Grup ordonat

În algebră , un grup ordonat este un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cu o relație de ordine parțială care păstrează operația de grup: dacă $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ este o relație de ordine cu ordinea pe $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , apoi pentru fiecare $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ trebuie să fie adevărat că

a\leq b

{\ displaystyle a \ leq b}

a \ leq b

implica

ac\leq bc

{\ displaystyle ac \ leq bc}

{\ displaystyle ac \ leq bc}

Și

ca\leq cb.

{\ displaystyle ca \ leq cb.}

{\ displaystyle ca \ leq cb.}

Se mai spune că $\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ este invariant sub traduceri (motivul numelui este mai evident pentru grupurile aditive).

Datorită proprietăților unui grup putem afirma caracterizarea:

a\leq b

{\ displaystyle a \ leq b}

a \ leq b

dacă și numai dacă

e\leq a^{-1}b,

{\ displaystyle and \ leq a ^ {- 1} b,}

{\ displaystyle and \ leq a ^ {- 1} b,}

unde este $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ el este elementul neutru al grupului. Setul de elemente mai mare sau egal cu $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ denotă cu $G^{+}$ ${\ displaystyle G ^ {+}}$ ${\ displaystyle G ^ {+}}$ și spunem conul pozitiv al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Întregul $G^{+}$ ${\ displaystyle G ^ {+}}$ ${\ displaystyle G ^ {+}}$ definește complet ordinea: de fapt un grup este un grup ordonat dacă și numai dacă există un subset al acestuia $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ (care va avea dreptate $G^{+}$ ${\ displaystyle G ^ {+}}$ ${\ displaystyle G ^ {+}}$ ) astfel încât:

$e\in H$ ${\ displaystyle și \ în H}$ $și \ în H$ ;
de sine $a,b\in H$ ${\ displaystyle a, b \ în H}$ ${\ displaystyle a, b \ în H}$ , asa de $ab\in H$ ${\ displaystyle ab \ în H}$ ${\ displaystyle ab \ în H}$ ;
de sine $a\in H$ ${\ displaystyle a \ în H}$ ${\ displaystyle a \ în H}$ , asa de $b^{-1}ab\in H$ ${\ displaystyle b ^ {- 1} ab \ în H}$ ${\ displaystyle b ^ {- 1} ab \ în H}$ pentru fiecare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ;
de sine $a,a^{-1}\in H$ ${\ displaystyle a, a ^ {- 1} \ în H}$ ${\ displaystyle a, a ^ {- 1} \ în H}$ , asa de $a=e$ ${\ displaystyle a = e}$ ${\ displaystyle a = e}$ .

Un homomorfism între grupuri ordonate (sau O-homomorfism ) este definit ca un homomorfism al grupurilor care este, de asemenea, o funcție monotonă .

Exemple

Un spațiu vector ordonat și un câmp ordonat sunt grupuri ordonate în mod trivial în ceea ce privește adunarea.
Produsul direct al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ copii ale grupului aditiv de numere întregi $\mathbb {Z} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $\ mathbb {Z} ^ {n}$ cu ordinul „termen la termen”, adică $a\leq b$ ${\ displaystyle a \ leq b}$ ${\ displaystyle a \ leq b}$ de sine $a_{i}\leq b_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ leq b_ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ leq b_ {i}}$ pentru fiecare $i=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ $i = 1, \ ldots, n$ , este un grup ordonat.
Setul de funcții de la orice set la un grup ordonat este un grup ordonat, cu operațiuni definite cu precizie.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică