Sistem dinamic liniar

În analiza sistemelor dinamice , un sistem dinamic liniar este un sistem dinamic a cărui evoluție este guvernată de o ecuație liniară și care, prin urmare, satisface principiul suprapunerii efectelor. Ecuațiile diferențiale care descriu această clasă de sisteme dinamice sunt deosebit de simple și pot fi rezolvate frecvent exact.

Un sistem dinamic este un concept abstract care este utilizat pentru a reprezenta comportamentul unui proces fizic în spațiu și timp. Este modelat cu o funcție $\mathbf {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ că, în domeniul timpului , la o solicitare $\mathbf {u} _{in}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {in} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {in} (t)}$ oferă un răspuns $\mathbf {u} _{out}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t)}$ :

\mathbf {u} _{out}(t)=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in}(t))

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in} (t))}

{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {out} (t) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in} (t))}

Sistemele liniare sunt supuse principiului suprapunerii, adică un sistem este liniar dacă se mențin următoarele proprietăți:

\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}}+\mathbf {u} _{in_{2}})=\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{1}})+\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in_{2}})\qquad \forall \mathbf {u} _{in_{1}},\mathbf {u} _{in_{2}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}} + \ mathbf {u} _ {in_ {2}}) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}}) + \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {2}}) \ qquad \ forall \ mathbf {u} _ {in_ {1}}, \ mathbf {u} _ {in_ {2}}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}} + \ mathbf {u} _ {in_ {2}}) = \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {1}}) + \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in_ {2}}) \ qquad \ forall \ mathbf {u} _ {in_ {1}}, \ mathbf {u} _ {in_ {2}}}

\mathbf {Z} (c\mathbf {u} _{in})=c\mathbf {Z} (\mathbf {u} _{in})\qquad c\in \mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (c \ mathbf {u} _ {in}) = c \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in}) \ qquad c \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} (c \ mathbf {u} _ {in}) = c \ mathbf {Z} (\ mathbf {u} _ {in}) \ qquad c \ in \ mathbb {R}}

O clasă deosebit de importantă de sisteme dinamice liniare este cea a sistemelor invariante în timp .

Descriere

Un sistem dinamic este liniar atunci când depinde liniar de variabilele de stare $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ $\ mathbf {x} (t)$ și din variabilele de intrare $\mathbf {u} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (t)}$ . Este descris prin variația vectorului coloanei de stare $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ , amplasat într-un spațiu vectorial de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ respectivul spațiu de fază , conform ecuațiilor matricei:

{\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} (t)} {dt}} = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} (t)} {dt}} = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t)}

\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t) + D (t) \ mathbf {u} (t)}

unde este $\mathbf {y} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ este ieșirea sau evoluția. Statul $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ $\ mathbf {x} (t)$ este un vector de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , intrarea $\mathbf {u} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} (t)}$ are dimensiune $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , in timp ce $\mathbf {y} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} (t)}$ are dimensiune $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ; suntînmulțite cu matricele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ matrice de dimensiuni $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ matrice de dimensiuni $n\times q$ ${\ displaystyle n \ times q}$ ${\ displaystyle n \ times q}$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ matrice de dimensiuni $p\times n$ ${\ displaystyle p \ times n}$ $p \ ori n$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ matricea matricei de dimensiuni $p\times q$ ${\ displaystyle p \ times q}$ ${\ displaystyle p \ times q}$ .

În cazul unui sistem dinamic în timp discret, ecuația are forma:

\mathbf {x} (n+1)=A(n)\mathbf {x} (n)+B(n)\mathbf {u} (n)

{\ displaystyle \ mathbf {x} (n + 1) = A (n) \ mathbf {x} (n) + B (n) \ mathbf {u} (n)}

{\ displaystyle \ mathbf {x} (n + 1) = A (n) \ mathbf {x} (n) + B (n) \ mathbf {u} (n)}

\mathbf {y} (n)=C(n)\mathbf {x} (n)+D(n)\mathbf {u} (n)

{\ displaystyle \ mathbf {y} (n) = C (n) \ mathbf {x} (n) + D (n) \ mathbf {u} (n)}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (n) = C (n) \ mathbf {x} (n) + D (n) \ mathbf {u} (n)}

cu $n\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$ $n \ in \ Z$ .

O tehnică utilizată pentru a studia o problemă neliniară

{\dot {x}}=f(x(t))

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x (t))}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x (t))}

în vecinătatea unui punct de echilibru este să-l aproximăm la un sistem liniar

{\dot {z}}=J_{f}(x_{0})\cdot z(t)

{\ displaystyle {\ dot {z}} = J_ {f} (x_ {0}) \ cdot z (t)}

{\ displaystyle {\ dot {z}} = J_ {f} (x_ {0}) \ cdot z (t)}

într-un cartier al punctului de echilibru prin matricea iacobiană

J_{f}

{\ displaystyle J_ {f}}

{\ displaystyle J_ {f}}

din

f

{\ displaystyle f}

f

. În funcție de comportamentul sistemului (în funcție de determinantul

J_{f}

{\ displaystyle J_ {f}}

{\ displaystyle J_ {f}}

) echilibrul este clasificat ca stabil, asimptotic stabil sau instabil.

Sisteme liniare de invariant în timp (LTI)

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar staționar .

Un sistem staționar (sau invariant de timp) este un sistem ai cărui parametri nu depind de timp. Este descris de un sistem de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți:

\left\{{\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{matrix}}\right.\,

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d \ mathbf {x} (t)} {dt}} = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t ) \\\ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t) \ end {matrix}} \ right. \,}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d \ mathbf {x} (t)} {dt}} = A \ mathbf {x} (t) + B \ mathbf {u} (t ) \\\ mathbf {y} (t) = C \ mathbf {x} (t) + D \ mathbf {u} (t) \ end {matrix}} \ right. \,}

Este o clasă deosebit de studiată de probleme și din care au fost dezvoltate multe tehnici de analiză; multe se bazează, de exemplu, pe funcția de transfer și pe formalismul reprezentării spectrale a semnalelor și în spațiul de stare .

Descompunerea problemei diferențiale

Uneori alegem să reprezentăm sistemul numai prin variația stării sale începând de la o stare inițială $\mathbf {x} (t=0)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t = 0)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t = 0)}$ , adică cu o relație de tipul:

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F(t)\cdot \mathbf {x} (t)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = F (t) \ cdot \ mathbf {x} (t)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = F (t) \ cdot \ mathbf {x} (t)}

\mathbf {x} _{0}=\mathbf {x} (0)

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0} = \ mathbf {x} (0)}

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0} = \ mathbf {x} (0)}

Dacă vectorul inițial $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ este aliniat cu un vector propriu drept $\mathbf {r} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , asa de:

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=F\cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = F \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = \ lambda _ {k} \ mathbf {r} _ {k} }

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = F \ cdot \ mathbf {r} _ {k} = \ lambda _ {k} \ mathbf {r} _ {k} }

cu $\lambda _{k}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ valoarea proprie corespunzătoare. Soluția este:

\mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}

{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}}

așa cum se întâmplă pentru înlocuire.

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este diagonalizabil , fiecare vector $\mathbf {x} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ poate fi scris ca o combinație liniară de vectori proprii drepți $\mathbf {r} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ și a plecat $\mathbf {l} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {l} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {l} _ {k}}$ din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ :

\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k},\mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {l} _ {k}, \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r} _ {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {l} _ {k}, \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r} _ {k}}

unde este $\left(\cdot ,\cdot \right)$ ${\ displaystyle \ left (\ cdot, \ cdot \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ cdot, \ cdot \ right)}$ este produsul scalar care dă coeficienții. De aici, soluția generală $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ $\ mathbf {x} (t)$ este combinația liniară:

\mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}

{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {l} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ mathbf {l} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {0} \ right) \ mathbf {r} _ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}}

În două dimensiuni

Având în vedere sistemul în două dimensiuni:

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = A \ mathbf {x} (t)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {x} (t) = A \ mathbf {x} (t)}

polinomul caracteristic are forma:

\det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0

{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = \ lambda ^ {2} - \ tau \ lambda + \ Delta = 0}

{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = \ lambda ^ {2} - \ tau \ lambda + \ Delta = 0}

cu $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ urma e $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ determinantul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Radacinile $\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n}}$ sunt valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și au forma:

\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}\qquad \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {\ tau + {\ sqrt {\ tau ^ {2} -4 \ Delta}}} {2}} \ qquad \ lambda _ {2} = {\ frac {\ tau - {\ sqrt {\ tau ^ {2} -4 \ Delta}}} {2}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {\ tau + {\ sqrt {\ tau ^ {2} -4 \ Delta}}} {2}} \ qquad \ lambda _ {2} = {\ frac {\ tau - {\ sqrt {\ tau ^ {2} -4 \ Delta}}} {2}}}

Am notat asta $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$ Și $\tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ tau = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ tau = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}}$ , astfel, dacă $\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ valorile proprii au semne opuse, iar punctul fix este un punct de șa. Dacă în schimb $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ valorile proprii au același semn și, prin urmare, dacă $\tau >0$ ${\ displaystyle \ tau> 0}$ $\ tau> 0$ ambii sunt pozitivi (iar punctul este instabil) în timp ce dacă $\tau <0$ ${\ displaystyle \ tau <0}$ ${\ displaystyle \ tau <0}$ ambele sunt negative (iar punctul este stabil).

Exemplu

Un circuit RC constă dintr-o sursă de tensiune care furnizează un semnal de intrare $V_{in}(t)$ ${\ displaystyle V_ {in} (t)}$ $V_ {în} (t)$ și un rezistor $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ în serie cu un condensator condensator $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Legea lui Kirchhoff a tensiunilor pentru plasă este:

R\cdot i(t)+V_{out}(t)=V_{in}(t)

{\ displaystyle R \ cdot i (t) + V_ {out} (t) = V_ {in} (t)}

{\ displaystyle R \ cdot i (t) + V_ {out} (t) = V_ {in} (t)}

Folosind relația caracteristică a condensatorului, curentul care curge în circuit este:

i(t)=C{\frac {d}{dt}}V_{out}(t)

{\ displaystyle i (t) = C {\ frac {d} {dt}} V_ {out} (t)}

{\ displaystyle i (t) = C {\ frac {d} {dt}} V_ {out} (t)}

trebuie să înlocuim:

RC{\frac {d}{dt}}V_{out}+V_{out}=V_{in}

{\ displaystyle RC {\ frac {d} {dt}} V_ {out} + V_ {out} = V_ {in}}

{\ displaystyle RC {\ frac {d} {dt}} V_ {out} + V_ {out} = V_ {in}}

Este o ecuație diferențială de ordinul 1 cu constantă de timp $\tau =RC$ ${\ displaystyle \ tau = RC}$ $\ tau = RC$ .

Bibliografie

(EN) Phillips, Cl, Parr, JM și Riskin, EA, Semnale, sisteme și transformări, Prentice Hall, 2007, ISBN 0-13-041207-4 .
( EN ) Hespanha, JP, Linear System Theory , Princeton University press, 2009, ISBN 0-691-14021-9 .
E. Fornasini, G. Marchesini, Note de teorie a sistemului , Edițiile Progetto Libreria, Padova , 2003 .
A. Ruberti, S. Monaco, Teoria sistemelor - Note din prelegeri , Pitagora Editrice, Bologna , 1998 .

Elemente conexe

Portalul chimiei	Portalul de fizică
Portal de inginerie	Portalul de matematică