Domeniu de factorizare unică

În algebră , un domeniu de factorizare unic (sau inel de factorizare unic ; deseori prescurtat în UFD , din English Unique Factorization Domain ) este un domeniu în care deține un analog al teoremei fundamentale a aritmeticii , adică în care fiecare element poate fi scris unic ca un produs de elemente prime , similar cu ceea ce se întâmplă pentru numere întregi și descompunerea în numere prime .

Definiție

Un domeniu de integritate A este un domeniu de factorizare unic dacă fiecare element non-nul și neinversibil x al lui A poate fi scris ca produs al elementelor ireductibile

x=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}

{\ displaystyle x = p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n}}

{\ displaystyle x = p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n}}

iar această reprezentare este unică, în următorul sens: dacă q ₁ , ..., q _m sunt elemente ireductibile ale lui A astfel încât

x=q_{1}\cdots q_{m}

{\ displaystyle x = q_ {1} \ cdots q_ {m}}

{\ displaystyle x = q_ {1} \ cdots q_ {m}}

atunci m = n și există o corespondență unu-la-unu φ: {1, ..., n } $\to$ ${\ displaystyle \ to}$ $\ la$ {1, ..., n } astfel încât p _i și q _{φ ( i )} sunt asociați , pentru fiecare i = 1, ..., n ; adică, cu excepția cazului în care factorii sunt rearanjați, $p_{i}=u_{i}q_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i} = u_ {i} q_ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = u_ {i} q_ {i}}$ , unde u _i este un element inversabil al inelului.

Alternativ, A este un domeniu cu factorizare unică dacă fiecare element neinversibil este produsul elementelor prime : în acest caz, unicitatea este deja garantată de proprietățile elementelor prime. O caracterizare echivalentă suplimentară folosind elemente prime a fost demonstrată de Irving Kaplansky : un domeniu este un UFD dacă și numai fiecare ideal prim conține un element prim.

Exemple

Un prim exemplu este dat de câmpuri , cum ar fi câmpul numerelor raționale $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ sau real $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ : în acest caz, toate elementele nenule sunt inversabile și, prin urmare, toate factorizările sunt banale. Un exemplu mai interesant este inelul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ de numere întregi (grație teoremei fundamentale a aritmeticii ).

Exemple importante sunt inelele K [ X ₁ , ..., X _n ] ale polinoamelor cu coeficienți într-un câmp K și K [[ X ₁ , ..., X _n ]], inelul seriei formale .

Mai general, fiecare domeniu cu idealuri principale și fiecare domeniu euclidian are o factorizare unică.

Printre inelele numerelor întregi algebrice , inelul numerelor întregi gaussiene $\mathbb {Z} [i]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [i]}$ este o singură factorizare, în timp ce $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$ (care include toate numerele complexe de tip $a+b{\sqrt {-5}}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-5}}}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-5}}}$ , unde a și b sunt numere întregi) nu este, deoarece 6 este luat în calcul în două moduri diferite, cum ar fi $~2\cdot 3~$ ${\ displaystyle ~ 2 \ cdot 3 ~}$ ${\ displaystyle ~ 2 \ cdot 3 ~}$ Și $(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})$ ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}}) \ cdot (1 - {\ sqrt {-5}})}$ ${\ displaystyle (1 + {\ sqrt {-5}}) \ cdot (1 - {\ sqrt {-5}})}$ , iar acești patru factori sunt ireductibili și neechivalenți.

Proprietate

Într-un singur domeniu de factorizare, noțiunile de element prim și element ireductibil coincid; mai precis, un domeniu A este un UFD dacă și numai dacă este atomic (adică dacă fiecare element poate fi scris ca produs al elementelor ireductibile) și dacă elementele prime și ireductibile coincid.

Fiecare pereche (sau set finit) de elemente din A are cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun , definit analog cu ceea ce se întâmplă în numere întregi; acestea pot fi derivate din factoring. Din existența celor mai mari divizori comuni rezultă că fiecare UFD este închis integral ; acest criteriu poate fi folosit uneori pentru a demonstra că anumite inele nu sunt factoring unic.

Proprietatea de a fi o factorizare unică este păstrată prin trecerea la inelele polinoamelor , adică A este un UFD dacă și numai dacă A [ X ] este un UFD. Prin inducție , de asemenea, inelele A [ X ₁ , ..., X _n ] au o factorizare unică: de exemplu, acest lucru se întâmplă pentru inelul K [ X ₁ , ..., X _n ] al polinoamelor cu coeficienți într-un câmp. Pentru n > 1, ultimul caz este un exemplu de UFD care nu este un ideal principal ; mai general, un UFD are idealuri principale dacă și numai dacă dimensiunea sa Krull este 0 sau 1.

Spre deosebire de inelele de polinoame, nu este sigur că, dacă A este o factorizare unică, inelul seriei formale A [[ X ]] este, de asemenea, așa; un caz particular (dar important) în care această proprietate este în schimb adevărat apare atunci când A = K este un câmp. Mai general, dacă A este un inel obișnuit cu factorizare unică, A [[ X ]] este, de asemenea, un UFD obișnuit.

Bibliografie

Pete L. Clark, Factorizarea în domenii integrale ( PDF ) (arhivat din original la 28 iulie 2013) .
Irving Kaplansky , Inele comutative , The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 .

Elemente conexe

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 21028 · GND (DE) 4414551-2

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică