Diviziunea polinoamelor

Calcul literal

În matematică , diviziunea polinoamelor numită și diviziune lungă este un algoritm care vă permite să găsiți coeficientul dintre două polinoame , al doilea dintre acestea având un grad nu mai mare decât gradul primului. Este o operație care poate fi efectuată manual, deoarece împarte problema în diferite diviziuni între monomii , ușor de calculat ^[1] .

Amintiți-vă că, dacă polinoamele au coeficienți reali (sau mai general într-un câmp ) pentru fiecare pereche de polinoame $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ există doar alte două polinoame $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ Și $R(x)$ ${\ displaystyle R (x)}$ $R (x)$ astfel încât:

A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)

{\ displaystyle A (x) = B (x) \ cdot Q (x) + R (x)}

A (x) = B (x) \ cdot Q (x) + R (x)

asumarea gradului de $R(x)$ ${\ displaystyle R (x)}$ $R (x)$ este mai mică decât cea a $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ . Acest fapt este tipic inelelor euclidiene , la fel și inelele polinoamelor construite pe un câmp.

Gradul de $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ în schimb va fi echivalent cu diferența dintre gradul de $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ este aceea a $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ .

În cazul în care $R(x)=0$ ${\ displaystyle R (x) = 0}$ $R (x) = 0$ , $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ ar fi divizibil cu $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ .

Algoritmul

Algoritmul implică executarea următoarelor etape ^[2] :

Mai întâi scrieți cele două polinoame în acest fel, acordând atenție scrierii explicite a termenilor nul ai lui $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ (de exemplu, $x^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} -1}$ $x ^ {2} -1$ se va scrie ca $x^{2}+0x-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 0x-1}$ $x ^ {2} + 0x-1$ ).
$A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$

Împărțim termenul de grad maxim la

A(x)

{\ displaystyle A (x)}

A (x)

pentru termenul de grad maxim de

B(x)

{\ displaystyle B (x)}

B (x)

și scrieți rezultatul mai jos

B(x)

{\ displaystyle B (x)}

B (x)

.

$a_{n}x^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n}}$ $a_ {n} x ^ {n}$	$+\dots$ ${\ displaystyle + \ dots}$ $+ \ puncte$	$+a_{0}$ ${\ displaystyle + a_ {0}}$ $+ a_ {0}$	$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ ${\ displaystyle b_ {m} x ^ {m} + \ dots + b_ {0}}$ $b_ {m} x ^ {m} + \ dots + b_ {0}$
			${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {n} x ^ {n}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q_ {k} x ^ {k}}$ ${\ frac {a_ {n} x ^ {n}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q_ {k} x ^ {k}$

Acest termen este multiplicat

q_{k}x^{k}

{\ displaystyle q_ {k} x ^ {k}}

q_ {k} x ^ {k}

pentru polinom

B(x)

{\ displaystyle B (x)}

B (x)

și scrieți rezultatul mai jos

A(x)

{\ displaystyle A (x)}

A (x)

, plasând fiecare termen sub termenul de

A(x)

{\ displaystyle A (x)}

A (x)

de grad egal.

$a_{n}x^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n}}$ $a_ {n} x ^ {n}$	$+\dots$ ${\ displaystyle + \ dots}$ $+ \ puncte$	$+a_{0}$ ${\ displaystyle + a_ {0}}$ $+ a_ {0}$	$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ ${\ displaystyle b_ {m} x ^ {m} + \ dots + b_ {0}}$ $b_ {m} x ^ {m} + \ dots + b_ {0}$
$b_{m}q_{k}x^{m+k}$ ${\ displaystyle b_ {m} q_ {k} x ^ {m + k}}$ $b_ {m} q_ {k} x ^ {{m + k}}$	$+\dots$ ${\ displaystyle + \ dots}$ $+ \ puncte$	$+b_{0}q_{k}x^{k}$ ${\ displaystyle + b_ {0} q_ {k} x ^ {k}}$ $+ b_ {0} q_ {k} x ^ {k}$	${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {n} x ^ {n}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q_ {k} x ^ {k}}$ ${\ frac {a_ {n} x ^ {n}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q_ {k} x ^ {k}$

Scăderea se realizează între

A(x)

{\ displaystyle A (x)}

A (x)

iar polinomul scris sub el. Prin construcție, termenul în

x^{n}

{\ displaystyle x ^ {n}}

x ^ {n}

se va anula, lăsând un polinom de grad minor (

n-1

{\ displaystyle n-1}

n-1

sau chiar mai puțin).

$a_{n}x^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n}}$ $a_ {n} x ^ {n}$	$+\dots$ ${\ displaystyle + \ dots}$ $+ \ puncte$	$+a_{0}$ ${\ displaystyle + a_ {0}}$ $+ a_ {0}$	$b_{m}x^{m}+\dots +b_{0}$ ${\ displaystyle b_ {m} x ^ {m} + \ dots + b_ {0}}$ $b_ {m} x ^ {m} + \ dots + b_ {0}$
$b_{m}q_{k}x^{m+k}$ ${\ displaystyle b_ {m} q_ {k} x ^ {m + k}}$ $b_ {m} q_ {k} x ^ {{m + k}}$	$+\dots$ ${\ displaystyle + \ dots}$ $+ \ puncte$	$+b_{0}q_{k}x^{k}$ ${\ displaystyle + b_ {0} q_ {k} x ^ {k}}$ $+ b_ {0} q_ {k} x ^ {k}$	${\frac {a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k}x^{k}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {n} x ^ {n}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q_ {k} x ^ {k}}$ ${\ frac {a_ {n} x ^ {n}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q_ {k} x ^ {k}$
$//+r_{n-1}x^{n-1}$ ${\ displaystyle // + r_ {n-1} x ^ {n-1}}$ $// + r _ {{n-1}} x ^ {{n-1}}$	$+\dots$ ${\ displaystyle + \ dots}$ $+ \ puncte$	$+r_{0}$ ${\ displaystyle + r_ {0}}$ $+ r_ {0}$

Dacă gradul acestei diferențe polinomiale $R_{1}(x)$ ${\ displaystyle R_ {1} (x)}$ $R_ {1} (x)$ este mai mare sau egală cu cea a $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ operațiile de la 2 la 4 se repetă luând în considerare acum $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ precum divizarea și adăugarea termenului
${\frac {r_{n-1}x^{n-1}}{b_{m}x^{m}}}=q_{k-1}x^{k-1}$ ${\ displaystyle {\ frac {r_ {n-1} x ^ {n-1}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q_ {k-1} x ^ {k-1}}$ ${\ frac {r _ {{n-1}} x ^ {{n-1}}} {b_ {m} x ^ {m}}} = q _ {{k-1}} x ^ {{k -1}}$
în dreapta termenului $q_{k}x^{k}$ ${\ displaystyle q_ {k} x ^ {k}}$ $q_ {k} x ^ {k}$ , ca următorul addendum.
Când s-a ajuns la un polinom $R_{i}(x)$ ${\ displaystyle R_ {i} (x)}$ $R_ {i} (x)$ de o notă mai mică decât $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ , apoi acest polinom $R_{i}(x)$ ${\ displaystyle R_ {i} (x)}$ $R_ {i} (x)$ va fi restul $R(x)$ ${\ displaystyle R (x)}$ $R (x)$ al diviziunii; polinomul
$Q(x)=q_{k}x^{k}+q_{k-1}x^{k-1}+...+q_{0},$ ${\ displaystyle Q (x) = q_ {k} x ^ {k} + q_ {k-1} x ^ {k-1} + ... + q_ {0},}$ $Q (x) = q_ {k} x ^ {k} + q _ {{k-1}} x ^ {{k-1}} + ... + q_ {0},$
format treptat dedesubt $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ , va fi în schimb polientul coeficient.

Exemplu

Pentru a înțelege mai bine algoritmul de divizare polinomială, un exercițiu este efectuat ca exemplu mai jos.

Împărțim polinomul

A(x)=3x^{4}-x^{3}

{\ displaystyle A (x) = 3x ^ {4} -x ^ {3}}

A (x) = 3x ^ {4} -x ^ {3}

pentru polinom

B(x)=x^{2}-2

{\ displaystyle B (x) = x ^ {2} -2}

B (x) = x ^ {2} -2

Pasul 1

Scriem cele două polinoame $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ Și $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ așa cum este ilustrat mai sus. Astfel, fiecare dintre cele două polinoame este ordonat în funcție de grad (în ordine descrescătoare) și monomiile cu coeficientul 0 sunt, de asemenea, explicite.

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$

Pasul 2

Împărțim termenul de grad maxim la $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ , care se dovedește a fi $3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$ , pentru termenul de grad maxim de $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ , care este $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ și scriem rezultatul mai jos $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ .

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
					$3x^{2}$ ${\ displaystyle 3x ^ {2}}$ $3x ^ {2}$

Pasul 3

Acum să scriem, mai jos $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ , polinomul obținut prin înmulțirea rezultatului împărțirii termenilor de grad maxim la polinom $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ . Trebuie luați în considerare termenii cu coeficient zero.

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}$ ${\ displaystyle 3x ^ {2}}$ $3x ^ {2}$

Se poate observa că, după cum sa spus deja în cazul general, termenii de grad mai mari decât $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ și a polinomului scris mai jos $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ , sunt egali.

Pasul 4

Acum să scădem $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ cu polinomul scris mai jos pentru a obține polinomul $R_{1}(x)$ ${\ displaystyle R_ {1} (x)}$ $R_ {1} (x)$ .

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}$ ${\ displaystyle 3x ^ {2}}$ $3x ^ {2}$
$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+6x^{2}$ ${\ displaystyle + 6x ^ {2}}$ $+ 6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$

Gradul de $R_{1}(x)=-x^{3}+6x^{2}$ ${\ displaystyle R_ {1} (x) = - x ^ {3} + 6x ^ {2}}$ $R_ {1} (x) = - x ^ {3} + 6x ^ {2}$ este mai mare decât cea a $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ , apoi iterăm procedura.

Pasul 2b

Împărțim termenul maxim de grad la $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ care se dovedește a fi $-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$ pentru termenul de grad maxim de $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ iar rezultatul îl scriem lângă cel obținut anterior.

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}-x$ ${\ displaystyle 3x ^ {2} -x}$ $3x ^ {2} -x$
$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+6x^{2}$ ${\ displaystyle + 6x ^ {2}}$ $+ 6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$

Pasul 3b

Acum, ca la pasul 3, înmulțim rezultatul împărțirii tocmai efectuate care, în exemplul nostru, se dovedește a fi $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ , pentru polinom $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ iar rezultatul multiplicării îl scriem mai jos $R_{1}(x)$ ${\ displaystyle R_ {1} (x)}$ $R_ {1} (x)$ .

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}-x$ ${\ displaystyle 3x ^ {2} -x}$ $3x ^ {2} -x$
$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+6x^{2}$ ${\ displaystyle + 6x ^ {2}}$ $+ 6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+2x$ ${\ displaystyle + 2x}$ $+ 2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$

Pasul 4b

Efectuăm scăderea dintre polinom $R_{1}(x)$ ${\ displaystyle R_ {1} (x)}$ $R_ {1} (x)$ și polinomul scris mai jos pentru a obține $R_{2}(x)$ ${\ displaystyle R_ {2} (x)}$ $R_ {2} (x)$ .

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}-x$ ${\ displaystyle 3x ^ {2} -x}$ $3x ^ {2} -x$
$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+6x^{2}$ ${\ displaystyle + 6x ^ {2}}$ $+ 6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+2x$ ${\ displaystyle + 2x}$ $+ 2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$6x^{2}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2}}$ $6x ^ {2}$	$-2x$ ${\ displaystyle -2x}$ $-2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$

Având în vedere că gradul de $R_{2}(x)$ ${\ displaystyle R_ {2} (x)}$ $R_ {2} (x)$ nu este mai puțin decât cea a $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ trebuie să repetăm procesul încă o dată.

Pasul 2c

Împărțim termenul de rang superior la $R_{2}(x)$ ${\ displaystyle R_ {2} (x)}$ $R_ {2} (x)$ pentru termenul de grad superior de $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ .

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}-x+6$ ${\ displaystyle 3x ^ {2} -x + 6}$ $3x ^ {2} -x + 6$
$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+6x^{2}$ ${\ displaystyle + 6x ^ {2}}$ $+ 6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+2x$ ${\ displaystyle + 2x}$ $+ 2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$6x^{2}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2}}$ $6x ^ {2}$	$-2x$ ${\ displaystyle -2x}$ $-2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$

Pasul 3c

Ne înmulțim $B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$ pentru rezultatul împărțirii tocmai efectuate și scriem rezultatul înmulțirii mai jos $R_{2}(x)$ ${\ displaystyle R_ {2} (x)}$ $R_ {2} (x)$ .

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}-x+6$ ${\ displaystyle 3x ^ {2} -x + 6}$ $3x ^ {2} -x + 6$
$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+6x^{2}$ ${\ displaystyle + 6x ^ {2}}$ $+ 6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+2x$ ${\ displaystyle + 2x}$ $+ 2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$6x^{2}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2}}$ $6x ^ {2}$	$-2x$ ${\ displaystyle -2x}$ $-2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$

		$6x^{2}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2}}$ $6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$-12$ ${\ displaystyle -12}$ $-12$

Pasul 4c

Executăm scăderea între $R_{2}(x)$ ${\ displaystyle R_ {2} (x)}$ $R_ {2} (x)$ iar polinomul scris mai jos pentru a obține polinomul $R_{3}(x)$ ${\ displaystyle R_ {3} (x)}$ $R_ {3} (x)$ .

$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$x^{2}-2$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$ $x ^ {2} -2$
$3x^{4}$ ${\ displaystyle 3x ^ {4}}$ $3x ^ {4}$	$+0x^{3}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {3}}$ $+ 0x ^ {3}$	$-6x^{2}$ ${\ displaystyle -6x ^ {2}}$ $-6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$	$3x^{2}-x+6$ ${\ displaystyle 3x ^ {2} -x + 6}$ $3x ^ {2} -x + 6$
$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+6x^{2}$ ${\ displaystyle + 6x ^ {2}}$ $+ 6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$-x^{3}$ ${\ displaystyle -x ^ {3}}$ $-x ^ {3}$	$+0x^{2}$ ${\ displaystyle + 0x ^ {2}}$ $+ 0x ^ {2}$	$+2x$ ${\ displaystyle + 2x}$ $+ 2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
	$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$6x^{2}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2}}$ $6x ^ {2}$	$-2x$ ${\ displaystyle -2x}$ $-2x$	$+0$ ${\ displaystyle +0}$ $+0$
		$6x^{2}$ ${\ displaystyle 6x ^ {2}}$ $6x ^ {2}$	$+0x$ ${\ displaystyle + 0x}$ $+ 0x$	$-12$ ${\ displaystyle -12}$ $-12$
		$//$ ${\ displaystyle //}$ $//$	$-2x$ ${\ displaystyle -2x}$ $-2x$	$+12$ ${\ displaystyle +12}$ $+12$

Am ajuns la $R_{3}(x)=-2x+12$ ${\ displaystyle R_ {3} (x) = - 2x + 12}$ $R_ {3} (x) = - 2x + 12$ , care este strict mai mic decât $B(x)=x^{2}-2$ ${\ displaystyle B (x) = x ^ {2} -2}$ $B (x) = x ^ {2} -2$ , deci restul este

R(x)=R_{3}(x)

{\ displaystyle R (x) = R_ {3} (x)}

R (x) = R_ {3} (x)

iar coeficientul diviziunii noastre este

Q(x)=3x^{2}-x+6

{\ displaystyle Q (x) = 3x ^ {2} -x + 6}

Q (x) = 3x ^ {2} -x + 6

putem scrie atunci

{\begin{aligned}A(x)=B(x)&\cdot Q(x)+R(x)\\&\Downarrow \\3x^{4}-x^{3}=(x^{2}-2)&\cdot (3x^{2}-x+6)+(-2x+12)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A (x) = B (x) & \ cdot Q (x) + R (x) \\ & \ Downarrow \\ 3x ^ {4} -x ^ {3} = ( x ^ {2} -2) & \ cdot (3x ^ {2} -x + 6) + (- 2x + 12) \ end {align}}}

{\ begin {align} A (x) = B (x) & \ cdot Q (x) + R (x) \\ & \ Downarrow \\ 3x ^ {4} -x ^ {3} = (x ^ { 2} -2) & \ cdot (3x ^ {2} -x + 6) + (- 2x + 12) \ end {align}}

Regula lui Ruffini

Același subiect în detaliu: Regula lui Ruffini .

O versiune mai concisă a acestei proceduri este fezabilă atunci când divizorul B este de formă $B(x)=x-r$ ${\ displaystyle B (x) = xr}$ $B (x) = x-r$ sau $B(x)=ax-k$ ${\ displaystyle B (x) = ax-k}$ $B (x) = ax-k$ , o pereche de gradul I ^[3] . Această regulă a fost expusă pentru prima dată de Paolo Ruffini în 1810 .

Notă

^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.19
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . pp. 20-21
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.24

Bibliografie

Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.19

[2] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . pp. 20-21

[3] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (Volumul 3) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8 . p.24

[1]

[2]

[3]

$A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$	$B(x)$ ${\ displaystyle B (x)}$ $B (x)$