Extensie simplă

În matematică și în special în teoria câmpurilor , o extensie a câmpurilor $L/K$ ${\ displaystyle L / K}$ $L / K$ o extensie simplă se numește dacă există un element $u\in L$ ${\ displaystyle u \ în L}$ ${\ displaystyle u \ în L}$ astfel încât $L=K(u)$ ${\ displaystyle L = K (u)}$ ${\ displaystyle L = K (u)}$ .

Exemple

Extensia $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ este o extensie simplă a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ (în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ).
Extensia $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\pi )$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, \ pi)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, \ pi)}$ nu este o simplă extensie a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .
Extensia $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$ este o extensie simplă a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ : apare de fapt că $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}})}$ .
Complex domeniu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ este o simplă extensie a câmpului realelor $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ : avem de fapt că $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i)$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} (i)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} (i)}$ .
Extensia $\mathbb {R} (i,i{\sqrt {3}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (i, i {\ sqrt {3}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (i, i {\ sqrt {3}})}$ este încă o simplă extensie a $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , fiind: $\mathbb {R} (i,i{\sqrt {3}})=\mathbb {R} (i)=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (i, i {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {R} (i) = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (i, i {\ sqrt {3}}) = \ mathbb {R} (i) = \ mathbb {C}}$ .

Bibliografie

Siegfried Bosch, Algebra , Springer-Verlag Italia , Milano (2003), ISBN 88-470-0221-4 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică