Buclă locală regulată

În matematică , în special în algebra comutativă , un inel local regulat este un inel noetherian local comutativ unitar , astfel încât numărul de generatori ai idealului său maxim este egal cu dimensiunea sa Krull . Un inel Noetherian este obișnuit în oricare dintre locațiile sale $A_{M}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ (unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este idealul său maxim) este un inel local obișnuit.

Termenul „regulat” provine din geometria algebrică : dacă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct al unei varietăți algebrice , cerând ca inelul germen al funcțiilor din punctul să fie un inel regulat este echivalent cu cererea ca dimensiunea spațiului tangentă la varietate în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este egală cu mărimea soiului în sine; când se întâmplă acest lucru, punctul este numit non-singular (sau regulat ).

Definiție și exemple

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel comutativ unitar care are dimensiuni locale și noetheriene $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ idealul său maxim .

Inelul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este regulat dacă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ poate fi generat din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente; echivalent (datorită lemei lui Nakayama ) dacă dimensiunea $M/M^{2}$ ${\ displaystyle M / M ^ {2}}$ ${\ displaystyle M / M ^ {2}}$ ca spațiu vectorial pe teren $A/M$ ${\ displaystyle A / M}$ ${\ displaystyle A / M}$ este egal cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . O altă caracterizare are loc prin instrumente omologice : $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este regulat dacă și numai dacă dimensiunea sa globală este finită. ^[1]

Fiecare câmp și fiecare domeniu de evaluare discret sunt inele regulate; de asemenea, inelul seriei formale $K[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]$ ${\ displaystyle K [[X_ {1}, \ ldots, X_ {d}]]}$ ${\ displaystyle K [[X_ {1}, \ ldots, X_ {d}]]}$ pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un inel regulat local.

Conceptul de inel regulat local poate fi „globalizat”: un inel noetherian comutativ unitar $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este regulat dacă pentru fiecare ideal maxim $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ localizare $A_{M}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ ${\ displaystyle A_ {M}}$ este un inel regulat local.

Proprietate

Inelele locale obișnuite au multe proprietăți bune: sunt de fapt toate domeniile de integritate și domenii cu factorizare unică . Cu toate acestea, inelele regulate nelocale pierd ambele caracteristici: de exemplu, domeniile Dedekind sunt toate inele regulate, dar nu toate sunt factorizarea unică. Cu toate acestea, pierderea integrității poate fi controlată într-un fel: fiecare inel obișnuit, de fapt, este produsul direct al unui număr finit de domenii de integritate obișnuite.

Regularitatea este o proprietate foarte stabilă: dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este regulat, fiecare localizare $S^{-1}A$ ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$ $S ^ {- 1} A$ este încă regulat, la fel și inelul polinomial $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ și inelul seriilor formale $A[[X]]$ ${\ displaystyle A [[X]]}$ ${\ displaystyle A [[X]]}$ . Regularitatea se păstrează și prin finalizare ; de asemenea, o buclă locală regulată completă care conține un câmp $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este neapărat izomorfă a $K[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]$ ${\ displaystyle K [[X_ {1}, \ ldots, X_ {d}]]}$ ${\ displaystyle K [[X_ {1}, \ ldots, X_ {d}]]}$ pentru un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ (care poate fi diferit de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ) și un număr întreg $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ (egală cu dimensiunea sa).

Toate inelele obișnuite sunt inele Gorenstein și Cohen-Macaulay .

Notă

^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 1110, ISBN 0-521-43500-5 .

Bibliografie

Irving Kaplansky , Inele comutative , The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 .

linkuri externe

( EN ) VI Danilov, Inel regulat , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002. }

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 1110, ISBN 0-521-43500-5 .

[1]