Teorema rădăcinilor raționale

În algebră , teorema rădăcinilor raționale afirmă că fiecare soluție rațională a unei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi :

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0,\quad a_{i}\in \mathbb {Z}

{\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + ... + a_ {0} = 0, \ quad a_ {i} \ in \ mathbb {Z }}

{\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + ... + a_ {0} = 0, \ quad a_ {i} \ in \ mathbb {Z }}

este de forma $p/q$ ${\ displaystyle p / q}$ $p / q$ , unde este:

$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un divizor al termenului cunoscut $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$
$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este un divizor al coeficientului principal $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ .

Teorema nu oferă nicio informație cu privire la nicio rădăcină irațională sau complexă .

De exemplu, dacă avem o ecuație a formei

3x^{3}-10x^{2}+x-4=0

{\ displaystyle 3x ^ {3} -10x ^ {2} + x-4 = 0}

{\ displaystyle 3x ^ {3} -10x ^ {2} + x-4 = 0}

atunci posibilele rădăcini raționale sunt conținute în acest set:

\left\{\pm {4 \over 3},\pm {2 \over 3},\pm {1 \over 3},\pm 4,\pm 2,\pm 1\right\}

{\ displaystyle \ left \ {\ pm {4 \ over 3}, \ pm {2 \ over 3}, \ pm {1 \ over 3}, \ pm 4, \ pm 2, \ pm 1 \ right \}}

{\ displaystyle \ left \ {\ pm {4 \ over 3}, \ pm {2 \ over 3}, \ pm {1 \ over 3}, \ pm 4, \ pm 2, \ pm 1 \ right \}}

.

Dacă polinomul este monic, adică este $a_{n}=1$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ $a_ {n} = 1$ , evident, formula este simplificată prin restricționarea opțiunilor doar între separatorii termenului cunoscut. Verificarea fiecărei rădăcini posibile poate fi, de exemplu, efectuată cu teorema restului (sau cu regula lui Ruffini dacă doriți să aveți direct și direct coeficientul). Dacă nicio valoare nu satisface cerințele, atunci toate rădăcinile sale (care există prin teorema fundamentală a algebrei ) sunt iraționale sau complexe. Dimpotrivă, dacă au fost găsite $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini raționale, atunci polinomul poate fi pe deplin factorizat în polinoame liniare cu coeficienți raționali.

Demonstrație

Teorema rădăcinilor raționale este o consecință directă a lemei lui Gauss , care afirmă că dacă un polinom (cu coeficienți întregi) este factorizabil pe raționali, atunci este factorizabil și pe numere întregi.

Deci, dacă există o rădăcină rațională $p/q$ ${\ displaystyle p / q}$ $p / q$ , aceasta înseamnă că putem scrie polinomul nostru inițial ca $(qx-p)\cdot (b_{n-1}x^{n-1}+\ldots +b_{0})$ ${\ displaystyle (qx-p) \ cdot (b_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + b_ {0})}$ ${\ displaystyle (qx-p) \ cdot (b_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + b_ {0})}$ Cu toti $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ întreg. Realizarea produsului (coeficienții intermediari nu ne interesează) și exploatarea faptului că două polinoame sunt egale dacă și numai dacă toți coeficienții coincid, vom avea $a_{n}=b_{n-1}\cdot q$ ${\ displaystyle a_ {n} = b_ {n-1} \ cdot q}$ ${\ displaystyle a_ {n} = b_ {n-1} \ cdot q}$ Și $a_{0}=b_{0}\cdot p$ ${\ displaystyle a_ {0} = b_ {0} \ cdot p}$ ${\ displaystyle a_ {0} = b_ {0} \ cdot p}$ , de aici și teorema.

În caz contrar, să presupunem fracția $p/q$ ${\ displaystyle p / q}$ ${\ displaystyle p / q}$ este o rădăcină a polinomului. Putem presupune că fracția este redusă la termenii cei mai mici, adică numărul întreg $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ sunt primii printre ei. Se obține substituirea

a_{n}(p/q)^{n}+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\ldots +a_{1}(p/q)+a_{0}=0,

{\ displaystyle a_ {n} (p / q) ^ {n} + a_ {n-1} (p / q) ^ {n-1} + \ ldots + a_ {1} (p / q) + a_ { 0} = 0,}

{\ displaystyle a_ {n} (p / q) ^ {n} + a_ {n-1} (p / q) ^ {n-1} + \ ldots + a_ {1} (p / q) + a_ { 0} = 0,}

prin urmare, multiplicându-se cu $q^{n}$ ${\ displaystyle q ^ {n}}$ $q ^ {n}$ ,

a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\ldots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.

{\ displaystyle a_ {n} p ^ {n} + a_ {n-1} p ^ {n-1} q + \ ldots + a_ {1} pq ^ {n-1} + a_ {0} q ^ { n} = 0.}

{\ displaystyle a_ {n} p ^ {n} + a_ {n-1} p ^ {n-1} q + \ ldots + a_ {1} pq ^ {n-1} + a_ {0} q ^ { n} = 0.}

Acum $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ îl împarte pe primul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ prin urmare, trebuie să împartă și ultimul termen $a_{0}q^{n}$ ${\ displaystyle a_ {0} q ^ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {0} q ^ {n}}$ . De cand $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ sunt primii dintre ei, $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ trebuie să se împartă $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ . Cu un raționament similar vedem că $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ împarte $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Teorema rădăcinilor raționale , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică