Inel destul de apreciat

În algebră , un inel de evaluare discretă (adesea menționat de inițialele DVR, din „ inelul de evaluare discretă engleză ) este o unitate inelară comutativă foarte simplă. Poate fi definit în mai multe moduri echivalente:

A este un inel local și un domeniu principal al idealurilor care nu este un câmp ;
A este un inel de evaluare cu evaluare pe grupul de numere întregi (de unde și numele);
A este un inel de evaluare Noetherian ;
A este un inel local și un domeniu Dedekind ;
A este un inel noetherian local de dimensiunea 1, al cărui ideal maxim este principal;
A este un inel Noetherian local închis integral de dimensiunea 1;
A este un domeniu cu idealuri principale cu un singur ideal prim non-zero;
A este un domeniu cu idealuri principale cu un singur element ireductibil (dacă nu este înmulțit cu o unitate a inelului);
A este un singur domeniu de factorizare cu un singur element ireductibil (dacă nu este înmulțit cu o unitate a inelului);
A este un inel local, nu este un câmp și orice ideal fracțional non-zero este ireductibil .

Așa cum domeniile Prüfer sunt versiunea „globală” a inelelor de evaluare, domeniile Dedekind sunt o versiune „globală” a inelelor de evaluare discrete: mai exact, acestea din urmă sunt acele inele noetheriene în care, pentru fiecare prim ideal P , locația A _P este un inel de evaluare discret.

Exemple de inele evaluate discret sunt inelele

\mathbb {Z} _{(p)}=\left\{{\frac {a}{b}},a,b\in \mathbb {Z} ,b\mathrm {~non~divisibile~per~} p\right\},

{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} = \ left \ {{\ frac {a} {b}}, a, b \ in \ mathbb {Z}, b \ mathrm {~ not ~ divisible ~ pentru ~} p \ right \},}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {(p)} = \ left \ {{\ frac {a} {b}}, a, b \ in \ mathbb {Z}, b \ mathrm {~ not ~ divisible ~ pentru ~} p \ right \},}

unde p este un număr prim ; sau inelul seriei formale K [[ X ]] pe un câmp K.

Uneori, expresia inel de evaluare discret este utilizată într-un sens mai general pentru a desemna inele de evaluare al căror grup de valori este $\mathbb {Z} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ mathbb {Z}} ^ {n}$ .

Proprietate

Generatorul π al idealului maxim al lui A este, dacă nu este înmulțit cu elemente inversabile, singurul element ireductibil al inelului. Orice alt ideal este generat de propria sa putere; în consecință, fiecare element al inelului poate fi exprimat - într-un mod unic - ca $u\pi ^{r}$ ${\ displaystyle u \ pi ^ {r}}$ ${\ displaystyle u \ pi ^ {r}}$ , unde u este inversabil la A și r este un număr natural . Mai mult, din moment ce A este un inel de evaluare, fiecare element al câmpului său coeficient care nu este în A are inversul în A ; de aceea fiecare element al lui K poate fi exprimat - din nou într-un mod unic - ca $u\pi ^{r}$ ${\ displaystyle u \ pi ^ {r}}$ ${\ displaystyle u \ pi ^ {r}}$ , unde de data aceasta r poate fi orice număr întreg.

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .

linkuri externe

( EN ) VI Danilov, Discretely-normed ring , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică