Extensie transcendentă

În matematică , mai ales în teoria câmpurilor , o „ extensie transcendentă (sau extensie transcendentă ) este o extensie a câmpurilor care nu este algebrică , adică o extensie $F\subseteq K$ ${\ displaystyle F \ subseteq K}$ $F \ subseteq K$ astfel încât în teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ există cel puțin un element α transcendent pe $F.,$ ${\ displaystyle F,}$ ${\ displaystyle F,}$ adică nu este rădăcina vreunui polinom cu coeficienți în $F. .$ ${\ displaystyle F.}$ ${\ displaystyle F.}$

Un exemplu tipic de extensie transcendentă este $F\subseteq F(X)$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (X)}$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (X)}$ , unde este $F(X)$ ${\ displaystyle F (X)}$ ${\ displaystyle F (X)}$ este câmpul funcțiilor raționale cu coeficienți în $F.;$ ${\ displaystyle F;}$ ${\ displaystyle F;}$ alte exemple sunt extensiile $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {R}}$ Și $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ subseteq \ mathbb {C}}$ .

Independența algebrică și gradul de transcendență

Întrucât un element $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ transcendent asupra $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ nu este o soluție a vreunui polinom cu coeficienți în $F.,$ ${\ displaystyle F,}$ ${\ displaystyle F,}$ gradul de extensie $F\subseteq F(\alpha )$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (\ alpha)}$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (\ alpha)}$ este infinit; în consecință, gradul oricărei extensii transcendente este infinit, iar acest instrument nu poate fi folosit pentru a le studia. În locul său, se introduce noțiunea de grad de transcendență , obținută prin înlocuirea conceptului de independență liniară cu cel al independenței algebrice : un set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ se spune că este independent algebric pe un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ dacă nu există polinom diferit de zero $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în mai multe variabile astfel încât $P(s_{1},\ldots ,s_{n})=0$ ${\ displaystyle P (s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) = 0}$ ${\ displaystyle P (s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) = 0}$ pentru elemente $s_{1},\ldots ,s_{n}$ ${\ displaystyle s_ {1}, \ ldots, s_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {1}, \ ldots, s_ {n}}$ în $S. .$ ${\ displaystyle S.}$ ${\ displaystyle S.}$ În mod similar definiției de bază din algebra liniară, avem definiția de bază a transcendenței unei măriri $F\subseteq K$ ${\ displaystyle F \ subseteq K}$ $F \ subseteq K$ : este un subset $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este independent algebric de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este algebrică pe $F(T).$ ${\ displaystyle F (T).}$ ${\ displaystyle F (T).}$

Acest paralelism între algebră liniară și extensii transcendente nu se limitează la definiții, ci se extinde și la multe dintre proprietățile bazelor: fiecare extensie transcendentă are o bază de transcendență (chiar dacă este necesar să se asume lema Zorn pentru a o demonstra) și fiecare set de elemente independente algebric poate fi completat pe baza transcendenței prin adăugarea de alte elemente la acesta. În special, două baze ale transcendenței trebuie să aibă aceeași cardinalitate: aceasta se numește gradul de transcendență al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pe $F.,$ ${\ displaystyle F,}$ ${\ displaystyle F,}$ și este analog cu noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial .

Din definiție rezultă imediat că dacă $F\subseteq K\subseteq L$ ${\ displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ ${\ displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este algebrică pe $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ asa de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ au același grad de transcendență pe $F.;$ ${\ displaystyle F;}$ ${\ displaystyle F;}$ în special, o extensie algebrică are un grad de transcendență.

Spre deosebire de gradul de extensie, care este multiplicativ (adică dacă $F\subseteq K\subseteq L$ ${\ displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ ${\ displaystyle F \ subseteq K \ subseteq L}$ asa de $[L:F]=[K:F]\cdot [L:K]$ ${\ displaystyle [L: F] = [K: F] \ cdot [L: K]}$ ${\ displaystyle [L: F] = [K: F] \ cdot [L: K]}$ ), gradul de transcendență este aditiv, adică gradul de transcendență al $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este egală cu suma gradelor de transcendență a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și de $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ pe $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$

Extensii pur transcendente

O extensie generată de elemente independente algebric se spune că este pur transcendentă . O extensie pur transcendentă a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este izomorf pentru un câmp $F(X)$ ${\ displaystyle F (X)}$ ${\ displaystyle F (X)}$ a funcțiilor raționale , unde $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ indică un set de indeterminate independente; gradul său de transcendență este dat de cardinalitatea lui $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , sau prin numărul de indeterminate. De exemplu, extinderea $F\subseteq F(X)$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (X)}$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (X)}$ este pur transcendent cu un grad de transcendență $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , Și $F\subseteq F(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ ${\ displaystyle F \ subseteq F (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ are grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Nu toate extensiile transcendente $F\subseteq K$ ${\ displaystyle F \ subseteq K}$ $F \ subseteq K$ ele sunt pur transcendente. Acest lucru este adevărat pentru orice eventualitate $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o extensie intermediară între $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $F(X)$ ${\ displaystyle F (X)}$ ${\ displaystyle F (X)}$ ( Teorema lui Lüroth ; în special $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o extensie simplă a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ), dar nu pentru grade mai mari de transcendență; În cazul în care $F\subseteq K\subseteq F(X,Y)$ ${\ displaystyle F \ subseteq K \ subseteq F (X, Y)}$ ${\ displaystyle F \ subseteq K \ subseteq F (X, Y)}$ , rezultatul este încă valabil dacă se presupune că $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este închis algebric și $F(X,Y)$ ${\ displaystyle F (X, Y)}$ ${\ displaystyle F (X, Y)}$ este o extensie finită și separabilă a $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$

Bibliografie

Stefania Gabelli, Theory of Equations and Galois Theory , Milan, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică