Izomorfism între grupuri

Un izomorfism între grupuri , ca orice alt izomorfism între structuri algebrice cu suport unic, este o corespondență unu-la-unu între seturile de suport a două grupuri care păstrează egalitățile în ceea ce privește operațiile care caracterizează cele două grupuri.

În mod echivalent este definit ca omomorfism între un prim grup și un al doilea care constă dintr-o bijecție între suportul primului și cel al celui de-al doilea.

Definiție formală

Să luăm în considerare două grupuri $\mathbf {G} =\langle G,\cdot ,{}^{-1},e\rangle$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ langle G, \ cdot, {} ^ {- 1} și \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ langle G, \ cdot, {} ^ {- 1} și \ rangle}$ Și $\mathbf {H} =\langle H,\otimes ,j,u\rangle$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ langle H, \ otimes, j, u \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ langle H, \ otimes, j, u \ rangle}$ . Se spune izomorfism între G și H o bijecție $\beta ~:~G\mapsto H$ ${\ displaystyle \ beta ~: ~ G \ mapsto H}$ ${\ displaystyle \ beta ~: ~ G \ mapsto H}$ astfel încât

$\forall g,h\in G~:~\beta (g\cdot h)=\beta (g)\otimes \beta (h)$ ${\ displaystyle \ forall g, h \ in G ~: ~ \ beta (g \ cdot h) = \ beta (g) \ otimes \ beta (h)}$ ${\ displaystyle \ forall g, h \ in G ~: ~ \ beta (g \ cdot h) = \ beta (g) \ otimes \ beta (h)}$ (respectarea operației binare , adică a produsului).

Se arată că un izomorfism $\,\beta$ ${\ displaystyle \, \ beta}$ ${\ displaystyle \, \ beta}$ se bucură, de asemenea, de alte două proprietăți de conservare:

$\forall g\in G~:~\beta (g^{-1})=(\beta (g))^{j}$ ${\ displaystyle \ forall g \ in G ~: ~ \ beta (g ^ {- 1}) = (\ beta (g)) ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ forall g \ in G ~: ~ \ beta (g ^ {- 1}) = (\ beta (g)) ^ {j}}$ (respectarea operației unare , adică trecerea în sens invers );
$\beta (e)\,=\,u$ ${\ displaystyle \ beta (e) \, = \, u}$ ${\ displaystyle \ beta (e) \, = \, u}$ (respectul pentru operația nulară , adică elementul unitate).

Se observă că și funcția inversă $\beta ^{-1}$ ${\ displaystyle \ beta ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ beta ^ {- 1}}$ este un izomorfism (între H și G ).

Două grupuri izomorfe , adică două grupuri între care există un izomorfism, în ceea ce privește doar rezultatele operațiilor de grup (produs, inversiune și element neutru) au același comportament și pot fi identificate. Mai precis, izomorfismul dintre grupuri este o relație de echivalență și o clasă de izomorfism între grupuri reunește grupurile care au aceleași caracteristici de grup, adică dependente doar de operațiile grupului. Din punct de vedere pur grupal, două grupuri izomorfe nu prezintă diferențe substanțiale și pot fi confundate. De fapt, atunci când sunt tratate numai caracteristicile grupului, tindem să vorbim nu despre un singur grup concret caracterizat prin anumite caracteristici constructive, ci despre un singur grup abstract care reprezintă tot concretul.

Utilitatea izomorfismelor

Izomorfismele care leagă două grupuri care au fost obținute cu construcții diferite, de exemplu, care au elementele seturilor de susținere de o natură semnificativ diferită, sunt de mare interes. În multe dintre cazurile în care se recunoaște un izomorfism între grupuri, unul devine capabil să se transfere de la un grup la altul, cu cunoștințe de efort reduse care au fost obținute cu dificultate pe un singur grup. Practic, cunoașterea unui izomorfism permite o economie de gândire atribuită disponibilității unei viziuni mai abstracte a caracteristicilor celor două structuri.

Automorfism

Un izomorfism între un grup și el însuși poate fi, de asemenea, de mare interes. Un astfel de izomorfism se numește automorfism între grupuri . Un automorfism constituie o permutare a ansamblului suport al unui grup; în plus, evident, compoziția a două automorfisme ale unui grup G respectă operațiile grupului și, prin urmare, este și un automorfism. Aceasta spune că setul de automorfisme ale lui G echipat cu compoziția dintre permutațiile suportului G , inversarea automorfismelor și automorfismul identitar al lui G constituie un grup; se numește grupul de automorfism al lui G și se notează cu $Aut(\mathbf {(} G))$ ${\ displaystyle Aut (\ mathbf {(} G))}$ ${\ displaystyle Aut (\ mathbf {(} G))}$ .

Noțiunea de automorfism este foarte generală și poate fi aplicată oricărei alte structuri algebrice și, de asemenea, structurilor non-algebrice, cum ar fi graficele . Ansamblul automorfismelor unei structuri de orice natură constituie un grup de permutări ale ansamblului de componente ale structurii. Acest fapt foarte general constituie unul dintre motivele majore pentru importanța tipului de structură a grupurilor și mai precis a importanței grupurilor de permutări.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică