Seria formală de puteri

În matematică , seriile formale de putere sunt entități care fac posibilă reformularea unei mari părți a rezultatelor privind seriile de putere obținute în analiza matematică în domenii formale care nu pun întrebări de „ convergență ”. Ele sunt utile, în special în combinație , pentru a furniza reprezentări compacte ale secvențelor numerelor și funcțiilor și formule pentru a fi închise la secvențele definite printr-un algoritm recursiv ; acest mod de operare se numește metoda de generare a funcțiilor .

Introducere informală

O serie formală de puteri poate fi definită în termeni informali ca un „ polinom cu o infinitate de termeni numărabilă”. Pentru cei care sunt deja familiarizați cu seriile de putere (sau seria Taylor ), pe de altă parte, studiul seriilor formale de putere poate fi văzut ca un studiu al seriilor de putere în care toate problemele de convergență sunt neglijate. Să luăm în considerare, de exemplu, seria:

A=1-3x+5x^{2}-7x^{3}+9x^{4}-11x^{5}+\cdots

{\ displaystyle A = 1-3x + 5x ^ {2} -7x ^ {3} + 9x ^ {4} -11x ^ {5} + \ cdots}

A = 1-3x + 5x ^ {2} -7x ^ {3} + 9x ^ {4} -11x ^ {5} + \ cdots

Dacă îl considerăm ca o serie comună de puteri îi putem studia proprietățile, cum ar fi, de exemplu, faptul că raza sa de convergență este 1. Dacă în schimb este văzută ca o serie formală de puteri, acest fapt este complet ignorat; doar secvența coeficienților săi este relevantă

\langle 1,-3,5,-7,9,-11,...\rangle

{\ displaystyle \ langle 1, -3,5, -7,9, -11, ... \ rangle}

\ langle 1, -3,5, -7,9, -11, ... \ rangle

.

O serie formală de puteri ar putea fi considerată o entitate care înregistrează o succesiune de coeficienți.

Prin renunțarea la problemele de convergență (și prin consecința posibilității de identificare a valorilor numerice), se dobândește posibilitatea de a defini o gamă largă de operații pe seria formală de putere care conduc la mecanisme constructive care sunt adesea foarte avantajoase. O primă gamă de operații este ușor preluată de algebra polinoamelor. De exemplu, dacă:

B=2x+4x^{3}+6x^{5}+\cdots ,

{\ displaystyle B = 2x + 4x ^ {3} + 6x ^ {5} + \ cdots,}

B = 2x + 4x ^ {3} + 6x ^ {5} + \ cdots,

putem adăuga A și B termen cu termen:

A+B=1-x+5x^{2}-3x^{3}+9x^{4}-5x^{5}+\cdots

{\ displaystyle A + B = 1-x + 5x ^ {2} -3x ^ {3} + 9x ^ {4} -5x ^ {5} + \ cdots}

A + B = 1-x + 5x ^ {2} -3x ^ {3} + 9x ^ {4} -5x ^ {5} + \ cdots

.

Seria formală de putere poate fi, de asemenea, multiplicată ca și cum ar fi polinoame:

A\cdot B=2x-6x^{2}+14x^{3}-26x^{4}+44x^{5}+\cdots

{\ displaystyle A \ cdot B = 2x-6x ^ {2} + 14x ^ {3} -26x ^ ​​{4} + 44x ^ {5} + \ cdots}

A \ cdot B = 2x-6x ^ {2} + 14x ^ {3} -26x ^ ​​{4} + 44x ^ {5} + \ cdots

.

Rețineți că fiecare coeficient al produsului A · B depinde doar de un număr finit de coeficienți ai lui A și B; de exemplu, termenul din x ⁵ este dat de:

44x^{5}=(1\times 6x^{5})+(5x^{2}\times 4x^{3})+(9x^{4}\times 2x).

{\ displaystyle 44x ^ {5} = (1 \ times 6x ^ {5}) + (5x ^ {2} \ times 4x ^ {3}) + (9x ^ {4} \ times 2x).}

44x ^ {5} = (1 \ times 6x ^ {5}) + (5x ^ {2} \ times 4x ^ {3}) + (9x ^ {4} \ times 2x).

Finitudinea sumei care dă coeficienții unei serii de produse face legală multiplicarea seriei formale de putere fără preocupările de convergență absolută , condiționată și uniformă care nu pot fi ignorate în studiul seriilor de putere în contextul analizei matematice .

Diverse alte operații care pot fi preluate din algebra polinoamelor sunt prezentate mai jos. Operațiuni mai puțin obișnuite apar în articole mai specifice.

Setare formală

Două definiții ale inelului seriei formale de putere

Să considerăm un inel comutativ R ; propunem să definim inelul seriei formale de putere pe R în variabila X , notată cu R [[ X ]]; elementele acestui inel ar trebui gândite ca o serie de puteri ai cărei coeficienți sunt elemente ale lui R.

Poate cea mai eficientă din definiția R [[X]] se consideră ca finalizarea inelului polinoamelor R [X] în raport cu gruparea determinată topologie I-adice a idealului I R [X] generat de X. Acesta constă dintr-un inel topologic complet care conține R [ X ] ca subspatiu dens . Această construcție determină simultan structura inelară și structura topologică.

Cu toate acestea, este posibil să se descrie R [[ X ]] mai explicit și fără a recurge la noțiuni algebrice complexe prin definirea separată a structurii inelare și a structurii topologice.

Structura inelului

Pornim de la setul R ^N al tuturor secvențelor infinite din R. Pentru două dintre aceste secvențe definim adăugarea ca

\left(a_{n}\right)+\left(b_{n}\right):=\left(a_{n}+b_{n}\right)

{\ displaystyle \ left (a_ {n} \ right) + \ left (b_ {n} \ right): = \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right)}

\ left (a_ {n} \ right) + \ left (b_ {n} \ right): = \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right)

și multiplicarea ca

\left(a_{n}\right)\times \left(b_{n}\right):=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right).

{\ displaystyle \ left (a_ {n} \ right) \ times \ left (b_ {n} \ right): = \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk} \ dreapta).}

\ left (a_ {n} \ right) \ times \ left (b_ {n} \ right): = \ left (\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} a_ {k} b _ {{nk }} \ dreapta).

Acest tip de produs se numește produsul Cauchy al celor două secvențe de coeficienți; această compoziție constituie un fel de convoluție discretă. Cu aceste operații, R ^N devine un inel comutativ al cărui element zero este (0, 0, 0, ...) și a cărui identitate multiplicativă este (1, 0, 0, ...).

Dacă identificăm element a lui R cu secvența (a, 0, 0, ...) și scriere X: = (0, 1, 0, 0, ...), apoi din definițiile anterioare de adăugare și multiplicare rezultă că orice succesiune care are doar un număr finit de componente diferite de zero poate fi scrisă ca o sumă finită

\langle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{N},0,0,\ldots \rangle =a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{N}X^{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}X^{n}.

{\ displaystyle \ langle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {N}, 0,0, \ ldots \ rangle = a_ {0} + a_ {1} X + \ cdots + a_ {N} X ^ {N} = \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} X ^ {n}.}

\ langle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {N}, 0,0, \ ldots \ rangle = a_ {0} + a_ {1} X + \ cdots + a_ { N} X ^ {N} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {N} a_ {n} X ^ {n}.

Structura topologică

Este potrivit să încercați să extindeți formula anterioară la una validă pentru secvențe arbitrare în R ^N , adică să vă asigurați că o egalitate a formei este valabilă

\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\qquad (1)

{\ displaystyle \ langle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ { n} \ qquad (1)}

\ langle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots \ rangle = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n } \ qquad (1)

.

Pentru a înțelege suma infinită a celui de-al doilea membru, este necesară o noțiune de convergență în R ^N , care necesită introducerea unei topologii pe R ^N. O topologie adecvată poate fi realizată în mai multe moduri echivalente.

R ^{N poate fi furnizat} cu topologia produsului obținută prin atribuirea topologiei discrete fiecărei copii a lui R.
Puteți introduce o valoare metrică , adică o funcție de distanță. Pentru cele două secvențe ( a _n ) și ( b _n ) din R ^N , este definit

d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},

{\ displaystyle d ((a_ {n}), (b_ {n})) = 2 ^ {- k},}

d ((a_ {n}), (b_ {n})) = 2 ^ {{- k}},

unde k este cel mai mic număr natural astfel încât a _k ≠ b _k ; dacă un astfel de k nu există, atunci cele două secvențe coincid și zero se presupune ca distanța lor.

Putem da lui R ^N topologia I-adică , unde I = ( X ) este idealul generat de X , care constă din toate secvențele al căror prim termen la ₀ este zero.

Toate aceste definiții ale topologiei conduc la afirmarea faptului că două secvențe ( a _n ) și ( b _n ) sunt „apropiate” dacă primii lor termeni coincid; cu cât termenii coincid, cu atât sunt mai apropiați.

În acest moment putem atribui un sens ecuației (1); sumele parțiale ale seriei converg în mod clar către succesiunea la primul membru: de fapt, fiecare rearanjare a seriei converge la aceeași limită .

Se poate verifica că această structură topologică, împreună cu operațiile inelului descrise mai sus, formează un inel topologic . Se numește inelul seriei formale de putere pe R și este în mod tradițional notat cu R [[ X ]].

Proprietate universală

Inelul R [[ X ]] poate fi caracterizat prin următoarea proprietate universală . Dacă S este o algebră comutativă asociativă pe R și dacă I este un ideal al lui S astfel încât topologia I -adică pe S este completă, notată cu x un element al lui I , atunci există un unique unic : R [[ X ]] → S care are următoarele proprietăți:

Φ este un omomorfism al R -algebrelor
Φ este continuu
Φ ( X ) = x .

Operații pe serii formale de putere

Inversia seriei

Serialul

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}

\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}

în R [[ X ]] este inversabil în R [[ X ]] dacă și numai dacă coeficientul său constant la ₀ este inversabil în R. Un caz special important este cel al formulei pentru seria geometrică , valabilă în R [[ X ]]:

\left(1-X\right)^{-1}=\sum _{n\geq 0}X^{n}

{\ displaystyle \ left (1-X \ right) ^ {- 1} = \ sum _ {n \ geq 0} X ^ {n}}

\ left (1-X \ right) ^ {{- 1}} = \ sum _ {{n \ geq 0}} X ^ {n}

.

Compoziția seriei

Având în vedere seria formală de putere

f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots

{\ displaystyle f (X) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} = a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots}

f (X) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} = a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots

si

g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots

{\ displaystyle g (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n} = b_ {0} + b_ {1} X + b_ {2} X ^ {2 } + \ cdots}

g (X) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n} = b_ {0} + b_ {1} X + b_ {2} X ^ {2} + \ cdots

,

este definit ca fiind compoziția lor

g(f(X)):=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}f(X)^{n}=:\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}

{\ displaystyle g (f (X)): = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} f (X) ^ {n} =: \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} X ^ {n}}

g (f (X)): = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} b_ {n} f (X) ^ {n} =: \ sum _ {{n = 0}} ^ { \ infty} c_ {n} X ^ {n}

;

coeficienții c _n sunt determinați prin „dezvoltarea” puterilor lui f ( X ). O prezentare mai explicită a acestor coeficienți este furnizată de formula Faà di Bruno .

Trebuie subliniat faptul că operațiunea este bine definită numai atunci când f ( X ) este „fără un termen constant”, o condiție pentru ca seria pentru g ( f ( X )) să convergă în topologia lui R [[ X ]], sau o condiție pentru fiecare c _n depinde doar de un număr finit de coeficienți ai lui f ( X ) și g ( X ).

Exemplu

Seria formală de puteri este notată cu exp ( X )

\exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots

{\ displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ frac {X ^ {3}} {3!}} + {\ frac {X ^ {4}} {4!}} + \ Cdots}

{\ displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ frac {X ^ {3}} {3!}} + {\ frac {X ^ {4}} {4!}} + \ Cdots}

;

expresia

\exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots

{\ displaystyle \ exp (\ exp (X) -1) = 1 + X + X ^ {2} + {\ frac {5X ^ {3}} {6}} + {\ frac {5X ^ {4}} {8}} + \ cdots}

\ exp (\ exp (X) -1) = 1 + X + X ^ {2} + {\ frac {5X ^ {3}} 6} + {\ frac {5X ^ {4}} 8} + \ cdots

poate fi considerat în mod legal ca o serie formală de puteri. Trebuie menționat, totuși, că o afirmație precum

\exp(\exp(X))=e\exp(\exp(X)-1)=e+eX+eX^{2}+{\frac {5eX^{3}}{6}}+\cdots

{\ displaystyle \ exp (\ exp (X)) = e \ exp (\ exp (X) -1) = e + eX + eX ^ {2} + {\ frac {5eX ^ {3}} {6}} + \ cdots}

\ exp (\ exp (X)) = e \ exp (\ exp (X) -1) = e + eX + eX ^ {2} + {\ frac {5eX ^ {3}} 6} + \ cdots

ca expresie a unei proprietăți a compoziției seriilor formale de putere, trebuie evitată. De fapt, aduce confuzie între noțiunile de convergență în R [[ X ]] și convergență în R ; de fapt, unele inele R nu ar putea conține niciun număr și care se bucură de proprietățile numărului real definibile cu o limită a unor secvențe în conformitate cu metrica obișnuită a numerelor reale (a se vedea e (constanta matematică) ).

Diferențierea formală a seriei

Având în vedere o serie formală de puteri

f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}

{\ displaystyle f = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n}}

f = \ sum _ {{n \ geq 0}} a_ {n} X ^ {n}

în R [[ X ]], este definit ca derivatul său formal

Df:=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}

{\ displaystyle Df: = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} nX ^ {n-1}}

Df: = \ sum _ {{n \ geq 1}} a_ {n} nX ^ {{n-1}}

.

Transformarea D se numește operator de diferențiere formală . Motivul acestei definiții este că extinde pur și simplu diferențierea de la un termen la altul a unui polinom.

Această operație este R - liniară :

D(af+bg)=aDf+bDg\,\!

{\ displaystyle D (af + bg) = aDf + bDg \, \!}

D (af + bg) = aDf + bDg \, \!

pentru fiecare a , b în R și fiecare f , g în R [[ X ]]. Mai mult, derivata formală posedă multe dintre proprietățile derivatei obișnuite de calcul. De exemplu, se aplică regula produsului

D(fg)=f(Dg)+(Df)g;\,\!

{\ displaystyle D (fg) = f (Dg) + (Df) g; \, \!}

D (fg) = f (Dg) + (Df) g; \, \!

și regula de diferențiere a funcției compuse

D(f(u))=(Df)(u)Du,\,\!

{\ displaystyle D (f (u)) = (Df) (u) Du, \, \!}

D (f (u)) = (Df) (u) Du, \, \!

,

pentru toate perechile de funcții care îndeplinesc condițiile pentru compoziția seriei lor (a se vedea mai sus Compoziția seriei ).

Dintr-un anumit punct de vedere, toate seriile formale de putere sunt seriile Taylor . De fapt, pentru f definit mai sus găsim că

(D^{k}f)(0)=k!a_{k},\,\!

{\ displaystyle (D ^ {k} f) (0) = k! a_ {k}, \, \!}

(D ^ {k} f) (0) = k! A_ {k}, \, \!

unde D ^k denotă derivata k-a formală, adică rezultatul diferențierii formale de k ori.

Proprietățile algebrice ale inelului de serii formale de putere

R [[ X ]] este o algebră asociativă deasupra inelului R care conține inelul R [ X ] al polinoamelor de pe R ; polinoamele corespund secvențelor cu un număr finit de componente altul decât zero.

Radicalul Jacobson al lui R [[ X ]] este idealul generat de X și radicalul Jacobson al lui R ; acest fapt este o consecință a criteriului de inversibilitate a unui element discutat mai sus.

Idealurile maxime ale lui R [[ X ]] se obțin toate pornind de la cel din R în felul următor: un ideal M al lui R [[ X ]] este maxim dacă și numai dacă M ∩ R este un ideal maxim al lui R și M este generat ca ideal de către X și M ∩ R.

Există multe proprietăți algebrice ale lui R care pot fi moștenite de la R [[ X ]]:

dacă R este un inel local , atunci R [[ X ]] este, de asemenea, local,
dacă R este noetherian , atunci și R [[ X ]] este, de asemenea; aceasta este o particularizare a teoremei bazei lui Hilbert ;
dacă R este un domeniu de integritate , atunci la fel este și R [[ X ]].

Dacă R = K este un câmp , atunci K [[ X ]] are multe proprietăți suplimentare.

K [[ X ]] este un inel de evaluare discret .
K [[ X ]] este un singur domeniu de factorizare .

Proprietățile topologice ale inelului seriilor formale de putere

Spațiul metric $(RX,\ d)$ ${\ displaystyle (RX, \ d)}$ $(RX, \ d)$ este completă .

Inelul $RX\ \ \$ ${\ displaystyle RX \ \ \}$ $RX \ \ \$ este compact dacă și numai dacă $R\ \ \$ ${\ displaystyle R \ \ \}$ $R \ \ \$ s-a terminat. Acest lucru rezultă din teorema lui Tychonoff și caracterizarea topologiei pe $RX\ \ \ \ \$ ${\ displaystyle RX \ \ \ \ \}$ $RX \ \ \ \ \$ ca topologie de produs.

Aplicații

Seriile formale de putere pot fi utilizate pentru a rezolva multe dintre ecuațiile de recurență întâlnite în teoria numerelor și combinatorică. Pentru exemplul căutării unei expresii în formă închisă pentru numere în secvența Fibonacci , consultați intrarea de pe funcția generatoare .

Seria formală de putere face posibilă demonstrarea numeroaselor relații familiare de analiză matematică într-un mod pur algebric. Luați în considerare, de exemplu, următoarele elemente ale Q [[ X ]]:

\sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}

{\ displaystyle \ sin (X): = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} X ^ {2n + 1}}

\ sin (X): = \ sum _ {{n \ geq 0}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} X ^ {{2n + 1}}

\cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}

{\ displaystyle \ cos (X): = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n}}

\ cos (X): = \ sum _ {{n \ geq 0}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {{2n}}

Pornind de la aceste serii formale se poate demonstra direct că

\sin ^{2}+\cos ^{2}=1

{\ displaystyle \ sin ^ {2} + \ cos ^ {2} = 1}

\ sin ^ {2} + \ cos ^ {2} = 1

Și

D\sin =\cos

{\ displaystyle D \ sin = \ cos}

D \ sin = \ cos

,

în timp ce în inelul Q [[ X , Y ]] se dovedește că

\sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y)

{\ displaystyle \ sin (X + Y) = \ sin (X) \ cos (Y) + \ cos (X) \ sin (Y)}

\ sin (X + Y) = \ sin (X) \ cos (Y) + \ cos (X) \ sin (Y)

.

În algebră, inelul K [[ X ₁ , ..., X _r ]] (unde K reprezintă orice câmp) este adesea folosit ca inelul local complet pe „standard și mai general” K.

