Ideal (matematică)

În matematică și mai precis în algebră , un ideal este un subset al unui inel închis în raport cu suma internă și produsul cu orice element al inelului.

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel cu operații $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ Și $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ . Un subset $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un ideal potrivit dacă:

$(I,+)$ ${\ displaystyle (I, +)}$ ${\ displaystyle (I, +)}$ este un subgrup de $(A,+)$ ${\ displaystyle (A, +)}$ $(A, +)$ ;
pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ elementul $i*a$ ${\ displaystyle i * a}$ ${\ displaystyle i * a}$ este întotdeauna în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ ;

și lăsat ideal dacă:

$(I,+)$ ${\ displaystyle (I, +)}$ ${\ displaystyle (I, +)}$ este un subgrup de $(A,+)$ ${\ displaystyle (A, +)}$ $(A, +)$ ;
pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ elementul $a*i$ ${\ displaystyle a * i}$ ${\ displaystyle a * i}$ este întotdeauna în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Un ideal care este și dreapta și stânga în același timp se numește ideal bilateral . În cazul particular în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel comutativ noțiunile date coincid și vorbim pur și simplu de ideal .

Pentru simplitate, oferim următoarele definiții numai într-un inel comutativ.

Un ideal $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal propriu dacă este un subset adecvat de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , adică nu coincide cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Un ideal propriu este un ideal maxim dacă nu este strict cuprins în niciun alt ideal propriu. Un ideal propriu este un ideal primar pentru fiecare element $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , cel puțin unul dintre cele două elemente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sau $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ aparține lui $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Dacă fiecare element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ poate fi scris ca

x=\sum _{k=1}^{n}a_{k}i_{k}

{\ displaystyle x = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} i_ {k}}

{\ displaystyle x = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} i_ {k}}

unde este $a_{k}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ este un element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $\{i_{k}:k=1,\dots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {i_ {k}: k = 1, \ dots, n \}}$ ${\ displaystyle \ {i_ {k}: k = 1, \ dots, n \}}$ este un subset finit fix de $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , să spunem asta $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este generat finit și va fi scris $I=(i_{1},\dots ,i_{n})$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$ ${\ displaystyle I = (i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$ . De sine $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este generat de un singur element, să spunem că este un ideal principal .

Istorie

Conceptul ideal a fost introdus de Ernst Kummer , pentru a generaliza teorema fundamentală aritmetică , care afirmă unicitatea descompunerii unui număr întreg în factori întâi . Această unicitate nu mai este valabilă dacă luăm în considerare extensiile numerelor întregi, cum ar fi inelul

\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]=\left\{m+n{\sqrt {-5}}\mid m,\,n\in \mathbb {Z} \right\}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right] = \ left \ {m + n {\ sqrt {-5}} \ mid m, \, n \ in \ mathbb { Z} \ dreapta \}}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right] = \ left \ {m + n {\ sqrt {-5}} \ mid m, \, n \ in \ mathbb { Z} \ dreapta \}}

.

De exemplu, numărul 6 are două numere prime posibile:

6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)

{\ displaystyle 6 = 2 \ times 3 = \ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right)}

{\ displaystyle 6 = 2 \ times 3 = \ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right)}

.

Primul ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , ${\frac {\left(1+{\sqrt {-5}}\right)}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right)} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right)} {\ sqrt {2}}}}$ Și ${\frac {\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right)} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right)} {\ sqrt {2}}}}$ , permit o singură descompunere a $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ , cu toate acestea nu aparțin $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ sqrt {-5}} \ right]}$ , chiar dacă fiecare dintre produsele lor vă aparține. Din această cauză, Kummer a numit aceste numere drept „idealuri prime”, demonstrând descompunerea unică a idealurilor în idealuri prime pentru multe extensii ale $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ . Idealurile erau deci definite ca seturile formate din produsele numerelor ideale; plecând de la această idee, Richard Dedekind a dat definiția actuală a idealului în 1871 .

Proprietate

Un ideal este exact dacă și numai dacă nu conține unitatea inelului. De fapt, toate numerele obținute prin înmulțirea oricărui element al lui A cu 1 aparțin idealului.
Mai general se pare că $u\in I\Rightarrow I\equiv A$ ${\ displaystyle u \ in I \ Rightarrow I \ equiv A}$ ${\ displaystyle u \ in I \ Rightarrow I \ equiv A}$ de sine $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este inversabil. De fapt dacă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este inversabil $u^{-1}\in A$ ${\ displaystyle u ^ {- 1} \ în A}$ ${\ displaystyle u ^ {- 1} \ în A}$ , apoi și $uu^{-1}=1\in I$ ${\ displaystyle uu ^ {- 1} = 1 \ în I}$ ${\ displaystyle uu ^ {- 1} = 1 \ în I}$ și ne întoarcem la cazul anterior.
Inelul coeficient $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ ${\ displaystyle A / I}$ este un domeniu al integrității dacă și numai dacă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal primar.
Inelul coeficient $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ ${\ displaystyle A / I}$ Este un câmp dacă nu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal maxim.
Idealurile joacă un rol similar cu cel al subgrupurilor normale din teoremele izomorfismului inelar.
Un ideal poate fi văzut ca un submodul al unui inel, iar multe teoreme ideale pot fi extinse la teoria modulelor.

Operații pe idealuri

Idealurile definite după cum urmează sunt definite ca sumă și produs al idealurilor:

I+J:=\{a+b\,|\,a\in I,b\in J\}

{\ displaystyle I + J: = \ {a + b \, | \, a \ in I, b \ in J \}}

{\ displaystyle I + J: = \ {a + b \, | \, a \ in I, b \ in J \}}

Și

IJ:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\,|\,a_{i}\in I,b_{i}\in J,i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ per }}n=1,2,\dots \},

{\ displaystyle IJ: = \ {a_ {1} b_ {1} + \ dots + a_ {n} b_ {n} \, | \, a_ {i} \ în I, b_ {i} \ în J, i = 1,2, \ dots, n; {\ mbox {for}} n = 1,2, \ dots \},}

{\ displaystyle IJ: = \ {a_ {1} b_ {1} + \ dots + a_ {n} b_ {n} \, | \, a_ {i} \ în I, b_ {i} \ în J, i = 1,2, \ dots, n; {\ mbox {for}} n = 1,2, \ dots \},}

Produsul idealurilor este conținut în intersecția lor, în timp ce unirea a două idealuri este conținută în suma lor.

Intersecția a două idealuri este încă un ideal, în timp ce unirea nu este întotdeauna.

O altă operațiune este radicalizarea unui ideal .

Exemple

Chiar și numerele întregi formează un ideal în ring $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ dintre toate numerele întregi.
În ring $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ dintre numerele întregi, fiecare ideal propriu este principal.
Ansamblul tuturor polinoamelor cu coeficienți reali divizibili la polinom $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ este un ideal în inelul tuturor polinoamelor.
Ansamblul matricilor pătrate cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rândurile care au ultima coloană nulă formează un ideal stâng în inelul tuturor matricilor pătrate cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dungi. Nu este un ideal potrivit!
Inelul $C(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}$ a tuturor funcțiilor continue din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ conține idealul tuturor funcțiilor continue $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât $f(1)=0$ ${\ displaystyle f (1) = 0}$ ${\ displaystyle f (1) = 0}$ .
$\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt ideale în orice inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este comutativ atunci $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu dacă și numai dacă acestea sunt singurele idealuri ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .