Varietate afină

În geometria algebrică , o varietate afină este subsetul unui spațiu afin $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional pe un algebric închis câmp $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ caracterizată prin anularea simultană a tuturor polinoamelor unui subset de $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ . O varietate deschisă (conform topologiei Zariski ) a unui soi afin se numește soi aproape afin .

Morfisme între soiuri înrudite

O funcție obișnuită pentru un soi înrudit $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o funcție $f\colon X\to k$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to k}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to k}$ astfel încât pentru fiecare punct $P\in X$ ${\ displaystyle P \ în X}$ ${\ displaystyle P \ în X}$ există un cartier al punctului în care $f(x)=g(x)/h(x)$ ${\ displaystyle f (x) = g (x) / h (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = g (x) / h (x)}$ , unde este $g,h\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle g, h \ in k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle g, h \ in k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ . Setul tuturor funcțiilor obișnuite de pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este inelul ${\mathcal {O}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$ .

Un morfism între două soiuri este o funcție $\phi \colon X\to Y$ ${\ displaystyle \ phi \ colon X \ to Y}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon X \ to Y}$ ceea ce induce un morfism al inelelor $\phi ^{\star }\colon {\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)\colon f\mapsto f\circ \phi$ ${\ displaystyle \ phi ^ {\ star} \ colon {\ mathcal {O}} (Y) \ to {\ mathcal {O}} (X) \ colon f \ mapsto f \ circ \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {\ star} \ colon {\ mathcal {O}} (Y) \ to {\ mathcal {O}} (X) \ colon f \ mapsto f \ circ \ phi}$ .

Algebră afină

Având în vedere orice set de polinoame, varietatea afină pe care o definesc este aceeași cu cea definită de ideal $I(X)$ ${\ displaystyle I (X)}$ $Eu (X)$ generate din aceste polinoame. Prin urmare, putem defini algebra afină a unei varietăți afine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dupa cum $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - algebra generată finit $A(X)=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$ ${\ displaystyle A (X) = k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] / I (X)}$ ${\ displaystyle A (X) = k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}] / I (X)}$ .

Două soiuri afine se dovedesc a fi izomorfe dacă și numai dacă algebrele lor afine sunt izomorfe. Mai mult, dacă se asociază cu fiecare varietate afină propria algebră și cu fiecare morfism $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ morfism $\phi ^{\star }$ ${\ displaystyle \ phi ^ {\ star}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {\ star}}$ , obținem un functor contravariant între categoria soiurilor înrudite și cea a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ - algebre generate finit.

Proprietate

Prin noeterianitatea inelului de polinoame, putem fi reduși la luarea în considerare a unui număr finit de polinoame.
Prin definiție, o varietate afină este închisă în conformitate cu topologia Zariski, dar ca o intersecție finită a locurilor de zerouri, este închisă și pentru topologia standard dacă $k=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle k = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle k = \ mathbb {C}}$ sau $k=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle k = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle k = \ mathbb {R}}$ .
Multiple afine formează o categorie atât cu morfisme multiple cât și cu hărți raționale .

Elemente conexe

Soi proiectiv

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică