Seria compoziției

În matematică, o serie de compoziție a unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un serial normal

1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,

{\ displaystyle 1 = H_ {0} \ triangleleft H_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft H_ {n} = G,}

{\ displaystyle 1 = H_ {0} \ triangleleft H_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft H_ {n} = G,}

astfel încât fiecare $H_{i}$ ${\ displaystyle H_ {i}}$ $Salut}$ este un subgrup normal maxim de $H_{i+1}$ ${\ displaystyle H_ {i + 1}}$ $H _ {{i + 1}}$ . În mod echivalent, o serie este o serie de compoziție dacă fiecare factor de compoziție (adică grupul coeficient $H_{i+1}/H_{i}$ ${\ displaystyle H_ {i + 1} / H_ {i}}$ $H _ {{i + 1}} / H_ {i}$ ) este un grup simplu .

O altă caracterizare este că o serie normală este o serie de compoziție dacă și numai dacă are o lungime maximă; cu alte cuvinte dacă și numai dacă nu există grupuri suplimentare care pot fi „inserate” în seria compoziției. Lungimea seriei se numește lungimea compoziției sale.

Fiecare grup finit are o serie de compoziții: aceasta urmează prin inducție în ordinea grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , as sau grupul este simplu (și, prin urmare, seria compoziției este $1\triangleleft G$ ${\ displaystyle 1 \ triangleleft G}$ ${\ displaystyle 1 \ triangleleft G}$ ) sau are un subgrup normal maxim de cardinalitate minoră. În schimb, nu toate grupurile infinite au unul: de exemplu, grupul ciclic infinit ( izomorf la mulțimea de numere întregi cu adunare) nu are o serie de compoziții.

Un grup poate avea mai multe serii de compoziții. Cu toate acestea, teorema Jordan-Hölder (numită după matematicienii Camille Jordan și Otto Hölder ) afirmă că toate seriile de compoziții ale unui grup dat sunt echivalente una cu cealaltă, adică toate seriile de compoziții au aceeași lungime și aceiași factori de compoziție, cu excepția permutărilor și izomorfisme. Teorema este dovedită folosind teorema de rafinare a lui Schreier .

De exemplu, grupul ciclic $C_{12}$ ${\ displaystyle C_ {12}}$ ${\ displaystyle C_ {12}}$ are $\{E,C_{2},C_{6},C_{12}\}$ ${\ displaystyle \ {E, C_ {2}, C_ {6}, C_ {12} \}}$ ${\ displaystyle \ {E, C_ {2}, C_ {6}, C_ {12} \}}$ , $\{E,C_{2},C_{4},C_{12}\}$ ${\ displaystyle \ {E, C_ {2}, C_ {4}, C_ {12} \}}$ ${\ displaystyle \ {E, C_ {2}, C_ {4}, C_ {12} \}}$ Și $\{E,C_{3},C_{6},C_{12}\}$ ${\ displaystyle \ {E, C_ {3}, C_ {6}, C_ {12} \}}$ ${\ displaystyle \ {E, C_ {3}, C_ {6}, C_ {12} \}}$ ca o serie de compoziții diferite. Grupurile de factori sunt izomorfe, respectiv, a $\{C_{2},C_{3},C_{2}\}$ ${\ displaystyle \ {C_ {2}, C_ {3}, C_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ {C_ {2}, C_ {3}, C_ {2} \}}$ , $\{C_{2},C_{2},C_{3}\}$ ${\ displaystyle \ {C_ {2}, C_ {2}, C_ {3} \}}$ ${\ displaystyle \ {C_ {2}, C_ {2}, C_ {3} \}}$ , Și $\{C_{3},C_{2},C_{2}\}$ ${\ displaystyle \ {C_ {3}, C_ {2}, C_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ {C_ {3}, C_ {2}, C_ {2} \}}$ .

Pentru algebre

În mod similar, o serie de compoziții pentru o algebră dimensională finită $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o succesiune finită de subalgebre

\{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}\subset A

{\ displaystyle \ {0 \} = J_ {0} \ subset \ cdots \ subset J_ {n} \ subset A}

{\ displaystyle \ {0 \} = J_ {0} \ subset \ cdots \ subset J_ {n} \ subset A}

,

unde toate incluziunile sunt corecte e $J_{k+1}$ ${\ displaystyle J_ {k + 1}}$ ${\ displaystyle J_ {k + 1}}$ este un ideal maxim de $J_{k}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ $J_ {k}$ . Ca și în cazul grupurilor, fiecare algebră finită dimensional are o serie de compoziții.

Bibliografie

( EN ) Robert B. Ash,Some Techniques Basic of Group Theory ( PDF ), în Abstract Algebra: The Basic Graduate Year , p.17-19.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică