Lema de normalizare a lui Noether

În matematică , lema de normalizare a lui Noether este o teoremă de algebră comutativă care afirmă că fiecare $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - finit generat algebra (unde $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp ) este o extensie întreagă a unui inel de polinoame pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Este numit după Emmy Noether , care în 1926 a dovedit-o sub ipoteza că $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ a fost infinit. Cazul în care $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp finit a fost demonstrat de Oscar Zariski în 1943.

Declarație și dovadă

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp e $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o algebră pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ; este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ dimensiunea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Atunci există $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ elemente $y_{1},\ldots ,y_{d}\in A$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ ldots, y_ {d} \ în A}$ $y_ {1}, \ ldots, y_ {d} \ în A$ , independent algebric , astfel încât extensia $K[y_{1},\ldots ,y_{d}]\subseteq A$ ${\ displaystyle K [y_ {1}, \ ldots, y_ {d}] \ subseteq A}$ $K [y_ {1}, \ ldots, y_ {d}] \ subseteq A$ este întreg . Dacă și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ atunci este un domeniu al integrității $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este și gradul de transcendență al câmpului de coeficienți ai $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel gradat , apoi elementele $y_{1},\ldots ,y_{d}$ ${\ displaystyle y_ {1}, \ ldots, y_ {d}}$ $y_ {1}, \ ldots, y_ {d}$ pot fi alese omogene.

Ideea dovezii este de a reprezenta $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ca un coeficient al unui inel de polinoame $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ $K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]$ pentru un ideal al lui $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , și să procedeze prin inducție pe $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Pasul inductiv este dovedit prin alegerea unui polinom $P(X_{1},\ldots ,X_{n})\in I$ ${\ displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ în I}$ $P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ în I$ , și apoi căutând o schimbare de variabile $Y_{i}=f_{i}(X_{i})$ ${\ displaystyle Y_ {i} = f_ {i} (X_ {i})}$ $Y_ {i} = f_ {i} (X_ {i})$ asta face $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ un polinom monic în $X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ , astfel încât imaginea $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ din $X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este întreg pe imaginile $Y_{i}$ ${\ displaystyle Y_ {i}}$ $Y_ {i}$ .

De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este infinit, este întotdeauna posibil să găsești un $\lambda \in K$ ${\ displaystyle \ lambda \ în K}$ $\ lambda \ în K$ astfel încât transformarea $Y_{i}=X_{i}-\lambda X_{n}$ ${\ displaystyle Y_ {i} = X_ {i} - \ lambda X_ {n}}$ $Y_ {i} = X_ {i} - \ lambda X_ {n}$ (pentru $1\leq i\leq n-1$ ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n-1}$ $1 \ leq i \ leq n-1$ ) are proprietățile căutate; de sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este terminat, cu toate acestea, este necesar să se ia în considerare transformarea $Y_{i}=X_{i}+X_{i}^{m_{i}}$ ${\ displaystyle Y_ {i} = X_ {i} + X_ {i} ^ {m_ {i}}}$ $Y_ {i} = X_ {i} + X_ {i} ^ {{m_ {i}}}$ , pentru numere întregi $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $pe mine$ ales corespunzător.

Consecințe și interpretare geometrică

Utilitatea lemei lui Noether se manifestă adesea în posibilitatea de a „rupe” studiul proprietăților uneia $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ -algebră $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ într-o extensie pur transcendentă $K\subseteq K[y_{1},\ldots ,y_{d}]$ ${\ displaystyle K \ subseteq K [y_ {1}, \ ldots, y_ {d}]}$ $K \ subseteq K [y_ {1}, \ ldots, y_ {d}]$ și o extensie întreagă $K[y_{1},\ldots ,y_{d}]\subseteq A$ ${\ displaystyle K [y_ {1}, \ ldots, y_ {d}] \ subseteq A}$ $K [y_ {1}, \ ldots, y_ {d}] \ subseteq A$ , ambele putând fi studiate mai ușor decât o extensie arbitrară. De exemplu, prin această metodă este posibil să se demonstreze că dacă $\phi :A\longrightarrow B$ ${\ displaystyle \ phi: A \ longrightarrow B}$ $\ phi: A \ longrightarrow B$ este un omomorfism al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ - algebre finit generate și locale , atunci $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un homomorfism local , adică $\phi (M)B\neq B$ ${\ displaystyle \ phi (M) B \ neq B}$ $\ phi (M) B \ neq B$ , unde este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este idealul maxim al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

O altă consecință importantă a lemei lui Noether este că fiecare lanț de idealuri este mai important decât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi rafinat până la un lanț de lungime maximă $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ (unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este întotdeauna de dimensiunea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ); în special, pe $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ atunci este un ideal primar $\dim A=\dim A_{P}+\dim A/P$ ${\ displaystyle \ dim A = \ dim A_ {P} + \ dim A / P}$ $\ dim A = \ dim A_ {P} + \ dim A / P$ . De exemplu, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și nu este un divizor al zero , inelul $A/(f)$ ${\ displaystyle A / (f)}$ $A / (f)$ are dimensiune $\dim A-1$ ${\ displaystyle \ dim A-1}$ $\ dim A-1$ .

Lema lui Noether poate fi folosită și pentru a demonstra teorema zero a lui Hilbert .

Geometric, lema lui Noether poate fi interpretată în termeni de hărți între varietăți afine : în acest context se afirmă că, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate afină de mărime $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , apoi există o hartă finită $\psi :X\longrightarrow \mathbb {A} ^{d}$ ${\ displaystyle \ psi: X \ longrightarrow \ mathbb {A} ^ {d}}$ $\ psi: X \ longrightarrow {\ mathbb {A}} ^ {d}$ (unde este $\mathbb {A} ^{d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^ {d}}$ ${\ mathbb {A}} ^ {d}$ este spațiul afin $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ -dimensional).

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
(EN) David Eisenbud , Algebra comutativă cu o vedere către geometria algebrică, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94269-6 .

linkuri externe

( EN ) DV Alekseevskii, Teorema Noether , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică