Buclă locală

În matematică , în special în algebră , un inel local este un inel cu un singur ideal maxim (dreapta sau stânga).

Inelele locale sunt dotate cu caracteristici particulare, utile pentru descrierea comportamentului local al funcțiilor definite pe varietăți algebrice . Conceptul de inel local a fost introdus de Wolfgang Krull în 1938 sub numele de Stellenringe ^[1] . Termenul englezesc local ring (de aici și cel italian) se datorează lui Zariski ^[2] .

Definiție

Un inel $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ se numește inel local dacă are una dintre următoarele proprietăți echivalente una cu cealaltă:

$R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ are un singur ideal maxim drept sau stâng;
$1\neq 0$ ${\ displaystyle 1 \ neq 0}$ ${\ displaystyle 1 \ neq 0}$ , Iar suma a două non - inversabilă elemente nu este inversabilă;
$1\neq 0$ ${\ displaystyle 1 \ neq 0}$ ${\ displaystyle 1 \ neq 0}$ , și a dat un element $x\in R$ ${\ displaystyle x \ în R}$ ${\ displaystyle x \ în R}$ , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este inversabil sau $1-x$ ${\ displaystyle 1-x}$ ${\ displaystyle 1-x}$ este inversabil;
dacă o sumă finită a elementelor inelului este inversabilă, atunci cel puțin unul din addende este inversabil;
nu există două idealuri sinistre $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ Și $I_{2}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ $I_2$ acoperă-mă, adică așa încât $R=I_{1}+I_{2}$ ${\ displaystyle R = I_ {1} + I_ {2}}$ ${\ displaystyle R = I_ {1} + I_ {2}}$ .

Unii autori cer, de asemenea, ca inelul să fie noetherian , numind inele care posedă proprietățile de mai sus aproape locale .

Proprietate

Următoarele proprietăți se aplică unei bucle locale:

într-un inel local, idealul maxim drept coincide cu cel stâng;
elementele neinversibile formează un ideal propriu;
toate câmpurile sunt inele locale, în acest sens $\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ este singurul lor ideal și este evident maxim.

Funcția germeni inel

Luați în considerare setul de funcții reale continue la valorile reale definite pe o în jurul valorii de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ di și următoarea relație :

f\sim g\Leftrightarrow \exists \,U:\,\forall x\in U,\,f(x)=g(x).

{\ displaystyle f \ sim g \ Leftrightarrow \ există \, U: \, \ forall x \ în U, \, f (x) = g (x).}

{\ displaystyle f \ sim g \ Leftrightarrow \ există \, U: \, \ forall x \ în U, \, f (x) = g (x).}

Relația de mai sus este una de echivalență ; clasele de echivalență se numesc germeni ai funcțiilor în. Este posibil să se definească în mod natural o adunare și o multiplicare între germeni, pentru a forma un inel comutativ :

{\begin{matrix}[f]+[g]&=&[f+g],\\\left[f\right][g]&=&[fg],\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} [f] + [g] & = & [f + g], \\\ left [f \ right] [g] & = & [fg], \ end {matrix}} }

{\ displaystyle {\ begin {matrix} [f] + [g] & = & [f + g], \\\ left [f \ right] [g] & = & [fg], \ end {matrix}} }

unde este $[f]$ ${\ displaystyle [f]}$ ${\ displaystyle [f]}$ este germenul căruia îi aparține funcția $f .$ ${\ displaystyle f.}$ ${\ displaystyle f.}$

Elementele inversabile ale inelului sunt germeni $[f]$ ${\ displaystyle [f]}$ ${\ displaystyle [f]}$ ai căror reprezentanți sunt funcții care nu sunt nule în origine: $f(x)\neq 0$ ${\ displaystyle f (x) \ neq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ neq 0}$ ; suma a doi germeni neinversibili nu este inversabilă, de aceea inelul astfel obținut este local și idealul său maxim este constituit de germenii cu funcții nule din origine.

Cu această construcție este posibil să se identifice două funcții care coincid pe orice cartier deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ de zero: inelul format de germenii funcțiilor conține informații despre comportamentul local al funcțiilor, de unde și termenul local de identificare a acestui tip de inele.

Acest argument poate fi extins la numeroase alte structuri matematice, cum ar fi:

funcții reale continue pe orice spațiu topologic ;
funcții diferențiate pe o varietate diferențiată ;
funcții raționale pe o varietate algebrică.

În special, este posibil să se extindă conceptul de varietate algebrică prin conceptul de schemă , adică al unui spațiu cu o structură particulară a inelelor locale.

Alte exemple de inele locale

inelul numerelor raționale cu numitori impari este local; idealul său maxim este format din fracții cu numărător par și numitor impar;
inelul seriei formale de putere pe un câmp este local; idealul său maxim este format din seria de putere fără un termen cunoscut;
dat un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $n\in \mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ , inelul coeficient $F[X]/(X^{n})$ ${\ displaystyle F [X] / (X ^ {n})}$ ${\ displaystyle F [X] / (X ^ {n})}$ este local; idealul său maxim este format din polinoame fără termen cunoscut.

Inele locale comutative

Spus $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ singurul ideal maxim al buclei locale $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , inelul local în sine este de obicei scris ca $(R,m)$ ${\ displaystyle (R, m)}$ ${\ displaystyle (R, m)}$ . Este posibil să se echipeze bucla locală cu o topologie numită topologie $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -adica , care are ca bază împrejurimile puterilor idealului $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . Campul $R/m$ ${\ displaystyle R / m}$ ${\ displaystyle R / m}$ se numește câmp rezidual al $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Homomorfisme ale inelelor locale

Având două inele locale $(R,m)$ ${\ displaystyle (R, m)}$ ${\ displaystyle (R, m)}$ Și $(S,n)$ ${\ displaystyle (S, n)}$ ${\ displaystyle (S, n)}$ , un homomorfism al inelelor locale este un homomorfism al inelelor $f:R\to S$ ${\ displaystyle f: R \ to S}$ ${\ displaystyle f: R \ to S}$ pentru care $f(m)\subseteq n$ ${\ displaystyle f (m) \ subseteq n}$ ${\ displaystyle f (m) \ subseteq n}$ , adică pentru care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este continuă conform topologiilor descrise mai sus.

Notă

^ ( DE ) Wolfgang Krull , Dimensionstheorie in Stellenringen , în J. Reine Angew. Matematica. , vol. 179, 1938, p. 204.
^ Oscar Zariski , Fundamentele unei teorii generale a corespondențelor birationale , în Trans. Amer. Matematica. Soc. , Vol. 53, nr. 3, American Mathematical Society, mai 1943, pp. 490-542 [497], DOI : 10.2307 / 1990215 , JSTOR 1990215 .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Rowland, Todd și Weisstein, Eric W. „Inel local” din MathWorld - A Wolfram Web Resource on mathworld.wolfram.com.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Krull-1] ( DE ) Wolfgang Krull , Dimensionstheorie in Stellenringen , în J. Reine Angew. Matematica. , vol. 179, 1938, p. 204.

[Zariski-2] Oscar Zariski , Fundamentele unei teorii generale a corespondențelor birationale , în Trans. Amer. Matematica. Soc. , Vol. 53, nr. 3, American Mathematical Society, mai 1943, pp. 490-542 [497], DOI : 10.2307 / 1990215 , JSTOR 1990215 .

[1]

[2]