Terminați răspunsul la impuls

În teoria semnalului , în special în „ procesarea digitală a semnalului , un răspuns dinamic la impuls din sistem dinamic , în răspunsul la impuls finit italian și adesea prescurtat ca FIR, este un tip de filtru digital caracterizat printr-un răspuns la impuls de durată finită, adică care dispare la timpul finit. Sistemele al căror răspuns nu se anulează într-un moment finit se numesc răspunsuri la impuls infinit (IIR).

Definiție

Un filtru FIR de timp discret, de ordin N , cu răspuns la impuls

b[n]

{\ displaystyle b [n]}

{\ displaystyle b [n]}

.

Ieșirea $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ a unui sistem dinamic continuu în timp liniar invariant în timp (LTI) supus unui semnal de intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este descrisă prin convoluție $y(t)=x(t)*h(t)$ ${\ displaystyle y (t) = x (t) * h (t)}$ ${\ displaystyle y (t) = x (t) * h (t)}$ , unde este $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ este răspunsul sistemului la intrare $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este o funcție delta Dirac . Ieșirea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este deci proporțional cu media înregistrării $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ponderat de funcție $h(-\tau )$ ${\ displaystyle h (- \ tau)}$ $h (- \ tau)$ , mutat cu un timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Un sistem dinamic liniar staționar discret transformă secvența în intrare $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ într-o altă succesiune $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ , dat de convoluția discretă cu răspunsul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ spre delta Kronecker :

y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k]

{\ displaystyle y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x [nk] \ cdot h [k]}

y [n] = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x [k] \ cdot h [nk] = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {{ \ infty}} x [nk] \ cdot h [k]

Elementele $\{y\}$ ${\ displaystyle \ {y \}}$ $\ {y \}$ poate depinde de orice element al $\{x\}$ ${\ displaystyle \ {x \}}$ $\ {X \}$ . Obișnuit $y[n]$ ${\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ depinde mai mult de elementele din apropierea timpului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Pentru un filtru de timp discret, ieșirea este o sumă ponderată a valorilor asumate de intrare la ora curentă și la timpurile anterioare. Această operație este descrisă de următoarea ecuație:

y[n]=h_{0}x[n]+h_{1}x[n-1]+\cdots +h_{N}x[n-N]=\sum _{i=0}^{N}h_{i}x[n-i]

{\ displaystyle y [n] = h_ {0} x [n] + h_ {1} x [n-1] + \ cdots + h_ {N} x [nN] = \ sum _ {i = 0} ^ { N} h_ {i} x [ni]}

{\ displaystyle y [n] = h_ {0} x [n] + h_ {1} x [n-1] + \ cdots + h_ {N} x [nN] = \ sum _ {i = 0} ^ { N} h_ {i} x [ni]}

unde este $h_{i}$ ${\ displaystyle h_ {i}}$ ${\ displaystyle h_ {i}}$ se numesc coeficienți de filtrare , care determină răspunsul la impuls și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ ordinea filtrului. Pentru un filtru de comenzi $\scriptstyle N$ ${\ displaystyle \ scriptstyle N}$ $\ scriptstyle N$ apărea $\scriptstyle (N\,+\,1)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (N \, + \, 1)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (N \, + \, 1)}$ termenii în membrul din stânga.

Filtru mediu în mișcare

Diagrama bloc a unui filtru FIR pentru ordinul 2 în mișcare

Polii și zerourile unui filtru FIR mediu mobil de ordinul 2

Un filtru mediu mobil este unul dintre cele mai simple filtre FIR, ai cărui coeficienți $b_{0},\,\dots ,\,b_{N}$ ${\ displaystyle b_ {0}, \, \ dots, \, b_ {N}}$ ${\ displaystyle b_ {0}, \, \ dots, \, b_ {N}}$ satisface ecuația:

b_{i}={\frac {1}{N+1}}

{\ displaystyle b_ {i} = {\ frac {1} {N + 1}}}

{\ displaystyle b_ {i} = {\ frac {1} {N + 1}}}

De exemplu, un filtru de comandă $N=2$ ${\ displaystyle N = 2}$ ${\ displaystyle N = 2}$ are un răspuns impulsiv :

h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]

{\ displaystyle h [n] = {\ frac {1} {3}} \ delta [n] + {\ frac {1} {3}} \ delta [n-1] + {\ frac {1} {3 }} \ delta [n-2]}

{\ displaystyle h [n] = {\ frac {1} {3}} \ delta [n] + {\ frac {1} {3}} \ delta [n-1] + {\ frac {1} {3 }} \ delta [n-2]}

Transformarea zeta :

H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}

{\ displaystyle H (z) = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} z ^ {- 1} + {\ frac {1} {3}} z ^ {- 2} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {z ^ {2} + z + 1} {z ^ {2}}}}

{\ displaystyle H (z) = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} z ^ {- 1} + {\ frac {1} {3}} z ^ {- 2} = {\ frac {1} {3}} {\ frac {z ^ {2} + z + 1} {z ^ {2}}}}

ai cărui doi poli sunt în origine și cei doi zerouri în:

z_{1}\;=\;-{\frac {1}{2}}\,+\,j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\qquad z_{2}\;=\;-{\frac {1}{2}}\,-\,j{\frac {\sqrt {3}}{2}}

{\ displaystyle z_ {1} \; = \; - {\ frac {1} {2}} \, + \, j {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ qquad z_ {2} \ ; = \; - {\ frac {1} {2}} \, - \, j {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

{\ displaystyle z_ {1} \; = \; - {\ frac {1} {2}} \, + \, j {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ qquad z_ {2} \ ; = \; - {\ frac {1} {2}} \, - \, j {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

Răspunsul în frecvență (în radiani pe eșantion) este:

H\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }

{\ displaystyle H \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} e ^ {- j \ omega} + {\ frac {1} {3}} și ^ {- j2 \ omega}}

{\ displaystyle H \ left (e ^ {j \ omega} \ right) = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3}} e ^ {- j \ omega} + {\ frac {1} {3}} și ^ {- j2 \ omega}}

Bibliografie

(EN) Phillips, Cl, Parr, JM și Riskin, EA, Semnale, sisteme și transformări, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4 .
( EN ) Hespanha, JP, Linear System Theory , Princeton University press, 2009, ISBN 0-691-14021-9 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre răspunsul la impuls finit

Portal de verificări automate

Portalul de matematică