Subgrup caracteristic

În matematică , un subgrup caracteristic al unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un subgrup $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ astfel încât $\phi (H)=H$ ${\ displaystyle \ phi (H) = H}$ ${\ displaystyle \ phi (H) = H}$ pentru fiecare automorfism $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Exemple de subgrupuri caracteristice sunt subgrupul trivial $\{e\}$ ${\ displaystyle \ {e \}}$ $\{Și\}$ format doar din elementul neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în sine, centrul și subgrupul derivat al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Exemple

Centrul unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este întotdeauna un subgrup caracteristic. Într-adevăr, dat un element $g\in Z(G)$ ${\ displaystyle g \ in Z (G)}$ ${\ displaystyle g \ in Z (G)}$ , avem asta $(\forall h\in G)gh=hg$ ${\ displaystyle (\ forall h \ in G) gh = hg}$ ${\ displaystyle (\ forall h \ in G) gh = hg}$ . Dar apoi, dat $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ automorfism, avem asta $\forall h\in G$ ${\ displaystyle \ forall h \ în G}$ ${\ displaystyle \ forall h \ în G}$ :

\phi (g)h=\phi (g)\phi (\phi ^{-1}(h))=\phi (g\phi ^{-1}(h))=\phi (\phi ^{-1}(h)g)=\phi (\phi ^{-1}(h))\phi (g)=h\phi (g)

{\ displaystyle \ phi (g) h = \ phi (g) \ phi (\ phi ^ {- 1} (h)) = \ phi (g \ phi ^ {- 1} (h)) = \ phi (\ phi ^ {- 1} (h) g) = \ phi (\ phi ^ {- 1} (h)) \ phi (g) = h \ phi (g)}

{\ displaystyle \ phi (g) h = \ phi (g) \ phi (\ phi ^ {- 1} (h)) = \ phi (g \ phi ^ {- 1} (h)) = \ phi (\ phi ^ {- 1} (h) g) = \ phi (\ phi ^ {- 1} (h)) \ phi (g) = h \ phi (g)}

adică

\phi (g)\in Z(G)

{\ displaystyle \ phi (g) \ în Z (G)}

{\ displaystyle \ phi (g) \ în Z (G)}

.

Subgrupul derivat al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , adică subgrupul generat de comutatoare , este caracteristic, deoarece imaginea fiecărui comutator este încă un comutator; mai precis,

\phi ([g,h])=[\phi (g),\phi (h)]

{\ displaystyle \ phi ([g, h]) = [\ phi (g), \ phi (h)]}

{\ displaystyle \ phi ([g, h]) = [\ phi (g), \ phi (h)]}

.

Mai general, fiecare element din: serie centrală descendentă, serie centrală ascendentă, serie derivată, $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Serie descendentă, seria Jennings este un subgrup caracteristic.

De sine $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este singurul subgrup al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ de o anumită cardinalitate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este caracteristic, pentru că pentru fiecare automorfism $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ imaginea $\phi (H)$ ${\ displaystyle \ phi (H)}$ ${\ displaystyle \ phi (H)}$ este încă un subgrup de cardinalitate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Această condiție nu este necesară: de exemplu, dacă $G=D_{4}=\langle \sigma ,\tau \rangle$ ${\ displaystyle G = D_ {4} = \ langle \ sigma, \ tau \ rangle}$ ${\ displaystyle G = D_ {4} = \ langle \ sigma, \ tau \ rangle}$ este grupul diedru cu 8 elemente (unde $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este rotația și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ o reflecție), atunci $\langle \sigma ^{2}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ sigma ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ sigma ^ {2} \ rangle}$ este un subgrup caracteristic (fiind centrul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ) care are ordinea 2, în timp ce $\langle \tau \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ tau \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ tau \ rangle}$ este un subgrup necaracteristic de ordinul 2.

Fiecare subgrup al unui grup ciclic finit este caracteristic (deoarece nu există alții cu aceeași cardinalitate).

Subgrup de torsiune și subgrupul de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -răsucire

Subgrup de Frattini

Proprietate

Fiecare subgrup caracteristic este normal ; acest lucru rezultă din faptul că un subgrup este normal în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ dacă și numai dacă este fixat de orice automorfism intern . În schimb, un subgrup normal poate să nu fie caracteristic: de exemplu, produsul direct $G=\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle G = \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ este abelian , deci toate subgrupurile sale sunt normale, dar aplicația $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , definit de

\phi ((a,b))=(b,a)

{\ displaystyle \ phi ((a, b)) = (b, a)}

{\ displaystyle \ phi ((a, b)) = (b, a)}

este un automorfism care trimite subgrupul

\langle (1,0)\rangle

{\ displaystyle \ langle (1,0) \ rangle}

{\ displaystyle \ langle (1,0) \ rangle}

în

\langle (0,1)\rangle

{\ displaystyle \ langle (0,1) \ rangle}

{\ displaystyle \ langle (0,1) \ rangle}

, nu în sine.

Lasa-i sa fie $K<H<G$ ${\ displaystyle K <H <G}$ ${\ displaystyle K <H <G}$ . De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este caracteristică în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este caracteristică în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este, de asemenea, în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Cu toate acestea, doar una dintre cele două ipoteze nu este suficientă: nici un subgrup care nu este caracteristic unui subgrup caracteristic, nici un subgrup care este caracteristic unui subgrup care nu este caracteristic nu sunt neapărat caracteristici.

Bibliografie

Antonio Machì, Grupuri , Springer, 2007, ISBN 978-88-470-0622-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică