Fracție (matematică)

Un tort împărțit în patru sferturi, dintre care unul lipsește. Fiecare trimestru este exprimat numeric ca ^_1/4.

O fracție (din latinescul fractus , rupt, rupt), conform definiției clasice a aritmeticii , este o modalitate de a exprima o cantitate bazată pe împărțirea unui obiect într-un anumit număr de părți de aceeași dimensiune. De exemplu, dacă tăiați un tort în patru felii egale, fiecare dintre ele se numește un sfert de tort (reprezentat cu ¹ ⁄ ₄ ); două sferturi reprezintă jumătate de tort, iar opt sferturi fac două prăjituri.
În termeni mai generali, numele unei fracții indică orice membru generic al mulțimii numerelor raționale .

Istoria cătunelor

Același subiect în detaliu: Istoria cătunului .

Originile fracției se datorează intersecției relațiilor comerciale dintre cele mai vechi civilizații care au dus în mod necesar la utilizarea submultiplii unităților de măsură utilizate atunci. Documentele istorice atestă utilizarea cătunelor de către vechii egipteni în secolul al XVII-lea î.Hr.

Egiptenii

Egiptenii știau, pentru exactitate, unitățile fracționare, care reprezentau hierogliful unui pătrat cu un cerc în centru (care însemna „parte”) plasat deasupra numărului ca numărător. Au indicat fracțiile reale ca suma unităților fracționare; de exemplu pentru a reprezenta 5⁄6 au scris 1⁄2 + 1⁄3.

Cu toate acestea, utilizarea fracției a fost utilizată pentru a exprima părțile unității de măsură a capacității, hegatul, egale cu aproximativ 4,875 litri. Pentru a scrie părțile acestui hegat, vechii egipteni foloseau simboluri luate din diferite părți ale udjatului, ochiul zeului Horus, care a devenit, conform legendei zeilor Osiris, Isis și Horus, unul dintre cele mai importante amulete , un simbol al sănătății., abundență și fertilitate.

Evul Mediu

Abia în Evul Mediu încep să apară scrieri reale de acest gen:

4 f 9 = 4 s 9 = 4⁄9

care citea patru peste nouă; cel mai recent script este încă folosit acum.

Cea mai utilizată scriere corectă astăzi (cu linie orizontală) și citirea diferită a numărătorului cu un număr cardinal (patru) și a numitorului cu un număr ordinal (noni)

4⁄9 = "patru al nouălea"

acestea se datorează matematicianului Leonardo Pisano, numit Fibonacci, care a trăit între 1170 și 1250. În special, există dovezi ale utilizării sale în lucrarea Liber abbaci din 1202 unde cătunele sunt numite rupti sau chiar fracti. Lovitura orizontală se numește virgula (virga = stick)

Definiție și nomenclatură

O fracție este un obiect matematic care indică raportul a două numere întregi . Cele două numere întregi sunt separate printr-o liniuță, numită linie fracțională, care poate fi orizontală, ca în aceste exemple: ${\textstyle {\frac {1}{2}},\ {\frac {3}{4}},\ {\frac {5}{8}}}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}}, \ {\ frac {3} {4}}, \ {\ frac {5} {8}}}$ ${\ textstyle \ frac {1} {2}, \ \ frac {3} {4}, \ \ frac {5} {8}}$ sau diagonală ca ½ , ¾ , ⅝ .

În exemplul de felii de plăcintă de mai sus, în reprezentare numerică ca ^_1/4, numărul inferior, numitorul menționat indică numărul total de părți egale care compune întregul tort și numărul din partea de sus, numeratorul este numărul de părți care a fost luat. Cei doi termeni au o origine latină . Numeratorul are aceeași rădăcină ca enumerate , adică „numărare”; apoi indică câte părți fracționate, ca să spunem așa, „minime” avem în fracție. Denumitorul derivă în mod evident din denumirea , adică acordarea unui nume; numele este cel al tipului de piese care au fost realizate (jumătăți, treimi, sferturi ...).

Numitorul trebuie să fie întotdeauna diferit de zero: nu este posibil să se împartă la zero .

Tipuri particulare de fracții

O fracție poate fi:

a redus la minimum - sau ireductibilă - în cazul în care numărătorul și numitorul sunt numere întregi prime între ele (adică lor MCD este 1);
adecvat dacă numeratorul este mai mic decât numitorul;
necorespunzător dacă numeratorul este mai mare;
aparent dacă numeratorul este multiplu al numitorului sau egal cu acesta;
unitar dacă are numărătorul 1;
zecimal dacă numitorul este o putere de 10. Fracțiile zecimale reprezintă toate numerele care pot fi exprimate cu un număr finit de bază zece cifre.
diadică dacă numitorul este o putere a doi .

Mai mult, o fracție egipteană este scrierea unui număr rațional ca suma fracțiilor unitare .

Alte tipuri de fracții

Termenul „fracțiune” este folosit pentru a descrie și alte obiecte matematice. În școli, de exemplu, puteți auzi despre o fracție mixtă sau un număr mixt: este un număr compus dintr-o parte întreagă plus o fracție adecvată, reprezentată cu următoarea notație ^[1] :

{\textstyle a+{b \over c}}

{\ textstyle a + {b \ over c}}

{\ textstyle a + {b \ over c}}

fiind a, b, c de numere întregi cu b <c ca de exemplu în

{\textstyle 5+{3 \over 4}}

{\ textstyle 5+ {3 \ peste 4}}

{\ textstyle 5+ {3 \ peste 4}}

.

În țările anglo-saxone asociate adesea cu unități de măsură obișnuite (de exemplu, diametrele nominale ale țevilor exprimate în inci ) ^[2] , se folosește în general o notație diferită care omite „+” și juxtapune fracția la întreg ^[3] :

a{\tfrac {b}{c}}

{\ displaystyle a {\ tfrac {b} {c}}}

a {\ tfrac {b} {c}}

sau a ^b ⁄ _c atunci de exemplu

5{\tfrac {3}{4}}

{\ displaystyle 5 {\ tfrac {3} {4}}}

5 {\ tfrac {3} {4}}

sau 5¾ .

Ultima notație se găsește adesea pe calculatoarele electronice ^[4] . Pentru a trece de la reprezentarea ca număr mixt la o fracție necorespunzătoare, procedați după cum urmează:

Având în vedere numărul ${\textstyle a+{b \over c}}$ ${\ textstyle a + {b \ over c}}$ ${\ textstyle a + {b \ over c}}$ calculați a ′ = c × a , de exemplu dat ${\textstyle 5+{3 \over 4}}$ ${\ textstyle 5+ {3 \ peste 4}}$ ${\ textstyle 5+ {3 \ peste 4}}$ atunci a ′ = 4 × 5 = 20.
Calculăm b ′ = a ′ + b , apoi b ′ = 23.
Fracția necorespunzătoare este ${\textstyle {\frac {b'}{c}}}$ ${\ textstyle {\ frac {b '} {c}}}$ ${\ textstyle \ frac {b '} {c}}$ asa de ${\textstyle {\frac {23}{4}}}$ ${\ textstyle {\ frac {23} {4}}}$ ${\ textstyle \ frac {23} {4}}$ .

Dacă, pe de altă parte, pornești de la o fracțiune necorespunzătoare ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ textstyle \ frac {a} {b}}$ tip ${\textstyle {\frac {15}{4}}}$ ${\ textstyle {\ frac {15} {4}}}$ ${\ textstyle \ frac {15} {4}}$ procedați după cum urmează pentru a calcula numărul mixt:

Realizează împărțirea euclidiană a : b fiind coeficientul q și r restul, în cazul exemplului q = 3 și r = 3.
Apoi, numărul mixt este ${\textstyle q+{\frac {r}{b}}}$ ${\ textstyle q + {\ frac {r} {b}}}$ ${\ textstyle q + \ frac {r} {b}}$ sau în cazul exemplului este ${\textstyle 3+{\frac {3}{4}}}$ ${\ textstyle 3 + {\ frac {3} {4}}}$ ${\ textstyle 3 + \ frac {3} {4}}$ .

Predicția tipului de număr zecimal generat de o fracție

Să se acorde unei fracții cel puțin termeni ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ textstyle \ frac {a} {b}}$ (adică cu a și b întregi fără divizori comuni).

Atunci, dacă numitorul b are doar 2 sau 5 ca divizori primi, diviziune ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ textstyle \ frac {a} {b}}$ corespunde unui număr zecimal finit.

În caz contrar, dacă b are orice divizor prim, altul decât 2 sau 5, ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ textstyle \ frac {a} {b}}$ corespunde unui număr zecimal periodic .

De exemplu, fracția ${\textstyle {\frac {3}{25}}}$ ${\ textstyle {\ frac {3} {25}}}$ ${\ textstyle \ frac {3} {25}}$ are ca numitor 25 = 5 ² , care are doar 5 ca divizor prim ${\textstyle {\frac {3}{25}}}$ ${\ textstyle {\ frac {3} {25}}}$ ${\ textstyle \ frac {3} {25}}$ corespunde unei zecimale finite.

In schimb ${\textstyle {\frac {33}{14}}}$ ${\ textstyle {\ frac {33} {14}}}$ ${\ textstyle \ frac {33} {14}}$ are ca numitor 14 = 2 7 , deci 2 și 7 sunt cei doi divizori primi ai săi și 7 nu este divizorul prim al lui 33, atunci ${\textstyle {\frac {33}{14}}}$ ${\ textstyle {\ frac {33} {14}}}$ ${\ textstyle \ frac {33} {14}}$ corespunde unei zecimale periodice.

Comparaţie

Compararea fracțiilor

Numerele raționale pot fi comparate între ele atât în forma lor de fracțiune, cât și sub forma unui număr zecimal:

fracții cu același numitor: fiind părți egale ale aceleiași subdiviziuni ale unui număr întreg, fracția cu cel mai mare numărător este mai mare (se iau în considerare mai multe părți egale);
fracții cu același numărător: fiind luate în considerare, în acest caz, aceleași părți egale, subdiviziune a unui număr întreg, fracția cu numitorul minor va fi mai mare (pentru părți egale, părțile mai mari sunt cu siguranță mai mari dacă împărțirea a fost făcută în părți egale minore);
fracții cu numărător și numitor diferiți: o comparație între două fracții poate fi imediată dacă se compară o fracție proprie (mai mică de 1) și una necorespunzătoare (mai mare de 1).

În celelalte cazuri, trebuie să comparați mai multe fracții, este mai bine să le reduceți pe toate la același numitor, adică referindu-vă la aceleași părți egale: trebuie să comparați ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ textstyle \ frac {a} {b}}$ Și ${\textstyle {\frac {c}{d}}}$ ${\ textstyle {\ frac {c} {d}}}$ ${\ textstyle \ frac {c} {d}}$ , convertește fracțiile în ${\textstyle {\frac {a\,d}{b\,d}}}$ ${\ textstyle {\ frac {a \, d} {b \, d}}}$ ${\ textstyle \ frac {a \, d} {b \, d}}$ Și ${\textstyle {\frac {b\,c}{b\,d}}}$ ${\ textstyle {\ frac {b \, c} {b \, d}}}$ ${\ textstyle \ frac {b \, c} {b \, d}}$ , unde numitorul comun bd este produsul numitorilor care trebuie comparați; apoi numeratoarele sunt comparate între ele: numerele întregi ad și bc .

Pentru a lucra cu numere mai mici, poate fi util să folosiți, în locul produsului numitorilor, cel mai mic multiplu comun al numitorilor (mcm) și să transformați în mod adecvat fracțiile (mcm devine numitorul noii fracții, în timp ce numărătorul este calculat de înmulțind vechiul numărător pentru coeficientul împărțirii mcm cu vechiul numitor). În acest moment, comparația este readusă în cazul fracțiilor cu același numitor.

Înmulțirea și divizarea

Două sferturi sunt echivalente cu jumătate ( ¹ ⁄ ₂ ) de tort, adică 2 × 1⁄4 = 1⁄2 .

Cele mai simple operații de efectuat cu fracții sunt înmulțirea și împărțirea. Iată cum se desfășoară aceste operațiuni.

Revenind la exemplul tortului, dacă avem trei persoane care primesc fiecare un sfert din tort, ajungem să distribuim trei sferturi. Numeric, putem scrie:

3\times {1 \over 4}={3 \over 4}

{\ displaystyle 3 \ times {1 \ over 4} = {3 \ over 4}}

3 \ times {1 \ over 4} = {3 \ over 4}

Luând un alt exemplu, să presupunem că cinci persoane lucrează trei ore pe zi într-un proiect, iar ziua lor de lucru este de șapte ore. În total, vor lucra timp de 15 ore, adică 15 a șaptea zi a zilei. Întrucât 7 șaptimi dintr-o zi este o zi întreagă, în total vor lucra timp de 2 zile și o a șaptea: numeric,

5\times {3 \over 7}={15 \over 7}=2+{1 \over 7}

{\ displaystyle 5 \ times {3 \ over 7} = {15 \ over 7} = 2 + {1 \ over 7}}

5 \ times {3 \ over 7} = {15 \ over 7} = 2 + {1 \ over 7}

Luând înapoi tortul nostru, dacă am luat un sfert și din acesta vrem să luăm o treime, vom obține un al doisprezecelea. De fapt, facem trei părți egale din felie și luăm una: dar dacă am fi împărțit toate cele patru felii inițiale în trei părți am fi ajuns de patru ori trei felii, adică 12 felii. Cu alte cuvinte, o treime dintr-un sfert (sau „o treime dintr-un sfert de ori”) este o doisprezecea. Numeric avem:

{1 \over 3}\times {1 \over 4}={1 \over 12}

{\ displaystyle {1 \ over 3} \ times {1 \ over 4} = {1 \ over 12}}

{1 \ peste 3} \ ori {1 \ peste 4} = {1 \ peste 12}

Ca al doilea exemplu, să presupunem că cei cinci tipi ai noștri au făcut o treabă care echivalează în total cu trei ore dintr-o zi de lucru de șapte ore. Fiecare dintre ei - presupunând că au lucrat cu aceeași energie! - au realizat o cincime din total, așa că au lucrat timp de o cincime din trei șeptimi ale unei zile. Numeric,

{1 \over 5}\times {3 \over 7}={3 \over 35}

{\ displaystyle {1 \ over 5} \ times {3 \ over 7} = {3 \ over 35}}

{1 \ peste 5} \ ori {3 \ peste 7} = {3 \ peste 35}

În practică, se poate vedea cum să înmulțim două fracții, putem înmulți pur și simplu cei doi numărători între ei și cei doi numitori între ei și să folosim rezultatele ca numărător și numitor al produsului. De exemplu:

{5 \over 6}\times {7 \over 8}={5\times 7 \over 6\times 8}={35 \over 48}

{\ displaystyle {5 \ over 6} \ times {7 \ over 8} = {5 \ times 7 \ over 6 \ times 8} = {35 \ over 48}}

{5 \ over 6} \ times {7 \ over 8} = {5 \ times 7 \ over 6 \ times 8} = {35 \ over 48}

sau algebric

{a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}

{\ displaystyle {a \ over b} \ times {c \ over d} = {ac \ over bd}}

{a \ over b} \ times {c \ over d} = {ac \ over bd}

Este posibil ca numărătorul unei fracții și numitorul celeilalte să aibă un factor comun: în acest caz este posibil (înainte sau după efectuarea celor două produse) să se simplifice rezultatul, împărțind ambele valori la cel mai mare comun al lor divizor și reducând astfel fracția „la cei mai puțini termeni”. De exemplu,

{5 \over 6}\times {9 \over 20}={1 \over 6}\times {9 \over 4}={1 \over 2}\times {3 \over 4}={3 \over 8}

{\ displaystyle {5 \ over 6} \ times {9 \ over 20} = {1 \ over 6} \ times {9 \ over 4} = {1 \ over 2} \ times {3 \ over 4} = {3 \ peste 8}}

{5 \ over 6} \ times {9 \ over 20} = {1 \ over 6} \ times {9 \ over 4} = {1 \ over 2} \ times {3 \ over 4} = {3 \ over 8 }

Dacă una sau ambele fracții care trebuie înmulțite sunt necorespunzătoare, este mai ușor să convertiți fracția necorespunzătoare în a dvs. De exemplu:

3\times \left(2+{3 \over 4}\right)=3\times \left({{8 \over 4}+{3 \over 4}}\right)=3\times {11 \over 4}={33 \over 4}=8+{1 \over 4}

{\ displaystyle 3 \ times \ left (2+ {3 \ over 4} \ right) = 3 \ times \ left ({{8 \ over 4} + {3 \ over 4}} \ right) = 3 \ times { 11 \ over 4} = {33 \ over 4} = 8 + {1 \ over 4}}

3 \ times \ left (2 + {3 \ over 4} \ right) = 3 \ times \ left ({{8 \ over 4} + {3 \ over 4}} \ right) = 3 \ times {11 \ over 4} = {33 \ peste 4} = 8 + {1 \ peste 4}

Cel mai simplu mod de a împărți două fracții unele de altele este să înmulțești prima fracție cu inversul celei de-a doua. Iată un exemplu:

{5 \over 6}:{20 \over 3}={5 \over 6}\times {3 \over 20}={1 \over 2}\times {1 \over 4}={1 \over 8}

{\ displaystyle {5 \ over 6}: {20 \ over 3} = {5 \ over 6} \ times {3 \ over 20} = {1 \ over 2} \ times {1 \ over 4} = {1 \ peste 8}}

{5 \ over 6}: {20 \ over 3} = {5 \ over 6} \ times {3 \ over 20} = {1 \ over 2} \ times {1 \ over 4} = {1 \ over 8}

Adunare si scadere

Regula pentru adunarea (sau scăderea) a două fracții este mai complicată; și aici poate fi util să ne întoarcem la exemplul de plăcintă pentru a obține regula generală. Dacă două prăjituri identice sunt tăiate în patru și respectiv cinci bucăți și iau câte o felie din fiecare, cât din prăjitură am? Să ne imaginăm că împărțim fiecare felie a primului tort în alte cinci părți egale și fiecare felie a celui de-al doilea tort în patru părți egale. În acest moment am împărțit ambele prăjituri în 5 × 4 = 20 părți; dintre acestea am cinci din primul tort și patru din al doilea, pentru un total de nouă felii. Numeric,

{1 \over 4}+{1 \over 5}={{5+4} \over {5\times 4}}={9 \over 20}

{\ displaystyle {1 \ over 4} + {1 \ over 5} = {{5 + 4} \ over {5 \ times 4}} = {9 \ over 20}}

{1 \ over 4} + {1 \ over 5} = {{5 + 4} \ over {5 \ times 4}} = {9 \ over 20}

.

Formula generală pentru adăugarea a două fracții este dată de

{a \over b}+{c \over d}={{ad+bc} \over {bd}}

{\ displaystyle {a \ over b} + {c \ over d} = {{ad + bc} \ over {bd}}}

{a \ over b} + {c \ over d} = {{ad + bc} \ over {bd}}

;

Dacă cel mai mare divizor comun M între b și d este mai mare de 1, este posibil să simplificăm operația. Loc ${\textstyle b'={b \over M}}$ ${\ textstyle b '= {b \ peste M}}$ ${\ textstyle b '= {b \ peste M}}$ Și ${\textstyle d'={d \over M}}$ ${\ textstyle d '= {d \ peste M}}$ ${\ textstyle d '= {d \ peste M}}$ , avem de fapt că

{a \over b}+{c \over d}={{ad'+b'c} \over {Mb'd'}}

{\ displaystyle {a \ over b} + {c \ over d} = {{ad '+ b'c} \ over {Mb'd'}}}

{a \ over b} + {c \ over d} = {{ad '+ b'c} \ over {Mb'd'}}

;

Rețineți că numitorul Mb′d ′ este cel mai mic multiplu comun al numitorilor b și d . Un exemplu numeric este

{4 \over 15}+{5 \over 6}={{8+25} \over 30}={33 \over 30}

{\ displaystyle {4 \ over 15} + {5 \ over 6} = {{8 + 25} \ over 30} = {33 \ over 30}}

{4 \ peste 15} + {5 \ peste 6} = {{8 + 25} \ peste 30} = {33 \ peste 30}

.

Comutativitate

Este important să ne amintim că multiplicarea are proprietatea comutativă , ceea ce înseamnă pur și simplu că ordinea factorilor nu contează și că de trei ori pe sfert este egal cu un sfert din trei; numeric:

3\times {1 \over 4}={1 \over 4}\times 3={3 \over 4}

{\ displaystyle 3 \ times {1 \ over 4} = {1 \ over 4} \ times 3 = {3 \ over 4}}

3 \ times {1 \ over 4} = {1 \ over 4} \ times 3 = {3 \ over 4}

Fracțiile și sistemul numeric zecimal

Orice număr rațional poate fi scris folosind scrierea zecimală .

Un număr zecimal neperiodic, sau cu o perioadă egală cu 0 (de exemplu, 3,5 = 3,5 0 ), poate fi scris într-o formă rațională scriind la numărător toate cifrele care apar în număr, fără virgulă și la numitorul a 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre există după virgulă sau, de asemenea, 10 ⁿ , cu n număr de cifre după virgulă. Fracția astfel obținută, dacă nu este deja, poate fi simplificată astfel încât numărătorul și numitorul să fie două numere prime.

Exemplu:

3{,}48={\frac {348}{10^{2}}}={\frac {348}{100}}={\frac {87}{25}}

{\ displaystyle 3 {,} 48 = {\ frac {348} {10 ^ {2}}} = {\ frac {348} {100}} = {\ frac {87} {25}}}

3 {,} 48 = {\ frac {348} {10 ^ {2}}} = {\ frac {348} {100}} = {\ frac {87} {25}}

Traducerea unui număr periodic într-o fracțiune poate fi efectuată în felul următor: este necesar să se pună în numărător diferența dintre numărul periodic zecimal scris fără virgulă și toate cifrele care preced perioada, iar în numitorul puneți câte cifre există cifre ale perioadei și câte zero sunt câte cifre după virgula care precedă perioada (periodice mixte cu antiperiodă).

Exemplu:

3{,}4{\bar {3}}={\frac {343-34}{90}}={\frac {309}{90}}={\frac {103}{30}}

{\ displaystyle 3 {,} 4 {\ bar {3}} = {\ frac {343-34} {90}} = {\ frac {309} {90}} = {\ frac {103} {30}} }

3 {,} 4 {\ bar 3} = {\ frac {343-34} {90}} = {\ frac {309} {90}} = {\ frac {103} {30}}

Demonstrație

Sa nu uiti asta:

1/9=0{,}11111\ldots =0{,}{\overline {1}}

{\ displaystyle 1/9 = 0 {,} 11111 \ ldots = 0 {,} {\ overline {1}}}

1/9 = 0 {,} 11111 \ ldots = 0 {,} \ overline {1}

pentru care:

{\begin{aligned}1/99&=1/9\cdot 1/11=0{,}{\overline {1}}\cdot 1/11=0{,}{\overline {11}}\cdot 1/11=0{,}{\overline {11}}/11=0{,}{\overline {01}}\\1/999&=1/9\cdot 1/111=0{,}{\overline {1}}\cdot 1/111=0{,}{\overline {111}}\cdot 1/111=0{,}{\overline {111}}/111=0{,}{\overline {001}}\ldots \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1/99 & = 1/9 \ cdot 1/11 = 0 {,} {\ overline {1}} \ cdot 1/11 = 0 {,} {\ overline {11} } \ cdot 1/11 = 0 {,} {\ overline {11}} / 11 = 0 {,} {\ overline {01}} \\ 1/999 & = 1/9 \ cdot 1/111 = 0 { ,} {\ overline {1}} \ cdot 1/111 = 0 {,} {\ overline {111}} \ cdot 1/111 = 0 {,} {\ overline {111}} / 111 = 0 {,} {\ overline {001}} \ ldots \ end {align}}}

{\ begin {align} 1/99 & = 1/9 \ cdot 1/11 = 0 {,} \ overline {1} \ cdot 1/11 = 0 {,} \ overline {11} \ cdot 1/11 = 0 {,} \ overline {11} / 11 = 0 {,} \ overline {01} \\ 1/999 & = 1/9 \ cdot 1/111 = 0 {,} \ overline {1} \ cdot 1 / 111 = 0 {,} \ overline {111} \ cdot 1/111 = 0 {,} \ overline {111} / 111 = 0 {,} \ overline {001} \ ldots \ end {align}}

Pentru simplitate, să luăm în considerare următorul număr 1.23 456 și să căutăm fracția generatoare.

