Inel de evaluare

În algebră , un inel de evaluare (sau un domeniu de evaluare ) este un inel comutativ unitar integral A astfel încât, pentru fiecare x din câmpul său coeficient , cel puțin unul dintre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x^{-1}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ este în A ; echivalent, este un inel comutativ integral ale cărui idealuri sunt total ordonate .

Exemple de inele de evaluare sunt localizările $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ și de $K[X]$ ${\ displaystyle K [X]}$ $K [X]$ (unde K este un câmp ) pe idealul lor prim , sau inelul de numere întregi p -adics pentru un număr prim p , sau inelul $K[[X]]$ ${\ displaystyle K [[X]]}$ ${\ displaystyle K [[X]]}$ de serii formale pe un teren.

O versiune „globală” a inelelor de evaluare sunt domeniile Prüfer , care sunt acele inele în care, pentru orice ideal ideal P , locația A _P este un inel de evaluare.

Definiții echivalente

Un inel de evaluare poate fi definit în mai multe moduri echivalente: să fie A un domeniu de integritate și K câmpul său coeficient.

Pentru orice x în K , x sau x ^-1 este în A ;
idealurile lui A sunt total ordonate;
idealurile principale ale lui A sunt total ordonate (adică pentru fiecare a și b din A , a divide b sau b împarte a ).

Evaluări

O altă modalitate de a le defini este prin utilizarea unei evaluări (de unde și numele): acesta este un omomorfism surjectiv al grupurilor

v:K^{*}\longrightarrow G

{\ displaystyle v: K ^ {*} \ longrightarrow G}

{\ displaystyle v: K ^ {*} \ longrightarrow G}

(unde K este un câmp, K ^* grupul său multiplicativ și G este un grup total ordonat ) astfel încât, dacă x + y este diferit de 0, atunci

v(x+y)\geq \min(v(x),v(y)).

{\ displaystyle v (x + y) \ geq \ min (v (x), v (y)).}

{\ displaystyle v (x + y) \ geq \ min (v (x), v (y)).}

Inelul $A_{v}=\{x\in K^{*}|v(x)\geq 0\}\cup \{0\}$ ${\ displaystyle A_ {v} = \ {x \ în K ^ {*} | v (x) \ geq 0 \} \ cup \ {0 \}}$ ${\ displaystyle A_ {v} = \ {x \ în K ^ {*} | v (x) \ geq 0 \} \ cup \ {0 \}}$ , numit inelul asociat cu v , este un inel de evaluare; invers, dat un inel de evaluare A cu un câmp de coeficienți K , dacă G este grupul de coeficient $K^{*}/U(A)$ ${\ displaystyle K ^ {*} / U (A)}$ ${\ displaystyle K ^ {*} / U (A)}$ (unde este $U(A)$ ${\ displaystyle U (A)}$ $U (A)$ sunt unitățile lui A ), atunci G poate fi ordonat total prin relație

xU(A)\geq yU(A)\iff xy^{-1}\in A.

{\ displaystyle xU (A) \ geq yU (A) \ if xy ^ {- 1} \ în A.}

{\ displaystyle xU (A) \ geq yU (A) \ if xy ^ {- 1} \ în A.}

Coeficientul canonic $v:K^{*}\longrightarrow G$ ${\ displaystyle v: K ^ {*} \ longrightarrow G}$ ${\ displaystyle v: K ^ {*} \ longrightarrow G}$ care trimite un element x în clasă $xU(A)$ ${\ displaystyle xU (A)}$ ${\ displaystyle xU (A)}$ în acest fel devine o evaluare, al cărui inel asociat este exact A.

Mai general, este posibil să se construiască, având în vedere orice grup G complet ordonat, un inel de evaluare A astfel încât $G\simeq K^{*}/U(A)$ ${\ displaystyle G \ simeq K ^ {*} / U (A)}$ ${\ displaystyle G \ simeq K ^ {*} / U (A)}$ : dacă F este un câmp, atunci considerăm un set de nedeterminate $\{X_{g}|g\in G\}$ ${\ displaystyle \ {X_ {g} | g \ în G \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {g} | g \ în G \}}$ iar terenul este luat în considerare $K=F(\{X_{g}\})$ ${\ displaystyle K = F (\ {X_ {g} \})}$ ${\ displaystyle K = F (\ {X_ {g} \})}$ ; aplicația care trimite fiecare polinom $\sum _{g\in G}f(g)X_{g}$ ${\ displaystyle \ sum _ {g \ în G} f (g) X_ {g}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {g \ în G} f (g) X_ {g}}$ în cele mai mici $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ ${\ displaystyle g \ în G}$ astfel încât $f(g)$ ${\ displaystyle f (g)}$ $f (g)$ este diferit de 0 este o evaluare pe K , la care este asociat un inel de evaluare A astfel încât coeficientul $K^{*}/U(A)$ ${\ displaystyle K ^ {*} / U (A)}$ ${\ displaystyle K ^ {*} / U (A)}$ este izomorf pentru G.

Proprietate

Din caracterizare prin ordonarea idealurilor este ușor să concluzionăm că dacă V este un inel de evaluare și P un ideal prim, atunci atât coeficientul V / P, cât și localizarea V _P sunt încă inele de evaluare.

Un inel de evaluare este un inel local ; în ceea ce privește evaluările, idealul său maxim este dat de x astfel încât $v(x)>0$ ${\ displaystyle v (x)> 0}$ ${\ displaystyle v (x)> 0}$ . Inelele de evaluare sunt închise integral , iar închiderea integrală a unui domeniu de integritate D este intersecția tuturor inelelor de evaluare dintre D și câmpul său coeficient. În special, inelele de evaluare sunt întotdeauna prezente între un domeniu de integritate și câmpul său de coeficient; mai mult, unele dintre acestea au o dimensiune egală cu cea a lui D.

Toate idealurile finit generate ale unui inel de evaluare A sunt principale și, prin urmare, un inel de evaluare este, în special, un domeniu Bézout ; dacă în plus este noetherian , A este un domeniu cu idealuri principale și, prin urmare, are dimensiunea 1. Astfel de inele se numesc inele de evaluare discrete și pot fi, de asemenea, caracterizate ca acele inele de evaluare a căror evaluare este evaluată pe inel $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi.

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
( EN ) Robert Gilmer, Multiplicative Ideal Theory , New York, Marcel Dekker Inc., 1972, ISBN 0-8247-1242-0 .

linkuri externe

( EN ) VI Danilov, Evaluare , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică