Inel Cohen-Macaulay

În matematică , în special în algebra comutativă , un inel Cohen-Macaulay este un inel noetherian comutativ unitar astfel încât, pentru orice ideal maxim $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , adâncimea și dimensiunea Krull a locației $A_{M}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ sunt egali. Clasa de inele Cohen-Macaulay conține în ea toate inelele obișnuite și inelele Gorenstein .

Ele poartă numele lui Francis Sowerby Macaulay și Irving Cohen , care au dovedit teorema amestecului pentru inelele polinomiale (Macaulay, 1916) și respectiv inelele de serie formale (Cohen, 1946).

Definiții echivalente

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel noetherian comutativ unitar. $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Cohen-Macaulay dacă dimensiunea sa Krull coincide cu adâncimea sa, adică dacă există o secvență regulată de lungime egală cu dimensiunea Krull a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Acest lucru este echivalent cu necesitatea ca adâncimea fiecărui ideal de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ coincide cu înălțimea sa. Omologic , acest lucru este echivalent cu a cere acest lucru $\mathrm {Ext} _{A}^{i}(K,A)=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ext} _ {A} ^ {i} (K, A) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ext} _ {A} ^ {i} (K, A) = 0}$ pentru $i<\dim(A)$ ${\ displaystyle i <\ dim (A)}$ ${\ displaystyle i <\ dim (A)}$ , unde este $\mathrm {Ext}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ext}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ext}}$ indică funcția Ext e $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul rezidual al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atunci nu este local $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune despre Cohen-Macaulay dacă $A_{M}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ este un inel Cohen-Macaulay sau echivalent dacă $h(I)=\mathrm {depth} (I)$ ${\ displaystyle h (I) = \ mathrm {depth} (I)}$ ${\ displaystyle h (I) = \ mathrm {depth} (I)}$ pentru fiecare ideal $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Exemple

Toate inelele Noetherian de dimensiunea 0 (adică inelele Artinian ) sunt de la Cohen-Macaulay (deoarece adâncimea este un număr între 0 și dimensiunea inelului). Deja în mărimea 1 există inele care nu sunt de la Cohen-Macaulay: un exemplu este inelul $K[[x,y]]/(x^{2},xy)$ ${\ displaystyle K [[x, y]] / (x ^ {2}, xy)}$ ${\ displaystyle K [[x, y]] / (x ^ {2}, xy)}$ , care are dimensiunea 1 și adâncimea 0.

Toate domeniile de integritate Noetherian de înălțime 1 sunt Cohen-Macaulay, precum și domeniile de integritate închise integral ale dimensiunii 2. Chiar și aceste rezultate nu pot fi extinse în dimensiunea superioară: de fapt, există domenii de integritate ale dimensiunii 2 și domenii de dimensiune închise integral 3 care nu sunt Cohen-Macaulay.

Toate inelele obișnuite sunt inele Cohen-Macaulay.

Toate inelele Gorenstein sunt inele Cohen-Macaulay.

Proprietate

Fiecare locație a unui inel Cohen-Macaulay este încă Cohen-Macaulay; cu toate acestea, proprietatea de a fi Cohen-Macaulay nu este respectată de trecerea la coeficient . Dacă totuși $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este din Cohen-Macaulay și $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ atunci este un ideal generat de o succesiune regulată $A/I$ ${\ displaystyle A / I}$ $LA$ este încă de la Cohen-Macaulay.

Un inel noetherian $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Cohen-Macaulay dacă și numai dacă inelul polinomial este $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ , sau dacă este inelul seriei formale $A[[X]]$ ${\ displaystyle A [[X]]}$ ${\ displaystyle A [[X]]}$ .

De asemenea, o buclă locală este de la Cohen-Macaulay dacă și numai dacă este completată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ -adico.

O altă condiție echivalentă cu a fi un inel Cohen-Macaulay este dată de teorema nemiscării , care afirmă că $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este al lui Cohen-Macaulay dacă și numai dacă, pentru fiecare ideal $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ generat de $h(I)$ ${\ displaystyle h (I)}$ ${\ displaystyle h (I)}$ elemente, toți asociații principali ai $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ au aceeasi inaltime.

O proprietate importantă a inelelor Cohen-Macaulay este că dacă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un ideal ideal pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , atunci toate lanțurile descendente saturate cu idealuri prime au aceeași cardinalitate. Mai exact, acest lucru arată că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este local și din Cohen-Macaulay atunci $\dim(A_{P})+\dim(A/P)=\dim(A)$ ${\ displaystyle \ dim (A_ {P}) + \ dim (A / P) = \ dim (A)}$ ${\ displaystyle \ dim (A_ {P}) + \ dim (A / P) = \ dim (A)}$ pentru fiecare ideal prim $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , sau asta $h(P)+\dim(A/P)=\dim(A)$ ${\ displaystyle h (P) + \ dim (A / P) = \ dim (A)}$ ${\ displaystyle h (P) + \ dim (A / P) = \ dim (A)}$ pentru fiecare primă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Bibliografie

( EN ) Winfried Bruns și Jürgen Herzog, inele Cohen-Macaulay , Cambridge University Press, 1993, ISBN 978-0-521-41068-7 , MR 1251956 .
( EN ) Irving Cohen , Despre structura și teoria ideală a inelelor locale complete , în Transactions of the American Mathematical Society , vol. 59, 1946, pp. 54-106, ISSN 0002-9947, MR 0016094 .
( EN ) David Eisenbud , Algebra comutativă cu o perspectivă spre geometria algebrică , Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
Irving Kaplansky , Inele comutative , The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 .
( EN ) Francis Sowerby Macaulay , The algebraic theory of modular systems , Cambridge Univ. Press, 1916, ISBN 1-4297-0441-1 .
(EN) Hideyuki Matsumura , Commutative Ring Theory, traducere M. Reid, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Danilov, Cohen - Macaulay ring , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică