Observabilitate

În teoria controlului , proprietatea de observabilitate a unui sistem dinamic determină posibilitatea trasării stării sistemului pornind de la cunoașterea rezultatelor sale. Observabilitatea și controlabilitatea sunt, în general, două caracteristici legate între ele; în special, în sistemele dinamice liniare staționare, ele sunt matematic duale.

Sisteme dinamice liniare

Se spune că un sistem este observabil dacă, pentru orice combinație posibilă de stări și intrări, starea curentă poate fi determinată în timp finit prin ieșirile sistemului. Cu alte cuvinte, dacă un sistem este complet observabil înseamnă că spațiul de fază este suficient de mare pentru a conține toate stările posibile.

Pentru sisteme dinamice liniare invariante în timp :

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t)}

\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t)}

dacă statul ${\textstyle \mathbf {x} }$ ${\ textstyle \ mathbf {x}}$ ${\ textstyle \ mathbf {x}}$ are dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și rangul matricei de observabilitate:

{\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ CA ^ {2} \\\ vdots \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ CA ^ {2} \\\ vdots \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}}}

este plin, care este egal cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , sistemul este observabil. Se observă că, cu alte cuvinte, dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rândurile sunt liniar independente, apoi fiecare dintre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ stările sunt observabile prin combinații liniare ale variabilelor de ieșire $y(k)$ ${\ displaystyle y (k)}$ ${\ displaystyle y (k)}$ . Un modul conceput pentru a măsura starea unui sistem prin măsurarea ieșirilor este numit observator de stare sau pur și simplu „observator” pentru acel sistem.

Indicele de observabilitate al unui sistem LTI este, de asemenea, definit ca cel mai mic număr natural $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ pentru care contează $rank{(O_{v})}=rank{(O_{v+1})}$ ${\ displaystyle rank {(O_ {v})} = rang {(O_ {v + 1})}}$ ${\ displaystyle rank {(O_ {v})} = rang {(O_ {v + 1})}}$ , unde este:

O_{v}=[C\quad CA\quad CA^{2}\quad \dots \quad CA^{v-1}]^{T}

{\ displaystyle O_ {v} = [C \ quad CA \ quad CA ^ {2} \ quad \ dots \ quad CA ^ {v-1}] ^ {T}}

{\ displaystyle O_ {v} = [C \ quad CA \ quad CA ^ {2} \ quad \ dots \ quad CA ^ {v-1}] ^ {T}}

Pentru sistemele LTI observabilitatea și controlabilitatea sunt proprietăți duale; în mod specific, sistemul dual este definit:

{\dot {\mathbf {x} }}(t)=A^{T}\mathbf {x} (t)+C^{T}\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A ^ {T} \ mathbf {x} (t) + C ^ {T} \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A ^ {T} \ mathbf {x} (t) + C ^ {T} \ mathbf {u} (t)}

\mathbf {y} (t)=B^{T}\mathbf {x} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = B ^ {T} \ mathbf {x} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = B ^ {T} \ mathbf {x} (t)}

și se verifică dacă sistemul original este complet observabil dacă și numai dacă sistemul dual este complet controlabil și este complet controlabil dacă și numai dacă sistemul dual este complet observabil.

Bibliografie

(EN) Roger W. Brockett, Sisteme liniare de dimensiuni finite, John Wiley & Sons, 1970, ISBN 978-0-471-10585-5 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Stanley GM și Mah, RSH, „observability and redundancy for Process Data Estimation, Chem. Engng. Sci. 36, 259 (1981) (PDF), pe gregstanleyandassociates.com. Accesat la 7 septembrie 2015 (depus de„ original URL la 26 ianuarie 2020) .
(EN) Stanley GM și RSH Mah, „Clasificare observabilitate și redundanță în rețele de proces”, Chem. Eng. Sci. 36, 1941 (1981) ( PDF ), pe gregstanleyandassociates.com .
( EN ) Observabilitate pe PlanetMath
( EN ) Sisteme de control - Controlabilitate și observabilitate ( PDF ), pe facultate.uml.edu .

Portal de verificări automate

Portalul de matematică