Teorema lui Bendixson-Dulac

În matematică , teorema Bendixson-Dulac este o teoremă care permite stabilirea dacă există sau nu soluții periodice pentru un sistem autonom .

Teorema a fost propusă de matematicianul suedez Ivar Bendixson în 1901 și ulterior a fost perfecționată de francezul Henri Dulac în 1933 folosind teorema lui Green .

Teorema

Dacă există o funcție $\varphi (x,y)$ ${\ displaystyle \ varphi (x, y)}$ ${\ displaystyle \ varphi (x, y)}$ astfel încât:

{\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}}}

are acelasi semn ( $\neq 0$ ${\ displaystyle \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ neq 0}$ ) aproape peste tot (cu excepția unui set de măsuri zero) într-o regiune pur și simplu conectată , atunci sistemul autonom :

{\frac {dx}{dt}}=f(x,y)

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = f (x, y)}

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = f (x, y)}

{\frac {dy}{dt}}=g(x,y)

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = g (x, y)}

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = g (x, y)}

nu are soluții periodice.

Demonstrație

Fără a pierde generalitatea, poate fi considerată o funcție $\varphi (x,y)$ ${\ displaystyle \ varphi (x, y)}$ ${\ displaystyle \ varphi (x, y)}$ astfel încât:

{\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}}> 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}}> 0}

într-un domeniu simplu conectat al $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Să presupunem că există o soluție $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ a sistemului din $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ care este o curbă închisă, așa să fie $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ regiunea delimitată de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Prin teorema lui Green :

\iint _{D}^{}{\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}^{}{-\varphi gdx+\varphi fdy}=\oint _{C}^{}{\varphi \left(-{\dot {y}}dx+{\dot {x}}dy\right)}

{\ displaystyle \ iint _ {D} ^ {} {\ left ({\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}} \ right) dxdy} = \ oint _ {C} ^ {} {- \ varphi gdx + \ varphi fdy} = \ oint _ {C} ^ {} {\ varphi \ left (- {\ dot {y }} dx + {\ dot {x}} dy \ right)}}

{\ displaystyle \ iint _ {D} ^ {} {\ left ({\ frac {\ partial (\ varphi f)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ varphi g)} {\ partial y}} \ right) dxdy} = \ oint _ {C} ^ {} {- \ varphi gdx + \ varphi fdy} = \ oint _ {C} ^ {} {\ varphi \ left (- {\ dot {y }} dx + {\ dot {x}} dy \ right)}}

De mult $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ da ai $dx={\dot {x}}dt$ ${\ displaystyle dx = {\ dot {x}} dt}$ ${\ displaystyle dx = {\ dot {x}} dt}$ Și $dy={\dot {y}}dt$ ${\ displaystyle dy = {\ dot {y}} dt}$ ${\ displaystyle dy = {\ dot {y}} dt}$ , integrarea dispare: fiind o contradicție, nu există o curbă închisă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ .

Bibliografie

( EN ) SE Cappell, JL Shaneson, Similitudine neliniară Ann. de matematică. , 113 (1981)
( EN ) NH Kuiper, Topologia soluțiilor unei ecuații diferențiale liniare pe , Proc. Internat. Congresul pe manifolduri (Tokyo, 1973)
( EN ) NH Kuiper, JW Robbin, Clasificarea topologică a endomorfismelor liniare Inv. Math. , 19 (1973)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică