Câmpul cotientului

În algebră , câmpul coeficient sau câmpul fracției sau câmpul coeficient al unui domeniu de integritate unitară $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ astfel încât fiecare element al $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ poate fi scris ca o fracție $a/b$ ${\ displaystyle a / b}$ $a / b$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt elemente ale $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este diferit de zero $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , și unde fracția $a/b$ ${\ displaystyle a / b}$ $a / b$ este definit (prin intermediul construcției descrise mai jos) ca o clasă de echivalență în perechi $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ .

De exemplu, setul $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a numerelor raționale este câmpul coeficienților mulțimii $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi . Câmpul fracțiilor unui câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ coincide cu sine.

Este un caz special de localizare a unui inel .

Constructie

Construcția câmpului de coeficienți ai unui domeniu de integritate unitară urmărește construcția formală a raționalelor pornind de la numere întregi: în produsul cartezian $D\times (D\setminus \{0\})$ ${\ displaystyle D \ times (D \ setminus \ {0 \})}$ ${\ displaystyle D \ times (D \ setminus \ {0 \})}$ se definește relația de echivalență

(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc.

{\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ if ad = bc.}

{\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ if ad = bc.}

Coeficientul general $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ cele două operații dintre clasele de echivalență sunt apoi definite din această relație

[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],

{\ displaystyle [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)],}

{\ displaystyle [(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)],}

[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].

{\ displaystyle [(a, b)] \ cdot [(c, d)] = [(ac, bd)].}

{\ displaystyle [(a, b)] \ cdot [(c, d)] = [(ac, bd)].}

care sunt operațiuni interne și definite în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și dă-i structura câmpului. Interior $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ elemente de tip $[(a,1)]$ ${\ displaystyle [(a, 1)]}$ ${\ displaystyle [(a, 1)]}$ reprezintă elementele de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , acesta este întregul $D^{*}=\{[(a,1)]|a\in D\}\subset F$ ${\ displaystyle D ^ {*} = \ {[(a, 1)] | a \ în D \} \ subset F}$ ${\ displaystyle D ^ {*} = \ {[(a, 1)] | a \ în D \} \ subset F}$ este o copie izomorfă a $D. .$ ${\ displaystyle D.}$ ${\ displaystyle D.}$

Elementul de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ constând din clasa de echivalență $[(a,b)]$ ${\ displaystyle [(a, b)]}$ $[(a, b)]$ a unui cuplu $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ este indicat și cu simbolul fracției $a/b$ ${\ displaystyle a / b}$ $a / b$ . ^[1]

Proprietate

Câmpul coeficienților unui domeniu de integritate atribuit este unic, adică toate câmpurile coeficienților unui anumit domeniu de integritate unitar sunt izomorfi între ei; în plus, câmpurile coeficienților a două domenii de integritate unitară izomorfă sunt la rândul lor izomorfe.

Notă

^ mai poate fi denumit și $ab^{-1}$ ${\ displaystyle ab ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle ab ^ {- 1}}$ , unde (cu abuz de notație) simbolurile elementelor din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ pentru a indica elementele de $D^{*}$ ${\ displaystyle D ^ {*}}$ ${\ displaystyle D ^ {*}}$ corespunzător acestora și, prin urmare $b^{-1}$ ${\ displaystyle b ^ {- 1}}$ $b ^ {{- 1}}$ este bine definit fiind inversul multiplicativ, în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , din $[(b,1)]$ ${\ displaystyle [(b, 1)]}$ ${\ displaystyle [(b, 1)]}$ .

Bibliografie

Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - o abordare algoritmică . Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ^ mai poate fi denumit și $ab^{-1}$ ${\ displaystyle ab ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle ab ^ {- 1}}$ , unde (cu abuz de notație) simbolurile elementelor din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ pentru a indica elementele de $D^{*}$ ${\ displaystyle D ^ {*}}$ ${\ displaystyle D ^ {*}}$ corespunzător acestora și, prin urmare $b^{-1}$ ${\ displaystyle b ^ {- 1}}$ $b ^ {{- 1}}$ este bine definit fiind inversul multiplicativ, în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , din $[(b,1)]$ ${\ displaystyle [(b, 1)]}$ ${\ displaystyle [(b, 1)]}$ .

[1]