De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Un sistem invariant în timp sau sistem staționar , uneori prescurtat în TIV (de la acronimul englez Time-Invariant System ), este un sistem dinamic în care ieșirea nu depinde în mod explicit de timp. Sistemele invariante în timp sunt descrise matematic prin ecuații autonome și prin funcția de transfer și se caracterizează prin faptul că, dacă o intrare {\ displaystyle x (t)} produce ieșirea {\ displaystyle y (t)} apoi pentru fiecare intrare deplasată {\ displaystyle x (t + \ delta)} există o ieșire deplasată de același factor {\ displaystyle y (t + \ delta)} .
Sistemele liniare sunt printre cele mai studiate sisteme staționare.
Definiție
Luați în considerare operatorul de traducere {\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}} care se mișcă {\ displaystyle x = x (t)} a unui factor {\ displaystyle r} . De exemplu, dacă {\ displaystyle r = 1} acțiunea de {\ displaystyle \ mathbb {T} _ {1}} Și:
- {\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} x = x (t + 1) = \, \! \ delta (t + 1) * x (t) \ qquad \ forall \, t \ in \ mathbb {R}}
Dacă reprezentați sistemul printr-un operator {\ displaystyle \ mathbb {H}} , sistemul este invariant în timp dacă {\ displaystyle \ mathbb {H}} comută cu operatorul de traducere:
- {\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \, \ mathbb {H} = \ mathbb {H} \, \ mathbb {T} _ {r} \ qquad \ forall r}
Cu alte cuvinte, sistemul:
- {\ displaystyle y = \ mathbb {H} x}
este invariant în timp dacă se aplică înainte {\ displaystyle \ mathbb {H}} pe {\ displaystyle x} :
- {\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \, \ mathbb {H} x = \ mathbb {T} _ {r} y = y_ {r}}
sau aplicând mai întâi {\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}} :
- {\ displaystyle \ mathbb {H} \, \ mathbb {T} _ {r} x = \ mathbb {H} \, x_ {r}}
se obține același rezultat:
- {\ displaystyle \ mathbb {H} x_ {r} = y_ {r}}
adică ordinea în care acționează cei doi operatori nu își schimbă acțiunea generală.
Elemente conexe