Funcții din seria formală de putere

În analiza matematică , fiecare serie de puteri convergente definește o funcție cu valori în câmpul numerelor reale sau numerelor complexe . Chiar și seria formală de puteri poate fi interpretată ca funcții, dar trebuie să fim prudenți în a le arăta domeniul și codomaniul . Dacă f = ∑ a _n X ⁿ este un element al lui R [[ X ]], S este o algebră comutativă asociativă pe R , I este un ideal în S astfel încât topologia I-adică pe S este completă și x este un element de I , atunci se poate defini

f(x):=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}

{\ displaystyle f (x): = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} x ^ {n}}

f (x): = \ sum _ {{n \ geq 0}} a_ {n} x ^ {n}

,

noua serie fiind cu siguranță convergentă în S , datorită cererilor pentru x . De asemenea avem

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

{\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Și

(fg)(x)=f(x)g(x)

{\ displaystyle (fg) (x) = f (x) g (x)}

(fg) (x) = f (x) g (x)

În timp ce pentru funcțiile tradiționale aceste egalități sunt definiții ale funcțiilor cu membrii întâi, pentru serii sunt egalități care pot fi dovedite.

Deoarece topologia lui R [[ X ]] este topologia ( X ) -adică și R [[ X ]] este completă, este posibil, în special, să aplicăm seria de putere la alte serii de puteri, având în vedere că fiecare argument al seriei are coeficient constant zero: f (0), f ( X ² - X ) și f ((1- X ) ⁻¹ - 1) sunt bine definite pentru orice serie de puteri formale f ∈ R [[ X ]].

Cu acest formalism putem da o formulă explicită pentru inversul multiplicativ al unei serii de putere f al cărui coeficient constant a = f (0) este inversabil în R :

f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}

{\ displaystyle f ^ {- 1} = \ sum _ {n \ geq 0} a ^ {- n-1} (af) ^ {n}}

f ^ {{- 1}} = \ sum _ {{n \ geq 0}} a ^ {{- n-1}} (a-f) ^ {n}

.

Dacă seria formală de putere g cu g (0) = 0 este implicit dată de ecuație

f(g)=X

{\ displaystyle f (g) = X}

f (g) = X

,

unde f este o serie de puteri formale cunoscută cu f (0) = 0, atunci coeficienții lui g pot fi calculați în mod explicit prin teorema de inversiune a lui Lagrange .

Generalizări

Au fost identificate diverse generalizări ale seriei formale de puteri „normale” discutate mai sus, care se dovedesc a fi instrumente utile pentru aranjarea și generalizarea rezultatelor găsite în căutări specifice și fragmentare, în special cu privire la funcții speciale și formule de recurență.

O primă generalizare se referă la seria formală de puteri în mai multe variabile ; sunt o extensie naturală a celor de pe o singură variabilă.

Putem considera apoi inele de serii formale de puteri date nu neapărat de numere întregi naturale, ci doar corespunzătoare seturilor de numere întregi cu limită inferioară sau seturilor de numere întregi cu limită superioară. De fapt, pentru două dintre aceste serii este încă posibil să se definească un produs Cauchy prin intermediul circumvoluțiilor discrete. Printre aceste serii amintim pe cele ale lui Laurent. În cele din urmă, introducem o generalizare privind indicii care rulează în grupuri abeliene ordonate generic.

Seria formală Laurent

Dacă R = K este un câmp , atunci K [[ X ]] este un domeniu de integritate și, prin urmare, câmpul său coeficient poate fi luat în considerare. Acesta se numește inelul seriei Laurent formale și este notat cu K (( X )). Este un câmp topologic și relația sa cu seria formală de putere este analogă cu cea dintre seria de putere și seria Laurent . Elementele sale au formă

f=\sum _{n\geq -M}a_{n}X^{n}

{\ displaystyle f = \ sum _ {n \ geq -M} a_ {n} X ^ {n}}

f = \ sum _ {{n \ geq -M}} a_ {n} X ^ {n}

unde M este un număr întreg care depinde de f (nu este necesar ca toate seriile câmpului să aibă aceeași putere minimă).

De asemenea, pentru seria formală Laurent, diferențierea este definită într-un mod natural, adică (termen la termen). În plus față de regulile enumerate mai sus privind diferențierea formală a seriilor , se aplică și regula coeficientului .

Seria cu setul de indici dat de un grup Abelian ordonat

Să ne referim din nou la un inel comutativ R și să fie G un grup abelian ordonat , adică un grup abelian prevăzut cu o ordonare totală „<” care respectă adunarea grupului, adică este un < b dacă și numai dacă a + c < b + c pentru fiecare c al lui G. Atunci să fiu eu un subset bine ordonat al lui G , adică un subset care nu conține lanțuri descendente infinite. Atunci considerăm setul de obiecte exprimabile ca

\sum _{i\in I}a_{i}X^{i}

{\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} X ^ {i}}

\ sum _ {{i \ in I}} a_ {i} X ^ {i}

pentru toate acestea I și cu coeficienții a _i aparținând lui R, presupunând , de asemenea, că pentru fiecare set de indici corespunzător sumei tuturor la _nul în R se dă zero noii structuri. În astfel de condiții R (( G )) este inelul seriei formale de putere de pe G ; datorită cerinței ca setul de indici să fie bine ordonat, produsul este bine definit și, în mod firesc, se presupune că două elemente care diferă de zero coincid.

Diferite proprietăți ale transferului R către R (( G )). Dacă R este un câmp, atunci R (( G )) este, de asemenea, un câmp. Dacă R este un câmp ordonat, putem comanda R (( G )) cerând ca fiecare element să aibă același semn ca primul său coeficient, definind ca atare elementul minim al setului de indici I cu coeficientul asociat nu zero. În cele din urmă, dacă G este un grup divizibil și R este un câmp real închis , atunci R (( G )) este un câmp real închis, în timp ce dacă R este închis algebric , atunci și R (( G )) este de asemenea.

Această teorie se datorează lui Hans Hahn , care a arătat, de asemenea, că subcâmpurile sunt obținute atunci când numărul de termeni diferiți de zero este limitat de o anumită cardinalitate infinită fixă.

Exemple și subiecte asociate

Seriile Bell sunt utilizate pentru a studia proprietățile funcțiilor aritmetice multiplicative

Bibliografie

Jean Berstel, Christophe Reutenauer (2011): Seria rațională necomutativă cu aplicații , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19022-0
Manfred Droste, Werner Kuich (2009): Semirings and Formal Power Series , pp. 3-28 în Manfrd Droste, Werner Kuich, ed. Heiko Vogler: Handbook of Weighted Automata , Springer, ISBN 978-3-642-01492-5
Herbert Saul Wilf (1994): Generatingfunctionology , Academic Press
Steven Roman (1979): Algebra seriilor formale , Adv. în Math., 31 pp. 309-339
Arto Salomaa, Matti Soittola (1978): Automate - Theoretic Aspects of Formal Power Series , Springer * Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory , Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (capitolul 2.15).
Ivan Morton Niven (1969): Seria formală de putere , Amer. Matematica. Lunar, 76, pp. 871-889

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Combinatorial
Orientare generală	Combinatorică · Istoria combinatoriei · Matematică discretă · Secțiunea 05-XX din MSC
Noțiuni introductive	Permutații · Dispoziții · Combinații · Coeficienți binomiali · Partiții de numere întregi · Partiții de mulțimi finite - Identități și bijecții combinatorii
Configurări	Pătrat latin · pătrate magice · Desene Block · geometrii finite · Matroids - mozaicare · Polimini
Teoria graficelor	Copaci · Mers pe grafice ( Eulerian , Hamiltonian ) · Conexiune în grafice - grafice plane · Vopsirea graficelor și teorema celor patru culori ) · hipergrafe · Grafice și grupuri · digraf · Grafic al fluxului de numerar · Plimbări aleatorii pe grafice · omomorfismul graficelor · Algoritmi pe grafice
Combinatorie algebrică	Tabelul lui Young · funcții simetrice - serie de puteri formale · Funcții de generare · Polinoame ortogonale · Părți ale unui grup de structuri combinatorii - Aspecte algebră comutativă combinatorie
Alte domenii	Calculul umbrelor ( secvențe polinomiale de tip binomial · secvențe Sheffer ) - Combinatorial extremal