Extensie separabilă

În matematică , o extensie separabilă este o extensie algebrică a câmpurilor $K\subseteq L$ ${\ displaystyle K \ subseteq L}$ $K \ subseteq L$ unde polinomul minim al fiecărui element al $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este un polinom separabil . O extensie inseparabilă se numește inseparabilă .

Extensiile separabile sunt deosebit de importante în teoria Galois : de fapt, teorema corespondenței Galois , care se află în centrul teoriei, se aplică extensiilor finite care sunt separabile și normale (numite extensii Galois ).

Dacă caracteristica de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este 0, apoi toate extensiile algebrice ale lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ sunt separabile. Dacă caracteristica este un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ în schimb, pot exista extensii inseparabile: de exemplu, $\mathbb {Z} _{p}(X^{p})\subseteq \mathbb {Z} _{p}(X)$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} (X ^ {p}) \ subseteq \ mathbb {Z} _ {p} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} (X ^ {p}) \ subseteq \ mathbb {Z} _ {p} (X)}$ nu este separabil, deoarece polinomul minim al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe $\mathbb {Z} _{p}(X^{p})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} (X ^ {p})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} (X ^ {p})}$ Și $T^{p}-X^{p}$ ${\ displaystyle T ^ {p} -X ^ {p}}$ ${\ displaystyle T ^ {p} -X ^ {p}}$ , care nu este separabil. Dacă toate extensiile algebrice ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ sunt separabile, atunci $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ se spune că este un câmp perfect ; pentru cele de mai sus, fiecare câmp al caracteristicii 0 este perfect. Dacă în schimb $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ are caracteristică $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ atunci este perfect dacă și numai dacă fiecare element are o rădăcină $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -alea în câmp (adică endomorfismul lui Frobenius este surjectiv ); de exemplu, orice câmp finit este perfect.

Închiderea separabilă a unui câmp

Ansamblul tuturor elementelor din $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ separabil pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp, indicat cu $K_{s}$ ${\ displaystyle K_ {s}}$ ${\ displaystyle K_ {s}}$ , și mențiunea de închidere separabilă a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ în $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ; $K\subseteq L$ ${\ displaystyle K \ subseteq L}$ $K \ subseteq L$ este o extensie separabilă dacă și numai dacă închiderea separabilă este exactă $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Gradul $[K_{s}:K]$ ${\ displaystyle [K_ {s}: K]}$ ${\ displaystyle [K_ {s}: K]}$ se numește gradul de separabilitate a $K\subseteq L$ ${\ displaystyle K \ subseteq L}$ $K \ subseteq L$ , în timp ce coeficientul $[L:K]/[K_{s}:K]$ ${\ displaystyle [L: K] / [K_ {s}: K]}$ ${\ displaystyle [L: K] / [K_ {s}: K]}$ se numește gradul de inseparabilitate . Acesta din urmă poate fi gândit ca o modalitate de a „măsura” cât de departe este o extensie de a fi separabilă.

Bibliografie

Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică