Sistem autonom (matematică)

În matematică , un sistem autonom sau ecuație diferențială autonomă este un sistem de ecuații diferențiale obișnuite care nu depind în mod explicit de variabila independentă. Ele sunt utilizate în studiul sistemelor dinamice , unde variabila independentă este timpul .

Definiție

O ecuație autonomă este o ecuație diferențială obișnuită de tipul:

y'(t)=f(y(t))

{\ displaystyle y '(t) = f (y (t))}

y '(t) = f (y (t))

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție continuă cu prima derivată care este continuă pe un interval $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $I \ subset \ mathbb {R}$ , și care nu depinde de variabila independentă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . De sine $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este un vector al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ avem un sistem autonom, adică un sistem de ecuații diferențiale ordinare autonome:

y'_{i}=f_{i}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\qquad i=1,\dots ,n

{\ displaystyle y '_ {i} = f_ {i} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}) \ qquad i = 1, \ dots, n}

y '_ {i} = f_ {i} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}) \ qquad i = 1, \ dots, n

Punctele sunt de o importanță deosebită $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel pentru care $f(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) = 0}$ $f (x_ {0}) = 0$ , numite puncte de echilibru , cărora le corespunde soluția constantă $y=x_{0}$ ${\ displaystyle y = x_ {0}}$ $y = x_ {0}$ .

Un sistem generic de ecuații diferențiale obișnuite (în care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ a depinde de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ ):

{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = f (y (t), t)}

{\ frac {d} {dt}} y (t) = f (y (t), t)

poate fi autonomizat prin introducerea unei noi necunoscute $y_{n+1}=t$ ${\ displaystyle y_ {n + 1} = t}$ $y _ {{n + 1}} = t$ .

Proprietate

Este $x_{1}(t)$ ${\ displaystyle x_ {1} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {1} (t)}$ singura soluție a problemei valorii inițiale pentru sistemul autonom:

{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\qquad x(0)=x_{0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ qquad x (0) = x_ {0}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ qquad x (0) = x_ {0}}

Atunci $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ ${\ displaystyle x_ {2} (t) = x_ {1} (t-t_ {0})}$ ${\ displaystyle x_ {2} (t) = x_ {1} (t-t_ {0})}$ este o soluție de:

{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\qquad x(t_{0})=x_{0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ qquad x (t_ {0}) = x_ {0}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x (t) = f (x (t)) \ qquad x (t_ {0}) = x_ {0}}

Într-adevăr, prin plasare $s=t-t_{0}$ ${\ displaystyle s = t-t_ {0}}$ ${\ displaystyle s = t-t_ {0}}$ da ai $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ ${\ displaystyle x_ {1} (s) = x_ {2} (t)}$ ${\ displaystyle x_ {1} (s) = x_ {2} (t)}$ Și $ds=dt$ ${\ displaystyle ds = dt}$ ${\ displaystyle ds = dt}$ , astfel încât:

{\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t))

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x_ {2} (t) = {\ frac {d} {dt}} x_ {1} (t-t_ {0}) = {\ frac {d} {ds}} x_ {1} (s) = f (x_ {1} (s)) = f (x_ {2} (t))}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} x_ {2} (t) = {\ frac {d} {dt}} x_ {1} (t-t_ {0}) = {\ frac {d} {ds}} x_ {1} (s) = f (x_ {1} (s)) = f (x_ {2} (t))}

iar starea inițială este verificată:

x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}

{\ displaystyle x_ {2} (t_ {0}) = x_ {1} (t_ {0} -t_ {0}) = x_ {1} (0) = x_ {0}}

{\ displaystyle x_ {2} (t_ {0}) = x_ {1} (t_ {0} -t_ {0}) = x_ {1} (0) = x_ {0}}

De asemenea, dacă $f(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) = 0}$ $f (x_ {0}) = 0$ apoi funcția constantă $x(t)=x_{0}$ ${\ displaystyle x (t) = x_ {0}}$ $x (t) = x_ {0}$ este o soluție (așa cum se întâmplă prin înlocuirea acesteia în ecuație, observând că derivata sa este zero) care îndeplinește condiția inițială $x(0)=x_{0}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}}$ . În special, un vector $x_{0}\in I$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în I}$ $x_ {0} \ în I$ astfel încât $x(t=t_{0})=x_{0}$ ${\ displaystyle x (t = t_ {0}) = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x (t = t_ {0}) = x_ {0}}$ este un punct de echilibru pentru sistemul dacă și numai dacă $f(x_{0})=0$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) = 0}$ ${\ displaystyle f (x_ {0}) = 0}$ .

Soluții

Soluția formală a unui sistem de prim ordin se obține prin scrierea:

{\frac {dy}{dt}}=f(y)

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = f (y)}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = f (y)}

de la care:

{\frac {dy}{f(y)}}=dt

{\ displaystyle {\ frac {dy} {f (y)}} = dt}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {f (y)}} = dt}

Prin integrarea soluției generale se obține:

\int {\frac {1}{f(y)}}dy=\int dt=t+k

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {f (y)}} dy = \ int dt = t + k}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {f (y)}} dy = \ int dt = t + k}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este o constantă dependentă de condițiile inițiale. Mai precis, datorită faptului că integralul anterior este o funcție inversabilă, se arată că dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este definit pe $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ Și $x_{0}\in I$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în I}$ $x_ {0} \ în I$ atunci există un cartier de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și un cartier al $t_{0}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t_ {0} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle t_ {0} \ in \ mathbb {R}}$ astfel pentru care există cel puțin o soluție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $x'=f(x)$ ${\ displaystyle x '= f (x)}$ ${\ displaystyle x '= f (x)}$ astfel încât $x(t_{0})=x_{0}$ ${\ displaystyle x (t_ {0}) = x_ {0}}$ ${\ displaystyle x (t_ {0}) = x_ {0}}$ . Având în vedere deci problema Cauchy combinată cu ecuația autonomă $y(t_{0})=y_{0}$ ${\ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0}}$ $y (t_ {0}) = y_ {0}$ , de sine $f(y_{0})=0$ ${\ displaystyle f (y_ {0}) = 0}$ ${\ displaystyle f (y_ {0}) = 0}$ atunci soluția este constantă ( $y(t)=y_{0}$ ${\ displaystyle y (t) = y_ {0}}$ ${\ displaystyle y (t) = y_ {0}}$ ) în timp ce dacă $f(y_{0})\neq 0$ ${\ displaystyle f (y_ {0}) \ neq 0}$ ${\ displaystyle f (y_ {0}) \ neq 0}$ soluția este dată de integral :

\int _{y_{0}}^{y}{\frac {1}{f(z)}}dz=\int _{t_{0}}^{t}d\tau

{\ displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y} {\ frac {1} {f (z)}} dz = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} d \ tau}

{\ displaystyle \ int _ {y_ {0}} ^ {y} {\ frac {1} {f (z)}} dz = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} d \ tau}

Pornind de la soluții este posibil să se obțină proprietăți generale pentru ecuația autonomă: dacă funcția $f(y)$ ${\ displaystyle f (y)}$ $f (y)$ atunci și derivatul are un semn constant $y^{'}$ ${\ displaystyle y '}$ $tu$ are un semn constant, adică menține monotonia . De exemplu, luați în considerare:

y'(t)=ay\qquad a\neq 0

{\ displaystyle y '(t) = ay \ qquad a \ neq 0}

{\ displaystyle y '(t) = ay \ qquad a \ neq 0}

Această ecuație are o soluție constantă $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . Celelalte soluții sunt totuși în creștere $at_{0}>0$ ${\ displaystyle at_ {0}> 0}$ ${\ displaystyle at_ {0}> 0}$ și descrescătoare dacă $at_{0}<0$ ${\ displaystyle at_ {0} <0}$ ${\ displaystyle at_ {0} <0}$ și nu există puncte de inflexiune. Un alt exemplu simplu este ecuația logistică .

A doua comanda

Pentru o ecuație autonomă de ordinul doi:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = f (x, x ')}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = f (x, x ')}

introducem variabila:

v={\frac {dx}{dt}}

{\ displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}

{\ displaystyle v = {\ frac {dx} {dt}}}

iar a doua derivată a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , folosind regula lanțului , cum ar fi:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = {\ frac {dv} {dt}} = {\ frac {dx} {dt}} {\ frac {dv} {dx}} = v {\ frac {dv} {dx}}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = {\ frac {dv} {dt}} = {\ frac {dx} {dt}} {\ frac {dv} {dx}} = v {\ frac {dv} {dx}}}

În acest fel, ecuația originală devine:

v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)

{\ displaystyle v {\ frac {dv} {dx}} = f (x, v)}

{\ displaystyle v {\ frac {dv} {dx}} = f (x, v)}

care este o ecuație de prim ordin de care nu depinde în mod explicit $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ . Rezolvându-l obții $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ca o funcție a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , și din definiția $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ avem:

{\frac {dx}{dt}}=v(x)

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = v (x)}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = v (x)}

de la care:

t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}

{\ displaystyle t + C = \ int {\ frac {dx} {v (x)}}}

{\ displaystyle t + C = \ int {\ frac {dx} {v (x)}}}

care este soluția implicită.

Soluții periodice

Același subiect în detaliu: teorema Bendixson-Dulac .

Luați în considerare un sistem autonom de două variabile cu problema sa Cauchy:

{\begin{cases}x'=f(x,y)\\y'=g(x,y)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x '= f (x, y) \\ y' = g (x, y) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x '= f (x, y) \\ y' = g (x, y) \ end {cases}}}

Pentru a stabili dacă sistemul are soluții periodice , se aplică criteriul Bendixon, care afirmă că, dacă sistemul admite o soluție periodică, atunci divergența câmpului vector:

{\vec {F}}=\{f(x,y),g(x,y)\}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = \ {f (x, y), g (x, y) \}}

{\ displaystyle {\ vec {F}} = \ {f (x, y), g (x, y) \}}

nu are semn constant (deși poate fi nul).

Demonstrație

Soluția sistemului autonom este o curbă $C:x=\phi (t),y=\psi (t)$ ${\ displaystyle C: x = \ phi (t), y = \ psi (t)}$ ${\ displaystyle C: x = \ phi (t), y = \ psi (t)}$ . Aplicarea teoremei divergenței :

\int _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}ds=\iint _{\Sigma }div({\vec {F}})\ dx\ dy

{\ displaystyle \ int _ {C} {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {n}} ds = \ iint _ {\ Sigma} div ({\ vec {F}}) \ dx \ dy}

{\ displaystyle \ int _ {C} {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {n}} ds = \ iint _ {\ Sigma} div ({\ vec {F}}) \ dx \ dy}

unde este ${\vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ este vectorul normal dat de:

{\vec {n}}={\frac {\{g,-f\}}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}

{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {\ {g, -f \}} {\ sqrt {\ phi '(t) ^ {2} + \ psi' (t) ^ {2}} }}}

{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {\ {g, -f \}} {\ sqrt {\ phi '(t) ^ {2} + \ psi' (t) ^ {2}} }}}

Deci integralul devine:

\int _{0}^{T}(fg-gf)dt=0

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} (fg-gf) dt = 0}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} (fg-gf) dt = 0}

unde este $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ este perioada soluției periodice. Aceasta înseamnă că divergența presupune:

\iint _{\Sigma }div({\vec {F}})\ dx\ dy=0

{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} div ({\ vec {F}}) \ dx \ dy = 0}

{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} div ({\ vec {F}}) \ dx \ dy = 0}

și, prin urmare, nu poate fi întotdeauna pozitiv sau întotdeauna negativ, altfel nu ar putea fi anulat.

Bibliografie

(EN) William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Volumul ecuațiilor diferențiale elementare și problemele limită, ediția a VIII-a, John Wiley & Sons, 2005, p. 133, ISBN 0-471-43338-1 .
( EN ) Blanchard, Devaney, Hall, Differential Equations , Brooks / Cole Publishing Co, 2005, pp. 540-543, ISBN 0-495-01265-3 .
( EN ) SE Cappell, JL Shaneson, Similitudine neliniară Ann. de matematică. , 113 (1981)
( EN ) NH Kuiper, Topologia soluțiilor unei ecuații diferențiale liniare pe , Proc. Internat. Congresul pe manifolduri (Tokyo, 1973)
( EN ) NH Kuiper, JW Robbin, Clasificarea topologică a endomorfismelor liniare Inv. Math. , 19 (1973)

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, autonom în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) EqWorld - Ecuația autonomă de ordinul doi ( PDF ), la eqworld.ipmnet.ru .
( EN ) EqWorld - Ecuația autonomă de ordinul III ( PDF ), la eqworld.ipmnet.ru .
( EN ) EqWorld - Ecuația autonomă de ordinul patru ( PDF ), la eqworld.ipmnet.ru .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4625227-7

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică