Grupul Klein
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , grupul Klein (sau, de asemenea, grupul 4-Klein , grupul 4 , grupul cvadrinomial , grupul Vierer sau grupul cu trei dreptunghiuri , adesea indicat de litera V (a se vedea „Vier” în germană, patru) este grupul Z 2 × Z 2 , un produs direct din două copii ale grupului ciclic de ordinul 2 (sau orice variantă izomorfă ). A fost numit grupul 4 de Felix Klein în Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade în 1884.
Grupul Klein este cel mai mic grup neciclic. Singurul alt grup cu 4 elemente, cu excepția izomorfismelor, este grupul ciclic de ordinul 4: Z 4 (vezi și lista grupurilor mici ).
Toate elementele grupului Klein (cu excepția identității ) au perioada 2. Este un abelian și izomorf al grupului diedric de ordinul 4.
Tabelul Cayley al grupului Klein este după cum urmează:
* 1 the j k 1 1 the j k the the 1 k j j j k 1 the k k j the 1
În 2D este grupul simetric al unui romb și al unui dreptunghi , cele 4 elemente fiind identitatea, reflexia verticală, reflexia orizontală și rotația de 180 de grade.
În 3D există trei grupuri diferite de simetrie care algebric sunt grupul Klein:
- cea cu 3 axe perpendiculare de rotație: D 2
- cel cu o axă de rotație și un plan perpendicular de reflexie: C 2h = D 1d
- cel cu axa de rotație într-un plan de reflecție (și, prin urmare, și într-un plan de reflecție perpendicular): C 2v = D 1h
Cele trei elemente de ordinul 2 din grupul Klein sunt interschimbabile: grupul de automorfism este grupul permutărilor celor 3 elemente. Această simetrie esențială poate fi văzută și prin reprezentarea permutării pe 4 puncte:
- V = {id; (1,2) (3,4); (1,3) (2,4); (1,4) (2,3)}
În această reprezentare, V este un grup normal al grupului alternativ A 4 (și, de asemenea, al grupului simetric S 4 ) pe 4 litere. Într-adevăr, este nucleul unei hărți surjective de la S 4 la S 3 . Conform teoriei lui Galois , existența grupului Klein (și, în special, această reprezentare) explică existența formulei pentru calcularea rădăcinilor ecuațiilor de gradul patru în termeni de radicali.
