Bună ordine
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , o ordine bună sau o ordine bună pe un set S este o relație de ordine pe S cu proprietatea că fiecare subset ne-gol al lui S are un element minim conform acestei ordine. Mulțimea S asociată cu ordinea bună se numește mulțime bine ordonată .
Descriere
De sine sunt două elemente ale întregului bine ordonat , întregul are un minim, prin urmare sau sau ; rezultă că o comandă bună este și o ordine totală .
Exemple:
- Ordinea standard a numerelor naturale este o ordine bună.
- Ordinea standard a numerelor întregi nu este o ordine bună deoarece, de exemplu, mulțimea numerelor negative nu are un element minim.
- Ordinea standard a numerelor reale pozitive nu este o ordine bună deoarece, de exemplu, intervalul (0,1) nu are element minim.
Într-un întreg bine ordonat, lanțurile descendente infinit de lungi nu pot exista. Folosind axioma de alegere se poate dovedi că această proprietate este echivalentă cu proprietatea de a fi bine ordonată; este, de asemenea, în mod clar echivalent cu Lema lui Zorn .
Mulțimea numerelor întregi negative nu este bine ordonată de relația mai mică decât , dar este încă posibil să se definească o relație diferită care ordonează bine numerele întregi negative. De exemplu, următoarea definiție oferă o relație care sortează bine numerele întregi negative: x < y , dacă | x | <| y | sau dacă | x | = | y | și x < y .
În orice set bine ordonat A, fiecare element x, dar cel mult unul (cel mai mare) are un succesor unic: cel mai mic element al lui A mai mare decât x .
Cu toate acestea, nu fiecare element are un predecesor. Pot exista mai multe elemente care nu au un predecesor. De exemplu, luați în considerare setul constând în unirea a două copii ale numerelor naturale. Definim ordinea în așa fel încât fiecare element din a doua copie să fie mai mare decât fiecare element din prima copie, în timp ce în cadrul fiecărei copii folosim ordinea generată de relația mai mică decât . Acesta este un set bine ordonat și este de obicei notat cu ω + ω. Rețineți că fiecare element are un succesor, dar două elemente nu au un predecesor: zero din prima copie și zero din al doilea.
Dacă o mulțime este bine ordonată, tehnica de inducție transfinită poate fi utilizată pentru a demonstra că o propoziție este adevărată pentru toate elementele mulțimii.
Teorema bunei ordonări , care este echivalentă cu axioma de alegere , afirmă că orice set poate fi bine ordonat.
