Produs semidirect

În algebră , produsul semidirect este o extensie a conceptului de produs direct . La fel ca și produsul direct, un produs semi-direct din două grupuri $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot), (G_ {2}, \ star)}$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot), (G_ {2}, \ star)}$ este un grup ale cărui elemente sunt cele ale produsului cartezian $G_{1}\times G_{2}$ ${\ displaystyle G_ {1} \ times G_ {2}}$ $G_ {1} \ ori G_ {2}$ , a cărei lege a compoziției depinde și de un anumit homomorfism ales dintre homomorfisme $\psi \colon (G_{2},\star )\to \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ ${\ displaystyle \ psi \ colon (G_ {2}, \ star) \ to \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ ${\ displaystyle \ psi \ colon (G_ {2}, \ star) \ to \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ . ^[1]

Definiție

Având în vedere două grupuri $(G_{1},\cdot ),(G_{2},\star )$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot), (G_ {2}, \ star)}$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot), (G_ {2}, \ star)}$ și un homomorfism $\psi \colon (G_{2},\star )\rightarrow \mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ ${\ displaystyle \ psi \ colon (G_ {2}, \ star) \ rightarrow \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ ${\ displaystyle \ psi \ colon (G_ {2}, \ star) \ rightarrow \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ , numim produsul semi-direct al $G_{1}$ ${\ displaystyle G_ {1}}$ $G_ {1}$ Și $G_{2}$ ${\ displaystyle G_ {2}}$ $G_ {2}$ conform $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ produsul cartezian $G_{1}\times G_{2}$ ${\ displaystyle G_ {1} \ times G_ {2}}$ $G_ {1} \ ori G_ {2}$ echipat cu următoarea operație:

(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)

{\ displaystyle (a, b) * (c, d) = (a \ cdot \ psi _ {b} (c), b \ star d)}

{\ displaystyle (a, b) * (c, d) = (a \ cdot \ psi _ {b} (c), b \ star d)}

unde indicăm cu $\psi _{b}$ ${\ displaystyle \ psi _ {b}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {b}}$ automorfism $\psi (b)$ ${\ displaystyle \ psi (b)}$ ${\ displaystyle \ psi (b)}$ aparținând întregului $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ .

Produsul semi-direct al $G_{1}$ ${\ displaystyle G_ {1}}$ $G_ {1}$ Și $G_{2}$ ${\ displaystyle G_ {2}}$ $G_ {2}$ conform $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ poate fi denumit

(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )

{\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot) \ rtimes _ {\ psi} (G_ {2}, \ star)}

{\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot) \ rtimes _ {\ psi} (G_ {2}, \ star)}

.

Produs direct și semidirect

Produsul direct $(G_{1},\cdot )\times (G_{2},\star )$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot) \ times (G_ {2}, \ star)}$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot) \ times (G_ {2}, \ star)}$ este un caz particular al produsului semi-direct: cel obținut prin luarea în considerare între $(G_{2},\star )$ ${\ displaystyle (G_ {2}, \ star)}$ $(G_ {2}, \ stea)$ Și $\mathrm {Aut} ((G_{1},\cdot ))$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} ((G_ {1}, \ cdot))}$ omomorfism:

\psi (b)=\mathrm {Id} _{1},\quad \forall b\in G_{2}

{\ displaystyle \ psi (b) = \ mathrm {Id} _ {1}, \ quad \ forall b \ in G_ {2}}

{\ displaystyle \ psi (b) = \ mathrm {Id} _ {1}, \ quad \ forall b \ in G_ {2}}

unde este $\mathrm {Id} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Id} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Id} _ {1}}$ este automorfismul identitar în $(G_{1},\cdot )$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot)}$ . De fapt, operațiunea activată $(G_{1},\cdot )\rtimes _{\psi }(G_{2},\star )$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot) \ rtimes _ {\ psi} (G_ {2}, \ star)}$ ${\ displaystyle (G_ {1}, \ cdot) \ rtimes _ {\ psi} (G_ {2}, \ star)}$ va fi în acest moment:

$(a,b)*(c,d)=(a\cdot \psi _{b}(c),b\star d)=(a\cdot \mathrm {Id} _{1}(c),b\star d)=(a\cdot c,b\star d).$ ${\ displaystyle (a, b) * (c, d) = (a \ cdot \ psi _ {b} (c), b \ star d) = (a \ cdot \ mathrm {Id} _ {1} (c ), b \ stea d) = (a \ cdot c, b \ stea d).}$ ${\ displaystyle (a, b) * (c, d) = (a \ cdot \ psi _ {b} (c), b \ star d) = (a \ cdot \ mathrm {Id} _ {1} (c ), b \ stea d) = (a \ cdot c, b \ stea d).}$

Aceasta, de fapt, nu este altceva decât funcționarea produsului direct.

Teorema descompunerii într-un produs semi-direct

Este $(G,*)$ ${\ displaystyle (G, *)}$ $(G, *)$ un grup și sunt $H., K.$ ${\ displaystyle H, K}$ ${\ displaystyle H, K}$ două dintre subgrupurile sale.

De sine:

$H\triangleleft G$ ${\ displaystyle H \ triangleleft G}$ ${\ displaystyle H \ triangleleft G}$ ( $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este normal în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ),
$G=HK=\{h*k\mid h\in H,k\in K\},$ ${\ displaystyle G = HK = \ {h * k \ mid h \ în H, k \ în K \},}$ ${\ displaystyle G = HK = \ {h * k \ mid h \ în H, k \ în K \},}$
$H\cap K=\{e\},$ ${\ displaystyle H \ cap K = \ {e \},}$ ${\ displaystyle H \ cap K = \ {e \},}$

asa de $G\cong H\rtimes _{\psi }K$ ${\ displaystyle G \ cong H \ rtimes _ {\ psi} K}$ ${\ displaystyle G \ cong H \ rtimes _ {\ psi} K}$ , unde este $\psi _{k}(h)=khk^{-1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {k} (h) = khk ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {k} (h) = khk ^ {- 1}}$ (adică fiecare element este mapat din $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ în automorfismul conjugat respectiv).

Izomorfismul dintre $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $H\rtimes _{\psi }K$ ${\ displaystyle H \ rtimes _ {\ psi} K}$ ${\ displaystyle H \ rtimes _ {\ psi} K}$ va fi cel care trimite elementul generic $h*k$ ${\ displaystyle h * k}$ ${\ displaystyle h * k}$ în $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ .

Exemple de grupuri semidirecte

Având în vedere un grup care are ordine $p q$ ${\ displaystyle pq}$ $pq$ , cu $p, q$ ${\ displaystyle p, q}$ ${\ displaystyle p, q}$ numere prime distincte, $p<q$ ${\ displaystyle p <q}$ $p <q$ , acesta, pentru teorema enunțată și pentru teoremele lui Sylow ^[2] , va fi descompozibil ca:
$\mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}.$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {q} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {p}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {q} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {p}.}$
În special, dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ nu împarte $|\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})|=\varphi (q)=q-1$ ${\ displaystyle | \ mathrm {Aut} (\ mathbb {Z} _ {q}) | = \ varphi (q) = q-1}$ ${\ displaystyle | \ mathrm {Aut} (\ mathbb {Z} _ {q}) | = \ varphi (q) = q-1}$ ( $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este funcția lui Euler φ ), singurul homomorfism dintre $\mathbb {Z} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _ {p}$ Și $\mathrm {Aut} (\mathbb {Z} _{q})$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathbb {Z} _ {q})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathbb {Z} _ {q})}$ este ceea ce mapează fiecare element în funcția de identitate și, prin urmare, într-un astfel de caz
$G\cong \mathbb {Z} _{q}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} _{q}\times \mathbb {Z} _{p}$ ${\ displaystyle G \ cong \ mathbb {Z} _ {q} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {p} = \ mathbb {Z} _ {q} \ times \ mathbb {Z} _ { p}}$ ${\ displaystyle G \ cong \ mathbb {Z} _ {q} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {p} = \ mathbb {Z} _ {q} \ times \ mathbb {Z} _ { p}}$
Fiecare grup diedru $D.$ $n$ {\ displaystyle D_ {n}} $D_n$ este izomorf la următorul produs semi-direct:
$\mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\psi }\mathbb {Z} _{2},$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {2},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {2},}$
unde este $ψ$ $($ $0$ $)$ {\ displaystyle \ psi (0)} ${\ displaystyle \ psi (0)}$ este identitatea pe $Z$ $n$ {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}} $\ mathbb {Z} _ {n}$ Și $ψ$ $($ $1$ $)$ {\ displaystyle \ psi (1)} ${\ displaystyle \ psi (1)}$ este aplicația care trimite fiecare element $m$ {\ displaystyle m} $m$ din $Z$ $n$ {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}} $\ mathbb {Z} _ {n}$ în opusul său $-$ $m$ {\ displaystyle -m} ${\ displaystyle -m}$ . ^[3] În special un izomorfism $ϕ$ $:$ $D.$ $n$ $\to$ $Z$ $n$ $⋊$ $ψ$ $Z$ $2$ {\ displaystyle \ phi \ colon D_ {n} \ rightarrow \ mathbb {Z} _ {n} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {2}} ${\ displaystyle \ phi \ colon D_ {n} \ rightarrow \ mathbb {Z} _ {n} \ rtimes _ {\ psi} \ mathbb {Z} _ {2}}$ este astfel încât:
- $\phi (r)=(1,0),$ ${\ displaystyle \ phi (r) = (1,0),}$ ${\ displaystyle \ phi (r) = (1,0),}$
- $\phi (s)=(0,1),$ ${\ displaystyle \ phi (s) = (0,1),}$ ${\ displaystyle \ phi (s) = (0,1),}$
și prin urmare ^[4]
$\phi (r^{h}s^{k})=(h,k),$ ${\ displaystyle \ phi (r ^ {h} s ^ {k}) = (h, k),}$ ${\ displaystyle \ phi (r ^ {h} s ^ {k}) = (h, k),}$
unde este $r$ $,$ $s$ {\ displaystyle r, s} ${\ displaystyle r, s}$ sunt respectiv o rotație a unghiului minim și o simetrie fixă.
Grupul Poincaré , grupul de izometrie spațiu-timp Minkowski , este produsul semi-direct al traducerilor și transformărilor Lorentz
Grupul fundamental al sticlei Klein poate fi scris în formă
$\langle a,b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle ,$ ${\ displaystyle \ langle a, b \ mid aba ^ {- 1} = b ^ {- 1} \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle a, b \ mid aba ^ {- 1} = b ^ {- 1} \ rangle,}$
și, prin urmare, este un produs semi-direct al grupului de numere întregi, $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , cu el însuși.

Proprietate

În timp ce produsul direct al a două grupuri abeliene este întotdeauna abelian, nu același lucru se poate spune despre produsul semidirect (un exemplu este dat de grupurile diedre, deoarece $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ este non-abelian pentru fiecare $n\geq 3$ ${\ displaystyle n \ geq 3}$ $n \ geq 3$ ), și într-adevăr, un produs semidirect din două grupuri abeliene este abelian dacă și numai dacă produsul direct coincide cu produsul semidirect.

Notă

^ Dat un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , este indicat cu $\mathrm {Aut} (G)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (G)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (G)}$ grupul de automorfisme ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ( izomorfisme ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în sine), dotat cu operația de compoziție .
^ Observăm că într-adevăr un subgrup de ordine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ există și va fi normal așa cum este caracteristic .
^ Văzut în grupul diedru, $\psi _{s}(r)=srs^{-1}=r^{-1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {s} (r) = srs ^ {- 1} = r ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {s} (r) = srs ^ {- 1} = r ^ {- 1}}$
^ Ființă $r, s$ ${\ displaystyle r, s}$ ${\ displaystyle r, s}$ generatoare pentru întregul grup diedru, izomorfismul este bine definit prin simpla definire a imaginilor lor.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Dat un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , este indicat cu $\mathrm {Aut} (G)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (G)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (G)}$ grupul de automorfisme ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ( izomorfisme ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în sine), dotat cu operația de compoziție .

[2] Observăm că într-adevăr un subgrup de ordine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ există și va fi normal așa cum este caracteristic .

[3] Văzut în grupul diedru, $\psi _{s}(r)=srs^{-1}=r^{-1}$ ${\ displaystyle \ psi _ {s} (r) = srs ^ {- 1} = r ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {s} (r) = srs ^ {- 1} = r ^ {- 1}}$

[4] Ființă $r, s$ ${\ displaystyle r, s}$ ${\ displaystyle r, s}$ generatoare pentru întregul grup diedru, izomorfismul este bine definit prin simpla definire a imaginilor lor.

[1]

[2]

[3]

[4]