Să-l înmulțim și să-l împărțim la 100 sau la 10 crescut la numărul de cifre al antiperiodului: ${\textstyle {\frac {123{,}{\overline {456}}}{100}}}$ ${\ textstyle {\ frac {123 {,} {\ overline {456}}} {100}}}$ ${\ textstyle \ frac {123 {,} \ overline {456}} {100}}$

Separăm partea întreagă de partea zecimală în numărător: ${\textstyle {\frac {123+0{,}{\overline {456}}}{100}}}$ ${\ textstyle {\ frac {123 + 0 {,} {\ overline {456}}} {100}}}$ ${\ textstyle \ frac {123 + 0 {,} \ overline {456}} {100}}$

Să evidențiem perioada părții zecimale: ${\textstyle {\frac {123+456\cdot 0{,}{\overline {001}}}{100}}}$ ${\ textstyle {\ frac {123 + 456 \ cdot 0 {,} {\ overline {001}}} {100}}}$ ${\ textstyle \ frac {123 + 456 \ cdot0 {,} \ overline {001}} {100}}$

Înlocuim fracția generatoare cu zecimalul periodic: ${\textstyle {\frac {123+456\cdot {\frac {1}{999}}}{100}}}$ ${\ textstyle {\ frac {123 + 456 \ cdot {\ frac {1} {999}}} {100}}}$ ${\ textstyle \ frac {123 + 456 \ cdot \ frac {1} {999}} {100}}$

Plasăm fiecare termen sub o singură linie fracțională: ${\textstyle {\frac {123\cdot 999+456}{99900}}}$ ${\ textstyle {\ frac {123 \ cdot 999 + 456} {99900}}}$ ${\ textstyle \ frac {123 \ cdot 999 + 456} {99900}}$

Scriem 999 ca 1000 - 1, adică 10 crescut la numărul de cifre din perioada −1: ${\textstyle {\frac {123\cdot (1000-1)+456}{99900}}}$ ${\ textstyle {\ frac {123 \ cdot (1000-1) +456} {99900}}}$ ${\ textstyle \ frac {123 \ cdot (1000-1) + 456} {99900}}$

În cele din urmă, separăm termenii pozitivi și negativi din numărător: ${\textstyle {\frac {123456-123}{99900}}}$ ${\ textstyle {\ frac {123456-123} {99900}}}$ ${\ textstyle \ frac {123456 - 123} {99900}}$ .

Generalizări

O fracție continuată este o expresie de acest tip

a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+...}}}}

{\ displaystyle a_ {0} + {\ frac {1} {a_ {1} + {\ frac {1} {a_ {2} + ...}}}}}

a_ {0} + {\ frac {1} {a_ {1} + {\ frac {1} {a_ {2} + ...}}}}

cu numerele întregi a _i (în mod normal pozitive, cu excepția eventuală a unui ₀ ).

O extensie a fracțiilor este dată de câmpul coeficient al unui domeniu de integritate .

Notă

^ R. Fiamenghi, D. Giallongo, MA Cerini, Nucleul tematic: numărul. 7 Fracțiile , în Operațiune matematică. Aritmetic. , Trevisini, 2010.
^ AJ, Dimensiune nominală a țevii NPS, Nominal Bore NB, Diametru exterior OD , la piping-engineering.com , Piping-engineering. Adus la 22 iulie 2015 .
^ C. McKeague, Basic Mathematics: A Text / Workbook , Cengage Learning, 2012, p. 159, ISBN 978-1-133-10362-2 .
^ Ghidul utilizatorului Fx-50F Plus ( PDF ), Tokyo, CASIO COMPUTER CO., LTD, 2006, pp. 15-16.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ fracțiuni ”
Wikiversitatea conține o lecție despre fracțiuni
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre fracțiuni

linkuri externe

UbiMath Carduri și exerciții didactice rezolvate ^{[ link rupt ]} , pe ubimath.org .
Noi metode de calcul al valorii unei fracții , pe ericdigests.org .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 44373 · LCCN (EN) sh85051148 · GND (DE) 4008387-1 · BNF (FR) cb12063899h (dată) · BNE (ES) XX532372 (dată) · NDL (EN, JA) 00.561.041

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] R. Fiamenghi, D. Giallongo, MA Cerini, Nucleul tematic: numărul. 7 Fracțiile , în Operațiune matematică. Aritmetic. , Trevisini, 2010.

[2] AJ, Dimensiune nominală a țevii NPS, Nominal Bore NB, Diametru exterior OD , la piping-engineering.com , Piping-engineering. Adus la 22 iulie 2015 .

[3] C. McKeague, Basic Mathematics: A Text / Workbook , Cengage Learning, 2012, p. 159, ISBN 978-1-133-10362-2 .

[4] Ghidul utilizatorului Fx-50F Plus ( PDF ), Tokyo, CASIO COMPUTER CO., LTD, 2006, pp. 15-16.

[1]

[2]

[3]

[4]