Inel polinomial

În algebra abstractă , inelul de polinoame construit dintr-un anumit inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o structură algebrică care conține toate expresiile polinomiale cu coeficienți în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

De sine $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ este un domeniu de integritate , câmpul său coeficient este dat de setul de funcții raționale cu coeficienți în câmpul coeficienților $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Definiție

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel , este definit ca un inel de polinoame într-o variabilă cu coeficienți în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ întregul

A^{(\mathbb {N} )}=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }:a_{n}\in A,a_{n}=0{\mbox{ per quasi tutti gli n}}\}

{\ displaystyle A ^ {(\ mathbb {N})} = \ {(a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}: a_ {n} \ în A, a_ {n} = 0 { \ mbox {pentru aproape toate n}} \}}

{\ displaystyle A ^ {(\ mathbb {N})} = \ {(a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}: a_ {n} \ în A, a_ {n} = 0 { \ mbox {pentru aproape toate n}} \}}

,

adică setul de secvențe cu valori în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ categoric nul. Acest set își asumă structura unui inel dacă este echipat cu următoarele operațiuni de sumă și produs:

(a_{n})_{n}+(b_{n})_{n}:=(a_{n}+b_{n})_{n}

{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} + (b_ {n}) _ {n}: = (a_ {n} + b_ {n}) _ {n}}

{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} + (b_ {n}) _ {n}: = (a_ {n} + b_ {n}) _ {n}}

(a_{n})_{n}\times (b_{n})_{n}:=(c_{n})_{n},\ c_{n}=\sum _{p+q=n}(a_{p}\cdot b_{q})

{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} \ times (b_ {n}) _ {n}: = (c_ {n}) _ {n}, \ c_ {n} = \ sum _ {p + q = n} (a_ {p} \ cdot b_ {q})}

{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} \ times (b_ {n}) _ {n}: = (c_ {n}) _ {n}, \ c_ {n} = \ sum _ {p + q = n} (a_ {p} \ cdot b_ {q})}

A doua operație este exact produsul Cauchy al celor două secvențe . Acest inel este notat într-un mod standard cu $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ iar elementele sale pot fi reprezentate ca

p=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}

{\ displaystyle p = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0}}

{\ displaystyle p = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0}}

,

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ reprezintă un simbol formal, care servește doar ca „substituent” pentru a indica coeficientul $a_{m}$ ${\ displaystyle a_ {m}}$ ${\ displaystyle a_ {m}}$ este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -al elementul secvenței.

Inel polinomial în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile

Putem defini inelul de polinoame în două variabile cu coeficienți în inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ inductiv: a fi $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ în sine un inel, poate fi luat ca inelul de origine al coeficienților și, prin urmare, definit

A[X,Y]:=(A[X])[Y]

{\ displaystyle A [X, Y]: = (A [X]) [Y]}

{\ displaystyle A [X, Y]: = (A [X]) [Y]}

si pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile,

A[X_{1},...,X_{n}]:=R[X_{n}],

{\ displaystyle A [X_ {1}, ..., X_ {n}]: = R [X_ {n}],}

{\ displaystyle A [X_ {1}, ..., X_ {n}]: = R [X_ {n}],}

, cu

R=A[X_{1},...,X_{n-1}]

{\ displaystyle R = A [X_ {1}, ..., X_ {n-1}]}

{\ displaystyle R = A [X_ {1}, ..., X_ {n-1}]}

.

Această construcție permite mărirea proprietăților care $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ moștenit din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pana cand' $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a variabilă; de exemplu, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu, va fi și el $A[X_{1},...,X_{n}]$ ${\ displaystyle A [X_ {1}, ..., X_ {n}]}$ ${\ displaystyle A [X_ {1}, ..., X_ {n}]}$ si asa mai departe.

Următoarele inele sunt toate izomorfe în mod natural:

A[X,Y]\cong (A[X])[Y]\cong A[Y,X]\cong (A[Y])[X]

{\ displaystyle A [X, Y] \ cong (A [X]) [Y] \ cong A [Y, X] \ cong (A [Y]) [X]}

{\ displaystyle A [X, Y] \ cong (A [X]) [Y] \ cong A [Y, X] \ cong (A [Y]) [X]}

Relațiile dintre $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar inelul polinomial

Unele proprietăți ale inelului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ treceți la inelul polinoamelor $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ , în timp ce alții nu; primele sunt semnificative deoarece, prin inducție , pot fi apoi extinse la inelele de polinoame în orice număr de variabile. Un exemplu este prezența unității: $A[x]$ ${\ displaystyle A [x]}$ $A [x]$ este un inel unitar dacă și numai dacă este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , precum și $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ este un domeniu al integrității dacă și numai dacă este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ : dacă este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ de fapt, produsul celor două monomii de grad maxim este încă un monom non-zero, unic cu acel grad; invers, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un subinel al $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ , format din constantele sale și, prin urmare, nu poate avea divizori zero.

Din punctul de vedere al factoringului, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este, de asemenea, un singur inel de factorizare $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ (și deci și fiecare $A[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ${\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ${\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ ). Dovada începe mai întâi examinând cazul în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un câmp : în această situație, este întotdeauna posibil să se împartă coeficienții monomiilor de grad maxim și, prin urmare, este posibilă împărțirea între polinoame , ceea ce face ca $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ un inel euclidian cu evaluarea dată de gradul polinomului; cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ nu este un câmp și, prin urmare $A[X,Y]$ ${\ displaystyle A [X, Y]}$ ${\ displaystyle A [X, Y]}$ nu este un inel euclidian: de fapt nu este nici măcar un inel cu idealuri principale , ca ideal $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ nu poate fi generat dintr-un singur element. Apoi treceți la un singur inel de factorizare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ generic, observăm că $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ este un subinel al $K[X]$ ${\ displaystyle K [X]}$ $K [X]$ , unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este domeniul coeficienților $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; teza decurge deci din lema lui Gauss , care afirmă că un polinom primitiv (adică cel mai mare divizor comun dintre coeficienți este 1) este ireductibil în $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ dacă și numai dacă este ireductibil în $K[X]$ ${\ displaystyle K [X]}$ $K [X]$ .

O altă proprietate importantă care trece către inelul polinomial este noeterianitatea: dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel noetherian , este și el $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ . Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema bazei Hilbert .

Bibliografie

Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - o abordare algoritmică . Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 9788808162700

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 18032 · LCCN (EN) sh85104701 · GND (DE) 4175268-5 · BNF (FR) cb12270236s (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică