{\lambda _{1}(t-t_{0})},e^{\lambda _{2}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\lambda _{k}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\alpha _{p}(t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega _{p}(t-t_{0})&\sin \omega _{p}(t-t_{0})\\-\sin \omega _{p}(t-t_{0})&\cos \omega _{p}(t-t_{0})\end{array}}\right)\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0}).

x_{l}(t)=\mathbf {T} ^{-1}{\mbox{diag}}\left(e^{\lambda _{1}(t-t_{0})},e^{\lambda _{2}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\lambda _{k}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\alpha _{p}(t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega _{p}(t-t_{0})&\sin \omega _{p}(t-t_{0})\\-\sin \omega _{p}(t-t_{0})&\cos \omega _{p}(t-t_{0})\end{array}}\right)\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0}).

x_{l}(t)=\mathbf {T} ^{-1}{\mbox{diag}}\left(e^{\lambda _{1}(t-t_{0})},e^{\lambda _{2}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\lambda _{k}(t-t_{0})},\ldots ,e^{\alpha _{p}(t-t_{0})}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega _{p}(t-t_{0})&\sin \omega _{p}(t-t_{0})\\-\sin \omega _{p}(t-t_{0})&\cos \omega _{p}(t-t_{0})\end{array}}\right)\right)\mathbf {T} {\vec {x}}(t_{0}).

Proprietà dei sistemi LTI

Lo stato ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ di un sistema LTI può essere esplicitato in funzione dell'ingresso ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ applicando la trasformata di Laplace all' equazione differenziale che lo definisce:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)

Da cui, trasformando e ipotizzando che $x(0^{-})=0$ $x(0^{-})=0$ $x(0^{-})=0$ , si ha:

s{\vec {X}}(s)=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

da cui:

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

e quindi:

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

essendo ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ e ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ le trasformate di ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ e ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ , $I$ ${\displaystyle I}$ $I$ la matrice unità di dimensione $n\times n$ $n\times n$ $n \times n$ , e $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}$ la matrice inversa di $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ $(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )$ . Lo stato può essere ricavato antitrasformando:

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

Poiché l'uscita del sistema è data da ${\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)$ ${\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)$ ${\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)$ , trasformando si ha:

{\vec {Y}}(s)=\mathbf {C} {\vec {X}}(s)+\mathbf {D} {\vec {U}}(s),

{\vec {Y}}(s)=\mathbf {C} {\vec {X}}(s)+\mathbf {D} {\vec {U}}(s),

{\vec {Y}}(s)=\mathbf {C} {\vec {X}}(s)+\mathbf {D} {\vec {U}}(s),

cioè:

{\vec {Y}}(s)=(\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} ){\vec {U}}(s)

{\vec {Y}}(s)=(\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} ){\vec {U}}(s)

{\vec {Y}}(s)=(\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} ){\vec {U}}(s)

La matrice $\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D}$ $\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D}$ $\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D}$ è la matrice di trasferimento o funzione di trasferimento del sistema.

Esempio

Nel caso del circuito elettrico lineare mostrato in figura il vettore di stato ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ è costituito dalla corrente $x_{1}$ $x_{1}$ $x_1$ che passa attraverso l'induttore di induttanza $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ e dalla tensione $x_{2}$ $x_{2}$ $x_2$ ai capi del condensatore di capacità $C_{1}$ $C_{1}$ $C_{1}$ , dove l'ingresso ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ è la tensione del generatore mentre il vettore delle uscite ${\vec {y}}(t)$ ${\vec {y}}(t)$ ${\vec {y}}(t)$ è dato, ad esempio, dalle correnti che passano attraverso il resistore di resistenza $R_{1}$ $R_{1}$ $R_{1}$ e resistore di resistenza $R_{2}$ $R_{2}$ $R_{2}$ . Applicando le equazioni costitutive dei bipoli nonché le equazioni topologiche o leggi di Kirchhoff si ha:

{\begin{array}{c}{\vec {u}}(t)=L{\frac {d(x_{1}(t))}{dt}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)=R_{2}C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.\end{array}}

{\begin{array}{c}{\vec {u}}(t)=L{\frac {d(x_{1}(t))}{dt}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)=R_{2}C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.\end{array}}

{\begin{array}{c}{\vec {u}}(t)=L{\frac {d(x_{1}(t))}{dt}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)=R_{2}C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.\end{array}}

Pertanto, sostituendo l'ultima relazione nelle precedenti e ponendo:

{\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{array}}\right),

{\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{array}}\right),

{\vec {x}}(t)=\left({\begin{array}{c}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{array}}\right),

in tal caso si ha che:

\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

{\vec {B}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right)

{\vec {B}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right)

{\vec {B}}=\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right)

\mathbf {C} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {C} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

\mathbf {C} =\left({\begin{array}{cc}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{array}}\right)

{\vec {D}}=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right).

{\vec {D}}=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right).

{\vec {D}}=\left({\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right).

Si supponga per esempio di voler determinare l'andamento della seconda variabile di stato a partire da un dato istante $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ , ipotizzando che il valore iniziale della stessa fosse nullo e l'andamento dell'ingresso coincida con un impulso di Dirac centrato in $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ . Nel dominio di Laplace l'ingresso ha dunque valore identicamente unitario, quindi avremo:

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)=

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)=

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)=

=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}=

=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}=

=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}=

={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}\left({\begin{array}{cc}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right).

={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}\left({\begin{array}{cc}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right).

={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}\left({\begin{array}{cc}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}{\frac {1}{L}}\\0\end{array}}\right).

Pertanto:

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}.

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}.

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}.

Antitrasformando per passare al dominio del tempo :

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}.

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}.

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}.

Dove:

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}},

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}},

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}},

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}.

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}.

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}.

Dalla terza equazione topologico-costitutiva del modello matematico del sistema si ricava anche la prima variabile di stato:

x_{1}(t)=i_{2}(t)+C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.

x_{1}(t)=i_{2}(t)+C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.

x_{1}(t)=i_{2}(t)+C_{1}{\frac {d(x_{2}(t))}{dt}}.

Stabilità

Di un sistema LTI possono essere studiati diversi tipi di stabilità , come la stabilità interna o quella esterna . Facendo riferimento ai sistemi causali, ovvero nei sistemi in cui le uscite non dipendono dai valori futuri degli ingressi, la funzione di trasferimento ha un polinomio a denominatore di grado non inferiore al grado del polinomio a numeratore. Se gli zeri dei denominatori, che sono i poli della funzione di trasferimento, appartengono al semipiano a parte reale positiva del piano complesso , il sistema è instabile e la risposta all'impulso tende ad un valore infinito al crescere del tempo.

Se invece i poli della funzione di trasferimento appartengono al semipiano a parte reale negativa del piano complesso , il sistema è asintoticamente stabile e la risposta impulsiva tende asintoticamente a zero al crescere del tempo. Se, infine, i poli della funzione di trasferimento appartengono alla retta verticale a parte reale nulla del piano complesso ed hanno molteplicità singola, il sistema è semplicemente stabile e la risposta all'impulso è maggiorata in valore assoluto da un certo valore al crescere del tempo.

Per determinare come variano le posizioni dei poli e degli zeri al variare di particolari parametri, che generalmente rappresentano i guadagni ed altre caratteristiche associate al compensatore dinamico che si vuole progettare per stabilizzare il sistema, si usano particolari grafici, quali ad esempio il diagramma di Bode , il diagramma di Nyquist e il luogo delle radici .

Raggiungibilità

Un sistema lineare tempo invariante è raggiungibile se per ogni stato iniziale $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ lo stato generico $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è raggiungibile, cioè se per ogni stato iniziale $x_{0}$ $x_{0}$ $x_0$ esiste un ingresso ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ che permette al sistema di raggiungere lo stato generico $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ .

Il criterio di Kalman stabilisce che un sistema LTI di dimensione $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ è completamente raggiungibile se e solo se:

\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=\operatorname {rk} [{\begin{matrix}\mathbf {B} |\mathbf {A} B|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} |\ldots |\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n,

\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=\operatorname {rk} [{\begin{matrix}\mathbf {B} |\mathbf {A} B|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} |\ldots |\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n,

\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=\operatorname {rk} [{\begin{matrix}\mathbf {B} |\mathbf {A} B|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} |\ldots |\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n,

dove $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )$ indica il rango di $\mathbf {R}$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {R}}$ , che se è pari a $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ rende il determinante diverso da zero. Qualora risulti che $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=p<n$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=p<n$ $\operatorname {rk} (\mathbf {R} )=p<n$ allora vi sono autovalori raggiungibili, quindi modificabili (in numero pari a $n-p$ ${\displaystyle np}$ $n-p$ ) e autovalori non raggiungibili, detti autovalori fissi (in numero pari a $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ ). Il sistema si dice in tal caso non completamente raggiungibile.

Ad esempio, in un sistema con un ingresso ( $m=1$ ${\displaystyle m=1}$ $m=1$ ) ed una variabile di stato ( $n=1$ ${\displaystyle n=1}$ $n=1$ ) le matrici $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ e $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{B}$ si riducono a scalari e l'equazione di stato relativa è:

x'(t)=Ax(t)+Bu(t),

{\displaystyle x'(t)=Ax(t)+Bu(t),}

x'(t)=Ax(t)+Bu(t),

avendo indicato con $x'(t)$ ${\displaystyle x'(t)}$ $x'(t)$ la derivata prima di ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ rispetto al tempo. Anche la matrice di raggiungibilità (o matrice di Kalman ) è uno scalare $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ : se $b\neq 0$ $b\neq 0$ $b\neq 0$ il sistema è completamente raggiungibile poiché $\operatorname {rk} (R)=n$ $\operatorname {rk} (R)=n$ $\operatorname {rk} (R)=n$ , mentre se è nullo il sistema non è completamente raggiungibile e l'equazione di stato diventa:

x'(t)=Ax(t).

{\displaystyle x'(t)=Ax(t).}

x'(t)=Ax(t).

Un'equazione differenziale di questo tipo è un sistema autonomo .

Un sistema lineare tempo invariante è quindi raggiungibile quando tutti i suoi stati sono raggiungibili, ovvero quando la matrice di raggiungibilità ha rango massimo. Un modo per stabilirlo è il test di Popov-Belevitch-Hautus, anche detto PBH test di raggiungibilità, il quale stabilisce che il rango della matrice ottenuta affiancando la matrice degli ingressi sullo stato $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf{B}$ alla matrice $s\mathbf {I}$ $s\mathbf {I}$ $s\mathbf {I}$ , a cui è sottratta la matrice della dinamica del sistema lineare $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ , deve essere pari al numero totale degli stati $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ al variare di $s$ ${\displaystyle s}$ $s$ :

rk[{\begin{matrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} |\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n\qquad \forall s\in \mathbb {C} .

rk[{\begin{matrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} |\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n\qquad \forall s\in \mathbb {C} .

rk[{\begin{matrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} |\mathbf {B} \\\end{matrix}}]=n\qquad \forall s\in \mathbb {C} .

Esso deriva dalla trasformata di Laplace dell'equazione:

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t),

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t),

{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t),

cioè:

s{\vec {X}}(s)-vec{x}(0^{-})=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)-vec{x}(0^{-})=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

s{\vec {X}}(s)-vec{x}(0^{-})=\mathbf {A} {\vec {X}}(s)+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

da cui, essendo sempre possibile moltiplicare uno scalare per la matrice identità:

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=vec{x}(0^{-})+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=vec{x}(0^{-})+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

(s\mathbf {I} -\mathbf {A} ){\vec {X}}(s)=vec{x}(0^{-})+\mathbf {B} {\vec {U}}(s),

essendo ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ ${\vec {X}}(s)$ e ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ ${\vec {U}}(s)$ le trasformate di ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ ${\vec {x}}(t)$ e ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ ${\vec {u}}(t)$ . Lo stato del sistema, nel dominio di Laplace, è quindi definito come:

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}vec{x}(0^{-})+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}vec{x}(0^{-})+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

{\vec {X}}(s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}vec{x}(0^{-})+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} {\vec {U}}(s).

Stabilizzabilità

Un sistema lineare tempo invariante è stabilizzabile se esiste una matrice di retroazione dallo stato che rende asintoticamente stabile il sistema complessivo. Questo è possibile se e solo se:

Il sistema è completamente raggiungibile.
Il sistema non è completamente raggiungibile e gli autovalori non raggiungibili sono asintoticamente stabili.

Gli autovalori si dicono asintoticamente stabili se hanno parte reale negativa (nei sistemi a tempo continuo) o se hanno modulo minore di 1 (nei sistemi a tempo discreto). In particolare, la completa raggiungibilità di un sistema garantisce la stabilizzabilità in quanto il sottosistema non raggiungibile non esiste e quindi con la retroazione dallo stato è possibile allocare arbitrariamente gli autovalori della matrice $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf{A}$ .

Osservabilità e rilevabilità

Un sistema si dice completamente osservabile se e solo se ogni stato non nullo genera un'uscita libera non identicamente nulla, ovvero quando la matrice di osservabilità ha rango massimo, ed in tal caso è verificato il PBH test di osservabilità. L'uscita di un sistema è somma del contributo dell'evoluzione libera, dipendente dallo stato iniziale, ed evoluzione forzata, dipendente unicamente dall'ingresso.

Un sistema LTI di dimensione $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ è completamente osservabile se e solo se:

rk(O)=rk{\begin{vmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{2}\\...\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\\\end{vmatrix}}=n

rk(O)=rk{\begin{vmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{2}\\...\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\\\end{vmatrix}}=n

rk(O)=rk{\begin{vmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{2}\\...\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\\\end{vmatrix}}=n

oppure se è soddisfatto il PBH test di osservabilità:

rk{\begin{vmatrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} \\\mathbf {C} \end{vmatrix}}=n\qquad \forall s\in \mathbb {C}

rk{\begin{vmatrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} \\\mathbf {C} \end{vmatrix}}=n\qquad \forall s\in \mathbb {C}

rk{\begin{vmatrix}s\mathbf {I} -\mathbf {A} \\\mathbf {C} \end{vmatrix}}=n\qquad \forall s\in \mathbb {C}

Se i test di osservabilità di cui sopra falliscono, non necessariamente non si può osservare il sistema. Con riferimento alla decomposizione di Kalman rispetto alla osservabilità, se gli autovalori della parte inosservabile $\mathbf {A} _{11}$ $\mathbf {A} _{11}$ $\mathbf {A} _{11}$ si trovano già in una parte del piano complesso delimitata da un'ascissa passante per $-a$ ${\displaystyle -a}$ $-a$ , detto $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ , allora il sistema è detto $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ $\mathbb {C} b$ rilevabile .

Risposta al gradino di Heaviside

Se $\sigma (t)$ $\sigma (t)$ $\sigma (t)$ è il gradino di Heaviside unitario di ingresso e $\mathbf {Z}$ $\mathbf {Z}$ ${\mathbf Z}$ è l'insieme delle operazioni che il sistema effettua su tale ingresso, si definisce la risposta unitaria :

g(t)=\mathbf {Z} \sigma (t)

g(t)=\mathbf {Z} \sigma (t)

g(t)=\mathbf {Z} \sigma (t)

Ricordando che la funzione delta di Dirac è la derivata del gradino di heaviside:

\delta (t)={\frac {d\sigma (t)}{dt}}

\delta (t)={\frac {d\sigma (t)}{dt}}

\delta (t)={\frac {d\sigma (t)}{dt}}

e che quindi la risposta impulsiva è legata alla risposta unitaria da:

h(t)=\mathbf {Z} \left({\frac {d\sigma (t)}{dt}}\right)=\left({\frac {d\mathbf {Z} \sigma (t)}{dt}}\right)={\frac {dg(t)}{dt}}

h(t)=\mathbf {Z} \left({\frac {d\sigma (t)}{dt}}\right)=\left({\frac {d\mathbf {Z} \sigma (t)}{dt}}\right)={\frac {dg(t)}{dt}}

h(t)=\mathbf {Z} \left({\frac {d\sigma (t)}{dt}}\right)=\left({\frac {d\mathbf {Z} \sigma (t)}{dt}}\right)={\frac {dg(t)}{dt}}

la risposta unitaria è data dall'integrale:

g(t)=\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau

g(t)=\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau

g(t)=\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau

Nella rappresentazione dinamica dei segnali ogni segnale deterministico può essere rappresentato mediante gradini di Heaviside:

{\vec {u}}_{in}(t)={\vec {u}}_{in}(0)\sigma (t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot \sigma (t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{in}(t)={\vec {u}}_{in}(0)\sigma (t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot \sigma (t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{in}(t)={\vec {u}}_{in}(0)\sigma (t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot \sigma (t-\tau )\cdot d\tau

allora la risposta ad un tale segnale rappresentato secondo la funzione di Heaviside è:

{\vec {u}}_{out}(t)={\vec {u}}_{in}(0)g(t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot g(t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{out}(t)={\vec {u}}_{in}(0)g(t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot g(t-\tau )\cdot d\tau

{\vec {u}}_{out}(t)={\vec {u}}_{in}(0)g(t)+\int _{-\infty }^{t}{\frac {d{\vec {u}}_{in}(t)}{d\tau }}\cdot g(t-\tau )\cdot d\tau

Dopo aver ottenuto la funzione di trasferimento del sistema tramite l'applicazione della trasformata di Laplace , applicare un ingresso a gradino corrisponde a moltiplicare la F. di T. per ${\frac {1}{s}}$ ${\frac {1}{s}}$ ${\frac {1}{s}}$

Bibliografia

( EN ) Phillips, Cl, Parr, JM, & Riskin, EA, Signals, systems and Transforms , Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4 .
( EN ) Hespanha,JP, Linear System Theory , Princeton university press, 2009, ISBN 0-691-14021-9 .
E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi , Edizioni Libreria Progetto, Padova , 2003.
A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni , Pitagora Editrice, Bologna , 1998.
OM Grasselli, Proprietà strutturali dei sistemi lineari e stazionari , Pitagora Editrice, Bologna, 1978.

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
( EN ) ECE 209: Sources of Phase Shift – Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two common electrical LTI systems.
( EN ) JHU 520.214 Signals and Systems course notes . An encapsulated course on LTI system theory. Adequate for self teaching.

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh85077184 · GND ( DE ) 4213494-8

Portale Controlli automatici : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Controlli automatici