Primul asociat

În matematică și în special în algebra abstractă , un asociat principal al unui modul $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ pe un inel $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este un ideal ideal pentru $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ care este un anihilator al unui submodul (prim) al $M. .$ ${\ displaystyle M.}$ ${\ displaystyle M.}$ Mulțimea primilor asociați ai $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este indicat de obicei cu $\operatorname {Ass} _{R}(M),$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M),}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M),}$

În algebra comutativă , primii asociați sunt legați de descompunerea primară a idealurilor Lasker-Noether în inele noetheriene comutative. Mai exact, dată fiind descompunerea unui ideal $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ ca o intersecție finită a idealurilor primare , radicalii acestor idealuri primare sunt idealuri prime și acest set de idealuri prime coincide cu $\operatorname {Ass} _{R}(R/J).$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (R / J).}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (R / J).}$

Legate de conceptul de „primul asociat” sunt conceptele de primul bloc și primul scufundat .

Definiții

A $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ - formă non-nulă $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ se numește primul modul dacă $\mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (N) = \ mathrm {Ann} _ {R} (N ')}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (N) = \ mathrm {Ann} _ {R} (N ')}$ pentru fiecare submodul non-nul ${Nu.}^{'}$ ${\ displaystyle N '}$ $N '$ din $Nu. .$ ${\ displaystyle N.}$ ${\ displaystyle N.}$ Pentru un prim modul $Nu.,$ ${\ displaystyle N,}$ ${\ displaystyle N,}$ anihilatorul $\mathrm {Ann} _{R}(N)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (N)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (N)}$ este un ideal ideal pentru $R. .$ ${\ displaystyle R.}$ ${\ displaystyle R.}$

Un asociat principal al unui $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ -modul $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un ideal de formă $\mathrm {Ann} _{R}(N)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (N)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (N)}$ pentru un prim submodul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ din $M. .$ ${\ displaystyle M.}$ ${\ displaystyle M.}$ În algebra comutativă definiția obișnuită este diferită, dar echivalentă: dacă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este comutativ, un asociat principal $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un ideal primar de formă $\mathrm {Ann} _{R}(m)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (m)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} _ {R} (m)}$ pentru un element care nu este nul $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sau, echivalent, $R/P$ ${\ displaystyle R / P}$ ${\ displaystyle R / P}$ este izomorfă la un submodul al $M. .$ ${\ displaystyle M.}$ ${\ displaystyle M.}$

Într-un inel comutativ $R.,$ ${\ displaystyle R,}$ ${\ displaystyle R,}$ elementele minime ale $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M)}$ (în ceea ce privește relația de incluziune a mulțimilor) sunt numite prime izolate, iar celelalte prime asociate (adică cele care conțin în mod corespunzător o primă asociată) sunt numite prime imersate .

Un submodul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ se spune primar dacă pentru fiecare $r\in R$ ${\ displaystyle r \ în R}$ ${\ displaystyle r \ în R}$ Și $m\in M$ ${\ displaystyle m \ în M}$ ${\ displaystyle m \ în M}$ avem asta $m\notin N$ ${\ displaystyle m \ notin N}$ ${\ displaystyle m \ notin N}$ Și $rm\in N$ ${\ displaystyle rm \ in N}$ ${\ displaystyle rm \ in N}$ implică $r^{n}M\subset N$ ${\ displaystyle r ^ {n} M \ subset N}$ ${\ displaystyle r ^ {n} M \ subset N}$ pentru un număr întreg pozitiv $n .$ ${\ displaystyle n.}$ ${\ displaystyle n.}$ O singură formă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ se numește copărinte dacă submodulul este primar, adică dacă pentru un element care nu este nul $m\in M$ ${\ displaystyle m \ în M}$ ${\ displaystyle m \ în M}$ avem asta $rm=0$ ${\ displaystyle rm = 0}$ ${\ displaystyle rm = 0}$ implica $r^{n}M=0$ ${\ displaystyle r ^ {n} M = 0}$ ${\ displaystyle r ^ {n} M = 0}$ pentru un număr întreg pozitiv $n .$ ${\ displaystyle n.}$ ${\ displaystyle n.}$

O formă non-nulă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ generat finit pe un inel noetherian comutativ este co-părinte dacă și numai dacă are un singur prim asociat $P. .$ ${\ displaystyle P.}$ ${\ displaystyle P.}$

Un submodul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ si a zis $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ - primar dacă $\operatorname {Ass} _{R}(M/N)=\{P\}.$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M / N) = \ {P \}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M / N) = \ {P \}.}$ Un ideal $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ -primar dacă și numai dacă $\operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}.$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (R / I) = \ {P \}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (R / I) = \ {P \}.}$ Deci această noțiune este o generalizare a celei a idealului primar .

Exemple

De sine $R=\mathbb {C} [x,y,z,w],$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y, z, w],}$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y, z, w],}$ primele idealuri asociate ale $I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))$ ${\ displaystyle I = ((x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2}) \ cdot (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3 }))}$ ${\ displaystyle I = ((x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2}) \ cdot (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3 }))}$ sunt idealurile $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})$ ${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2})}$ ${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2})}$ Și $(z^{3}-w^{3}-3x^{3}).$ ${\ displaystyle (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3}).}$ ${\ displaystyle (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3}).}$
De sine $R=\mathbb {Z} ,$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle R = \ mathbb {Z},}$ atunci grupurile abeliene libere non-banale și grupurile abeliene non-banale ale unei puteri de ordin primar sunt co-marie.

Bibliografie

(EN) Hideyuki Matsumura, Algebra comutativă, 1970.
( EN ) David Eisenbud, Algebra comutativă , Texte absolvite în matematică , vol. 150, Berlin, New York, Springer-Verlag , 1995, ISBN 978-0-387-94268-1 , MR 1322960 .
( EN ) Tsit-Yuen Lam, Prelegeri pe module și inele , Texte absolvite în matematică , vol. 189, Berlin, New York, Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294 .
( FR ) Bourbaki, Algèbre comutativ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică