Aproape inel

În matematică, un cvasi-inel ( near-ring în engleză) este o structură algebrică „mai slabă” decât un inel , adică cu axiome mai puțin restrictive: mai precis, nu este necesar ca suma să fie comutativă sau ca distribuția legii a produsul în raport cu suma este valabil pe ambele părți.

Vom vorbi deci despre inele cvasi- stânga se

x(y+z)=xy+xz

{\ displaystyle x (y + z) = xy + xz}

{\ displaystyle x (y + z) = xy + xz}

și a cvasi-inelelor din dreapta dacă

(y+z)x=yx+zx

{\ displaystyle (y + z) x = yx + zx}

{\ displaystyle (y + z) x = yx + zx}

.

Definiție formală

Întregul $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , echipat cu două operații binare $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ Și $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ , este un cvasi-inel (stânga) dacă se mențin următoarele axiome :

$(R,+)$ ${\ displaystyle (R, +)}$ ${\ displaystyle (R, +)}$ este un grup cu un element neutru $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ ;
$(R,\cdot )$ ${\ displaystyle (R, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (R, \ cdot)}$ este un semigrup ;
Înmulțirea din stânga este distributivă în raport cu suma: $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$ ${\ displaystyle x \ cdot (y + z) = (x \ cdot y) + (x \ cdot z)}$ ${\ displaystyle x \ cdot (y + z) = (x \ cdot y) + (x \ cdot z)}$ .

Inelele sunt ambele cvasi-stânga și dreapta.

Justificare

Deși au o definiție aparent gratuită, cvasi-inelele au un model remarcabil obținut luând în considerare toate funcțiile unui grup asupra sa.

Se va da un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și fie $M(G)$ ${\ displaystyle M (G)}$ ${\ displaystyle M (G)}$ familia tuturor funcțiilor

f\colon G\to G

{\ displaystyle f \ colon G \ to G}

{\ displaystyle f \ colon G \ to G}

din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe sine (intenționat ca un întreg).

Definim suma în $M(G)$ ${\ displaystyle M (G)}$ ${\ displaystyle M (G)}$ :

\forall f,g\in M(G){\text{ e }}x\in G{\text{ sia }}(f+g)(x)\equiv f(x)+g(x)

{\ displaystyle \ forall f, g \ in M ​​(G) {\ text {e}} x \ in G {\ text {sia}} (f + g) (x) \ equiv f (x) + g (x)}

{\ displaystyle \ forall f, g \ in M ​​(G) {\ text {e}} x \ in G {\ text {sia}} (f + g) (x) \ equiv f (x) + g (x)}

Unde $(f+g)$ ${\ displaystyle (f + g)}$ ${\ displaystyle (f + g)}$ este suma definită în $M(G)$ ${\ displaystyle M (G)}$ ${\ displaystyle M (G)}$ , in timp ce $f(x)+g(x)$ ${\ displaystyle f (x) + g (x)}$ $f (x) + g (x)$ este suma în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Definim produsul în $M(G)$ ${\ displaystyle M (G)}$ ${\ displaystyle M (G)}$ :

\forall f,g\in M(G){\text{ e }}x\in G{\text{ sia }}(f\cdot g)(x)\equiv (f\circ g)(x)

{\ displaystyle \ forall f, g \ in M ​​(G) {\ text {e}} x \ in G {\ text {sia}} (f \ cdot g) (x) \ equiv (f \ circ g ) (x)}

{\ displaystyle \ forall f, g \ in M ​​(G) {\ text {e}} x \ in G {\ text {sia}} (f \ cdot g) (x) \ equiv (f \ circ g ) (x)}

Unde $(f\cdot g)$ ${\ displaystyle (f \ cdot g)}$ ${\ displaystyle (f \ cdot g)}$ este produsul definit în $M(G)$ ${\ displaystyle M (G)}$ ${\ displaystyle M (G)}$ , in timp ce $(f\circ g)$ ${\ displaystyle (f \ circ g)}$ ${\ displaystyle (f \ circ g)}$ este compoziția obișnuită a funcțiilor.

Cu o astfel de sumă și produs am înzestrat întregul $M(G)$ ${\ displaystyle M (G)}$ ${\ displaystyle M (G)}$ a unei structuri de cvasi-inel stâng.

O teoremă de reprezentare fundamentală arată că toate cvasi-inelele sunt izomorfe pentru un sub-cvasi-inel de $M(G)$ ${\ displaystyle M (G)}$ ${\ displaystyle M (G)}$ pentru un grup adecvat $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Cvasi-inele cu unități

De sine $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ conține elementul neutru $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ decât produsul, vom spune asta $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este un cvasi-inel cu unitate .

Cvasi-inele zero-simetrice

Este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ un cvasi-inel stâng. Pentru fiecare $x\in R$ ${\ displaystyle x \ în R}$ ${\ displaystyle x \ în R}$ se aplică egalitatea $x0=0$ ${\ displaystyle x0 = 0}$ ${\ displaystyle x0 = 0}$ (Unde $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ este elementul neutru în raport cu suma), de fapt:

xx=x(x+0)=xx+x0.

{\ displaystyle xx = x (x + 0) = xx + x0.}

{\ displaystyle xx = x (x + 0) = xx + x0.}

În general, totuși, acest lucru nu este neapărat cazul $0x=0$ ${\ displaystyle 0x = 0}$ ${\ displaystyle 0x = 0}$ ; cvasi-inelele pentru care se întâmplă acest lucru, oricum alegeți $x\in R$ ${\ displaystyle x \ în R}$ ${\ displaystyle x \ în R}$ , sunt numite zerosimetrice .

Cvasi-corpuri

Un cvasi-corp este un cvasi-inel $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ale cărui elemente distincte de zero formează un grup în raport cu produsul.

Ideal într-un cvasi-inel

În mod similar cu ceea ce se face pentru inele, idealurile pot fi definite într-un cvasi-inel:

Se spune ideal (bilateral) al unui cvasi-inel stâng $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ un subset al acestuia $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ astfel încât: 1) $(I,+)$ ${\ displaystyle (I, +)}$ ${\ displaystyle (I, +)}$ este un subgrup normal de $(R,+)$ ${\ displaystyle (R, +)}$ ${\ displaystyle (R, +)}$ ; 2) $r\cdot i$ ${\ displaystyle r \ cdot i}$ ${\ displaystyle r \ cdot i}$ aparține lui $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ din $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și pentru fiecare $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ; 3) $(x+i)y-xy$ ${\ displaystyle (x + i) y-xy}$ ${\ displaystyle (x + i) y-xy}$ aparține lui $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ din $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și pentru fiecare $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ din $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Dacă numai condițiile (1) și (2) sunt îndeplinite, vom spune asta $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal sinistru ; dacă, pe de altă parte, condițiile (1) și (3) sunt îndeplinite, vom spune că $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal potrivit .

linkuri externe

Pagina principală lângă Ring ( Johannes Kepler Universität Linz )

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică