Număr zecimal periodic

În matematică , un număr zecimal periodic este un număr rațional care, exprimat în notație zecimală, are un șir (finit) de cifre după virgulă care, de la un anumit punct, se repetă la infinit. Acest șir repetat se numește perioada numărului. Multe numere periodice au un șir (finit) de cifre care nu se repetă, înainte ca perioada să înceapă, acest șir care nu se repetă se numește antiperiodă .

Deoarece reprezentarea zecimală a numărului este infinită, există în principal două convenții pentru scrierea numărului în formă compactă. Așezați o linie continuă deasupra cifrelor de punct sau adăugați cifre repetate între paranteze rotunde. De exemplu 23,4 8771 = 23,4 (8771) = 23,487718771877187718771 ...

Fiecare număr zecimal periodic, fiind o reprezentare particulară a unui număr rațional, poate fi reprezentat printr-o fracție. De asemenea, inversul este valabil, adică fiecare număr rațional este periodic și, prin urmare, fiecare fracție poate fi exprimată prin intermediul unui număr zecimal periodic. Acest lucru este imediat observând că fiecare număr cu o parte zecimală finită este de fapt un periodic al perioadei 0. De exemplu, scrierea 2.5 = 2.5 0 = 2.50000 ...

Descriere și clasificare

Numerele zecimale periodice sunt împărțite în:

simplu dacă punctul este prezent imediat după virgulă (de exemplu: 8, 5 );
amestecat dacă antiperioada este prezentă după virgulă (de exemplu: 8,43 5 ).

Numărul periodic mixt are trei elemente:

partea întreagă, formată din cifrele plasate înaintea virgulei;
antiperioada, partea, compusă din una sau mai multe cifre plasate între virgulă și punct.
perioada, care este compusă din una sau mai multe cifre care se repetă la nesfârșit după virgulă;

Un exemplu de număr periodic mixt este:

8{,}43555555555555555\dots

{\ displaystyle 8 {,} 43555555555555555 \ dots}

8 {,} 43555555555555555 \ dots

unde 8 este partea întreagă, 5 perioada și 43 antiperioada.

Perioada poate fi alcătuită din mai multe cifre, de exemplu: 8.435353535353 ... care este reprezentat de 8.4 35 .

Fracțiune care generează un număr zecimal periodic

Fiecare număr periodic are propria sa fracție generatoare. Pentru a-l calcula, trebuie să:

scrieți numărul fără virgulă:
$\lfloor 8{,}{\overline {5}}\times 10\rfloor =85$ ${\ displaystyle \ lfloor 8 {,} {\ overline {5}} \ times 10 \ rfloor = 85}$ $\ lfloor 8 {,} \ overline 5 \ times 10 \ rfloor = 85$
scade din număr tot ce precede perioada:
$85-8=77$ ${\ displaystyle 85-8 = 77}$ $85 - 8 = 77$
Împărțiți rezultatul găsit de un număr format din câte 9 cifre ale perioadei urmate de câte 0 pentru orice cifră a antiperiodului:
$77/9=8{,}55555\dots$ ${\ displaystyle 77/9 = 8 {,} 55555 \ dots}$ $77/9 = 8 {,} 55555 \ dots$

Aceeași procedură pentru numărul periodic 8.43 5 este:

8{,}43{\overline {5}}=(8435-843)/900

{\ displaystyle 8 {,} 43 {\ overline {5}} = (8435-843) / 900}

8 {,} 43 \ overline5 = (8435-843) / 900

Și pentru numărul periodic 8.4 35 este:

8,4{\overline {35}}=(8435-84)/990

{\ displaystyle 8,4 {\ overline {35}} = (8435-84) / 990}

8.4 \ overline {35} = (8435-84) / 990

În mod similar, această procedură poate fi utilizată pentru a transforma numere zecimale limitate:

8{,}4=8{,}4{\overline {0}}=(840-84)/90

{\ displaystyle 8 {,} 4 = 8 {,} 4 {\ overline {0}} = (840-84) / 90}

8 {,} 4 = 8 {,} 4 \ overline0 = (840-84) / 90

Demonstrație

Această metodă poate fi demonstrată prin utilizarea seriei geometrice : să luăm un număr periodic simplu

x=0,{\overline {a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\dots a_{n}}}

{\ displaystyle x = 0, {\ overline {a_ {1} \, a_ {2} \, a_ {3} \ dots a_ {n}}}}

x = 0, \ overline {a_1 \, a_2 \, a_3 \ dots a_n}

unde $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_k$ sunt cifre cuprinse între 0 și 9 (cel puțin una trebuie să fie diferită de 0) e $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este lungimea perioadei. Alegem să începem cu acest tip de număr zecimal, deoarece atunci va fi ușor să extindem ideea la cazul general. O rescriere echivalentă pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este următorul:

x=\sum _{k=0}^{+\infty }\left({\frac {a_{1}}{10^{nk+1}}}+{\frac {a_{2}}{10^{nk+2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{nk+n}}}\right).

{\ displaystyle x = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {a_ {1}} {10 ^ {nk + 1}}} + {\ frac {a_ {2} } {10 ^ {nk + 2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {n}} {10 ^ {nk + n}}} \ right).}

x = \ sum_ {k = 0} ^ {+ \ infty} \ left (\ frac {a_1} {10 ^ {nk + 1}} + \ frac {a_2} {10 ^ {nk + 2}} + \ cdots + \ frac {a_n} {10 ^ {nk + n}} \ right).

În acest fel obținem o sumă de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ serii geometrice:

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {1}{10^{nk+1}}}&={\frac {1}{10}}\,{\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}={\frac {10^{n-1}}{10^{n}-1}}\\\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {1}{10^{nk+2}}}&={\frac {1}{10^{2}}}\,{\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}={\frac {10^{n-2}}{10^{n}-1}}\\&\cdots \\\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {1}{10^{nk+n}}}&={\frac {1}{10^{n}}}\,{\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}={\frac {1}{10^{n}-1}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {nk + 1}}} & = {\ frac {1} {10} } \, {\ frac {10 ^ {n}} {10 ^ {n} -1}} = {\ frac {10 ^ {n-1}} {10 ^ {n} -1}} \\\ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {nk + 2}}} & = {\ frac {1} {10 ^ {2}}} \, {\ frac { 10 ^ {n}} {10 ^ {n} -1}} = {\ frac {10 ^ {n-2}} {10 ^ {n} -1}} \\ & \ cdots \\\ sum _ { k = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {nk + n}}} & = {\ frac {1} {10 ^ {n}}} \, {\ frac {10 ^ {n}} {10 ^ {n} -1}} = {\ frac {1} {10 ^ {n} -1}} \ end {align}}}

\ begin {align} \ sum_ {k = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {1} {10 ^ {nk + 1}} & = \ frac {1} {10} \, \ frac {10 ^ n } {10 ^ {n} - 1} = \ frac {10 ^ {n-1}} {10 ^ n - 1} \\ \ sum_ {k = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {1} { 10 ^ {nk + 2}} & = \ frac {1} {10 ^ 2} \, \ frac {10 ^ n} {10 ^ {n} - 1} = \ frac {10 ^ {n-2}} {10 ^ n - 1} \\ & \ cdots \\ \ sum_ {k = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {1} {10 ^ {nk + n}} & = \ frac {1} {10 ^ n} \, \ frac {10 ^ n} {10 ^ {n} - 1} = \ frac {1} {10 ^ n - 1} \ end {align}

făcând astfel posibilă scrierea expresiei fracționare a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ca

x={\frac {a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}{\underbrace {99\dots 9} _{n\,\mathrm {volte} }}}

{\ displaystyle x = {\ frac {a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}} {\ underbrace {99 \ dots 9} _ {n \, \ mathrm {times}}}}}

x = \ frac {a_1 \, a_2 \ dots a_n} {\ underbrace {99 \ dots 9} _ {n \, \ mathrm {times}}}

și numărul $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}}$ $a_1 \, a_2 \ dots a_n$ se dovedește a fi un număr întreg al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cifre, echivalent cu scrierea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ fără punctul zecimal.

Cel mai general caz este reprezentat de numărul

y=c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,,\;b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\,{\overline {a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}}

{\ displaystyle y = c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \ ,, \; b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \, {\ overline {a_ { 1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}}}}

y = c_1 \, c_2 \ dots c_m \ ,, \; b_1 \, b_2 \ dots b_p \, \ overline {a_1 \, a_2 \ dots a_n}

care poate fi rescris astfel:

{\begin{aligned}y&=c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\;+\;b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\cdot 10^{-p}\;+\;0,\,{\overline {a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}}\cdot 10^{-p}=\\&=c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\;+\;b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\cdot 10^{-p}\;+\;{\frac {a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}{99\dots 9\cdot 10^{p}}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y & = c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \; + \; b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \ cdot 10 ^ {- p} \; + \; 0, \, {\ overline {a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}}} \ cdot 10 ^ {- p} = \\ & = c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \; + \; b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \ cdot 10 ^ {- p} \; + \ ; {\ frac {a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}} {99 \ dots 9 \ cdot 10 ^ {p}}}. \ end {align}}}

\ begin {align} y & = c_1 \, c_2 \ dots c_m \; + \; b_1 \, b_2 \ dots b_p \ cdot 10 ^ {- p} \; + \; 0, \, \ overline {a_1 \, a_2 \ dots a_n} \ cdot 10 ^ {- p} = \\ & = c_1 \, c_2 \ dots c_m \; + \; b_1 \, b_2 \ dots b_p \ cdot 10 ^ {- p} \; + \; \ frac {a_1 \, a_2 \ dots a_n} {99 \ dots 9 \ cdot 10 ^ p}. \ end {align}

Amintindu-mi asta $99\dots 9=10^{n}-1$ ${\ displaystyle 99 \ dots 9 = 10 ^ {n} -1}$ $99 \ dots 9 = 10 ^ n - 1$ , ajungem la:

{\begin{aligned}y&={\frac {c_{1}\dots c_{m}\cdot 10^{n+p}+b_{1}\dots b_{p}\cdot 10^{n}+a_{1}\dots a_{n}-c_{1}\dots c_{m}\cdot 10^{p}-b_{1}\dots b_{p}}{99\dots 9\cdot 10^{p}}}=\\&={\frac {c_{1}\dots c_{m}\,b_{1}\dots b_{p}\,a_{1}\dots a_{n}-c_{1}\dots c_{m}\,b_{1}\dots b_{p}}{99\dots 9\cdot 10^{p}}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y & = {\ frac {c_ {1} \ dots c_ {m} \ cdot 10 ^ {n + p} + b_ {1} \ dots b_ {p} \ cdot 10 ^ {n} + a_ {1} \ dots a_ {n} -c_ {1} \ dots c_ {m} \ cdot 10 ^ {p} -b_ {1} \ dots b_ {p}} {99 \ dots 9 \ cdot 10 ^ {p}}} = \\ & = {\ frac {c_ {1} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \ dots b_ {p} \, a_ {1} \ dots a_ {n } -c_ {1} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \ dots b_ {p}} {99 \ dots 9 \ cdot 10 ^ {p}}}. \ end {align}}}

\ begin {align} y & = \ frac {c_1 \ dots c_m \ cdot 10 ^ {n + p} + b_1 \ dots b_p \ cdot 10 ^ n + a_1 \ dots a_n - c_1 \ dots c_m \ cdot 10 ^ p - b_1 \ dots b_p} {99 \ dots 9 \ cdot 10 ^ p} = \\ & = \ frac {c_1 \ dots c_m \, b_1 \ dots b_p \, a_1 \ dots a_n - c_1 \ dots c_m \, b_1 \ dots b_p} {99 \ dots 9 \ cdot 10 ^ p}. \ end {align}

Prin urmare, pentru a reconstitui fracția care generează numărul periodic corespunzător, acesta din urmă este rescris ca un întreg și se scade din acesta întregul format din cifrele care se găsesc înainte de partea periodică. Rezultatul acestei operații este apoi împărțit la un număr întreg format dintr-un număr de nouă egal cu lungimea perioadei și un număr de zerouri egal cu numărul de cifre zecimale care preced începutul părții periodice.

Cazuri speciale

Dacă încercați să convertiți un număr zecimal periodic periodic a cărui perioadă este 9 într-o fracție generatoare, împărțirea numărătorului la numitorul fracției generatoare rezultate ar rezulta într-un număr întreg în loc de numărul zecimal periodic periodic inițial. De exemplu, transformând numărul periodic simplu 400, 9 în fracția sa generatoare am obține (4009-400) / 9 = 3609/9 al cărui rezultat ar fi 401 în loc de 400, 9 . Acest lucru se datorează faptului că în matematică notația zecimală periodică 0,999 ... denotă numărul real 1. Cu alte cuvinte, notațiile „0,999 ...” și „1” reprezintă același număr real (pentru a fi convinși de acest lucru este suficient pentru a începe de la egalitatea 0, 3 = 1/3: înmulțind cu 3 obținem 0, 9 = 1).

Dovadă alternativă

O demonstrație alternativă la cea precedentă, puțin mai informală, dar la fel de valabilă, este următoarea.

Este

x=c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,,\;b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\,{\overline {a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}}

{\ displaystyle x = c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \ ,, \; b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \, {\ overline {a_ { 1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}}}}

x = c_1 \, c_2 \ dots c_m \ ,, \; b_1 \, b_2 \ dots b_p \, \ overline {a_1 \, a_2 \ dots a_n}

un număr zecimal periodic generic. Înmulțind cu $10^{p}$ ${\ displaystyle 10 ^ {p}}$ $10 ^ p$ se elimină antiperioada

10^{p}x=c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\,,\;{\overline {a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}}

{\ displaystyle 10 ^ {p} x = c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \ ,, \; { \ overline {a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}}}}

10 ^ p x = c_1 \, c_2 \ dots c_m \, b_1 \, b_2 \ dots b_p \ ,, \; \ overline {a_1 \, a_2 \ dots a_n}

Înmulțind cu $10^{n}$ ${\ displaystyle 10 ^ {n}}$ $10 ^ n$ puneți „un punct” înainte de virgulă, lăsând neschimbată partea după virgulă

10^{n}10^{p}x=c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\,a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}\,,\;{\overline {a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}}

{\ displaystyle 10 ^ {n} 10 ^ {p} x = c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \ , a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n} \ ,, \; {\ overline {a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n}}}}

10 ^ n 10 ^ p x = c_1 \, c_2 \ dots c_m \, b_1 \, b_2 \ dots b_p \, a_1 \, a_2 \ dots a_n \ ,, \; \ overline {a_1 \, a_2 \ dots a_n}

Scăderea membru cu membru a ultimelor două egalități pe care le avem

(10^{n}-1)10^{p}x=c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\,a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}-c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}

{\ displaystyle (10 ^ {n} -1) 10 ^ {p} x = c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \, a_ {1} \, a_ {2} \ dots a_ {n} -c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p}}

(10 ^ n -1) 10 ^ px = c_1 \, c_2 \ dots c_m \, b_1 \, b_2 \ dots b_p \, a_1 \, a_2 \ dots a_n - c_1 \, c_2 \ dots c_m \, b_1 \, b_2 \ dots b_p

unde cifrele după virgula numărului din partea dreaptă sunt acum toate egale cu 0. Din aceasta rezultă că

x={\frac {c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}\,a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}-c_{1}\,c_{2}\dots c_{m}\,b_{1}\,b_{2}\dots b_{p}}{(10^{n}-1)10^{p}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p} \, a_ {1} \ , a_ {2} \ dots a_ {n} -c_ {1} \, c_ {2} \ dots c_ {m} \, b_ {1} \, b_ {2} \ dots b_ {p}} {(10 ^ {n} -1) 10 ^ {p}}}}

x = \ frac {c_1 \, c_2 \ dots c_m \, b_1 \, b_2 \ dots b_p \, a_1 \, a_2 \ dots a_n - c_1 \, c_2 \ dots c_m \, b_1 \, b_2 \ dots b_p} {( 10 ^ n -1) 10 ^ p}

Acum amintindu-mi asta $10^{n}-1=\underbrace {99\dots 9} _{n}$ ${\ displaystyle 10 ^ {n} -1 = \ underbrace {99 \ dots 9} _ {n}}$ $10 ^ n - 1 = \ underbrace {99 \ dots 9} _n$ , aveți teza.

Algoritm

Următorul program din Python 3 aplică metoda descrisă unuia sau mai multor numere în format șir (întreg, zecimal sau zecimal cu punct între paranteze în același format returnat de program în secțiunea următoare) returnând fracțiile echivalente simplificate în șiruri.

Pentru a-l testa, puteți invoca programul direct din linia de comandă, de ex.

 $ python3 generates.py "8.43 (5)"

1898/225

 import sisteme
import re
import matematica

def reducere_fracție ( fracție ):
    num , den = fracție . divizat ( '/' )
    num = int ( num )
    den = int ( den )
    gcd = matematică . mcd ( num , den )
    num / = mcd
    den / = mcd
    returnează „ % d / % d ” % ( num , den )

# returnează fracția generatoare (nu simplificată) în cazul numerelor întregi, zecimale fără punct și zecimale cu perioade indicate între paranteze rotunde
def frazione_generatrice (numer):
    # dacă numărul este întreg sau fără punct, adaug necesarul
    meci = rege . căutare ( '[,.]', numer);
    dacă nu se potrivește :
        numeric + = ", (0)"
        meci = rege . căutare ( '[,.]', numer);
    pos1 = meci . start ()
    pos2 = numer. găsi ( '(' )
    pos3 = numer. găsi ( ')' )    
    dacă pos2 == - 1 și pos3 == - 1 :
        numeric + = "(0)"
        pos2 = numer. găsi ( '(' )
        pos3 = numer. găsi ( ')' )    
    #verificați dacă parantezele și punctul sunt în ordinea corectă
    dacă pos2 > pos1 și pos3 > pos2 :
        # Extrag o parte înainte de perioadă
        prev = num [ 0 : pos1 ] + num [ pos1 + 1 : pos2 ]     
        #cifre de numărare pentru perioada respectivă
        cifre = pos3 - pos2 - 1        
        # Șterg toate semnele
        senzasegni numer = [0: pos1] + numer [pos1 + 1: pos2] + numer [pos2 + 1: pos3]
        #calculează numeratorul
        num = int (unsigned) - int (prev)        
        den = ""
        # Am pus în numitor câte cifre sunt câte cifre ale perioadei
        pentru i în interval ( 0 , cifre ):
            den + = "9"
        #accodo la numitor atât de multe zerouri câte cifre sunt antiperiodice
        pentru i în intervalul ( 0 , pos2 - pos1 - 1 ):
            den + = "0"
        #întoarceți fracția generatoare ca un șir
        returnează „ % d / % s ” % ( num , den )

    altceva :
        returnează „format nevalid”
        
pentru i in sys . argv [ 1 :]:
    print (riduci_frazione (frazione_generatrice (i)))

Număr zecimal periodic dintr-o fracție

Exemplu de împărțire zecimală pentru a găsi un număr periodic (43/42)

Pentru a calcula un număr periodic pornind de la o fracție este necesar să se efectueze o împărțire zecimală între numărător și numitor, care trebuie întreruptă numai atunci când se obține o valoare deja identificată într-una din diviziunile anterioare: în acest moment, de fapt, calcularea valorii ulterioare cifre zecimale, veți repeta pur și simplu aceleași diviziuni efectuate anterior până când veți obține același rest din nou, iar această succesiune de calcule se va repeta la infinit. Prin urmare, este posibil să încheiem diviziunea zecimală și să identificăm cifrele perioadei și ale antiperiodului pe baza poziției resturilor coincidente.

Acest algoritm poate fi executat de un program pentru a împărți perfect (evitând astfel orice eroare de aproximare) orice două numere într-un timp scurt. Un exemplu al aplicației sale în Python :

 
def period_expansion ( num , den ):
    s = "
    dacă num < 0 :
        s + = '-'
        num = - num
    # adăugați reprezentarea părții întregi
    s + = str ( num // den )
    num = num % den
    # punem virgula dacă este necesar:
    dacă num > 0 :
        s + = '.'
    # memorăm succesiunea resturilor pentru a găsi perioada
    rămâne = [ 0 ]
    în timp ce num nu în resturi :
        rămâi . inserare ( 1 , num )
        num * = 10
        # adăugați o zecimală
        s + = str ( num // den )
        num % = den
    perioada = ramane . index ( num )
    dacă perioada > 0 :
        s = s [: - period ] + '( % s )' % s [ - period :]
    retur s

Cazul numărului periodic 0, (9)

Același subiect în detaliu: 0.999 ....

Numărul periodic 0.9999 ... are aceeași semnificație ca unitatea

Pentru a calcula numărul periodic simplu $0{,}999999999\dots$ ${\ displaystyle 0 {,} 999999999 \ dots}$ $0 {,} 999999999 \ dots$ reprezentabil cu $0{,}{\bar {9}}$ ${\ displaystyle 0 {,} {\ bar {9}}}$ $0 {,} \ bar9$ este necesar, ca toate numerele periodice:

scrie perioada $9$ ${\ displaystyle 9}$ $9$
scrie cifra 9 ca dividend, deoarece perioada este alcătuită dintr-o singură cifră
primesti $9/9$ ${\ displaystyle 9/9}$ $9/9$ care este egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

O demonstrație că alinierea zecimală $0{,}{\bar {9}}$ ${\ displaystyle 0 {,} {\ bar {9}}}$ $0 {,} \ bar 9$ reprezintă aceeași cantitate indicată de număr $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este următorul:

{\begin{aligned}x&=0{,}{\bar {9}}\\10x&=9{,}{\bar {9}}\\10x-x&=9{,}{\bar {9}}-0{,}{\bar {9}}\\9x&=9\\x&=1\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = 0 {,} {\ bar {9}} \\ 10x & = 9 {,} {\ bar {9}} \\ 10x-x & = 9 {,} {\ bar {9}} - 0 {,} {\ bar {9}} \\ 9x & = 9 \\ x & = 1 \ end {align}}}

\ begin {align} x & = 0 {,} \ bar 9 \\ 10x & = 9 {,} \ bar 9 \\ 10x-x & = 9 {,} \ bar9 - 0 {,} \ bar9 \\ 9x & = 9 \\ x & = 1 \ end {align}

Numere periodice în alte baze

Numerele periodice apar chiar dacă, în loc de baza 10, considerăm o altă bază de numerotare pentru a reprezenta numerele. În general, în funcție, numerele care devin periodice sunt tocmai acelea care, când este reprezentat printr - o fracție a cărei termeni sunt prime între ele , au un numitor care conține factori prime care nu se împart.

Numere periodice în baza 2

În baza 2, numerele periodice nu pot avea o perioadă de lungime 1. De fapt, această perioadă ar putea fi compusă doar din 0 cifre și nu are sens să vorbim despre zero periodic ; sau a cifrelor 1 : în acest caz, cazul periodicului 9 se repetă în numerele zecimale, cu rezultatul că (în baza 2) numărul 0, (1) = 1.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică