Grup sporadic

În matematică și în special în teoria grupurilor, prin grup sporadic înțelegem un grup finit simplu, care este unul dintre cele 26 de cazuri excepționale ale teoremei de clasificare a grupurilor simple finite . De fapt, această teoremă afirmă că, dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup finit simplu atunci, $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și

un grup cu un număr prim de elemente sau
un grup alternativ $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai mare ca $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ , sau
un grup de tip Lie sau
unul dintre cele 26 de grupuri sporadice.

Primele cinci grupuri sporadice au fost descoperite de Emile Léonard Mathieu în 1861 și 1873 . Cele ulterioare au fost descoperite între 1965 și 1975 , numite în general după descoperitorii lor.

Datorită structurii lor anormale, grupurile sporadice sunt obiecte matematice care prezintă încă aspecte misterioase și, probabil, pline de consecințe interesante. În acest sens, merită menționată problema Monstrous Moonshine pentru Monstrul rezolvat recent de Richard Borcherds .

Lista și ordinele grupurilor sporadice

Cele cinci grupe ale lui Mathieu :

$M_{11}$ ${\ displaystyle M_ {11}}$ $M _ {{11}}$ , de ordine $2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 11;$ ${\ displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 11;}$ $2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 11;$
$M_{12}$ ${\ displaystyle M_ {12}}$ $M _ {{12}}$ , de ordine $2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 11;$ ${\ displaystyle 2 ^ {6} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 11;}$ $2 ^ {6} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 11;$
$M_{22}$ ${\ displaystyle M_ {22}}$ $M _ {{22}}$ , de ordine $2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11;$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11;}$ $2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11;$
$M_{23}$ ${\ displaystyle M_ {23}}$ $M _ {{23}}$ , de ordine $2^{7}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23;$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23;}$ $2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23;$
$M_{24}$ ${\ displaystyle M_ {24}}$ $M _ {{24}}$ , de ordine $2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 23.$ ${\ displaystyle 2 ^ {10} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23.}$ $2 ^ {{10}} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23.$

Cele patru grupuri ale lui Janko :

$J_{1}$ ${\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ , de ordine $2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 19;$ ${\ displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 19;}$ $2 ^ {3} \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 19;$
$J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ , de ordine $2^{7}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7;$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7;}$ $2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7;$
$J_{3}$ ${\ displaystyle J_ {3}}$ $J_ {3}$ , de ordine $2^{7}\cdot 3^{5}\cdot 5\cdot 17\cdot 19;$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {5} \ cdot 5 \ cdot 17 \ cdot 19;}$ $2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {5} \ cdot 5 \ cdot 17 \ cdot 19;$
$J_{4}$ ${\ displaystyle J_ {4}}$ $J_ {4}$ , de ordine $2^{21}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11^{3}\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 43.$ ${\ displaystyle 2 ^ {21} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 ^ {3} \ cdot 23 \ cdot 29 \ cdot 31 \ cdot 37 \ cdot 43.}$ $2 ^ {{21}} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 ^ {3} \ cdot 23 \ cdot 29 \ cdot 31 \ cdot 37 \ cdot 43.$

Cele trei grupuri ale lui Conway :

$Co_{3}$ ${\ displaystyle Co_ {3}}$ $Co_ {3}$ , de ordine $2^{10}\cdot 3^{7}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;$ ${\ displaystyle 2 ^ {10} \ cdot 3 ^ {7} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23;}$ $2 ^ {{10}} \ cdot 3 ^ {7} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23;$
$Co_{2}$ ${\ displaystyle Co_ {2}}$ $Co_ {2}$ , de ordine $2^{18}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11\cdot 23;$ ${\ displaystyle 2 ^ {18} \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23;}$ $2 ^ {{18}} \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 23;$
$Co_{1}$ ${\ displaystyle Co_ {1}}$ $Co_ {1}$ , de ordine $2^{21}\cdot 3^{9}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 23.$ ${\ displaystyle 2 ^ {21} \ cdot 3 ^ {9} \ cdot 5 ^ {4} \ cdot 7 ^ {2} \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 23.}$ $2 ^ {{21}} \ cdot 3 ^ {9} \ cdot 5 ^ {4} \ cdot 7 ^ {2} \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 23.$

Grupul Higman-Sims :

$H. S.$ ${\ displaystyle HS}$ $HS$ , de ordine $2^{9}\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}\cdot 7.$ ${\ displaystyle 2 ^ {9} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7.}$ $2 ^ {9} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7.$

Grupul lui McLaughlin :

$H. S.$ ${\ displaystyle HS}$ $HS$ , de ordine $2^{7}\cdot 3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11.$ ${\ displaystyle 2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 11.}$ $2 ^ {7} \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 11.$

Grupul Suzuki :

$S. tu z$ ${\ displaystyle Suz}$ $Suz$ , de ordine $2^{13}\cdot 3^{7}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13.$ ${\ displaystyle 2 ^ {13} \ cdot 3 ^ {7} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 13.}$ ${\ displaystyle 2 ^ {13} \ cdot 3 ^ {7} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 13.}$

Grupul lui Held :

$H. Și$ ${\ displaystyle He}$ $El$ , de ordine $2^{10}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 17.$ ${\ displaystyle 2 ^ {10} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 17.}$ $2 ^ {{10}} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 17.$

Grupul Lyon :

$L y$ ${\ displaystyle Ly}$ $Te iubesc$ , de ordine $2^{8}\cdot 3^{7}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 31\cdot 37\cdot 67.$ ${\ displaystyle 2 ^ {8} \ cdot 3 ^ {7} \ cdot 5 ^ {6} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 31 \ cdot 37 \ cdot 67.}$ ${\ displaystyle 2 ^ {8} \ cdot 3 ^ {7} \ cdot 5 ^ {6} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 31 \ cdot 37 \ cdot 67.}$

Grupul lui Rudvalis :

$R. tu$ ${\ displaystyle Ru}$ $Ru$ , de ordine $2^{14}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13\cdot 29.$ ${\ displaystyle 2 ^ {14} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 13 \ cdot 29.}$ $2 ^ {{14}} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 \ cdot 13 \ cdot 29.$

Grupul lui O'Nan :

${SAU}^{'} Nu.$ ${\ displaystyle O'N}$ $PE$ , de ordine $2^{9}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 19\cdot 31.$ ${\ displaystyle 2 ^ {9} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 5 \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 11 \ cdot 19 \ cdot 31.}$ $2 ^ {9} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 5 \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 11 \ cdot 19 \ cdot 31.$

Cele trei grupe Fischer :

$Fi_{22}$ ${\ displaystyle Fi_ {22}}$ $Fi _ {{22}}$ , de ordine $2^{17}\cdot 3^{9}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13;$ ${\ displaystyle 2 ^ {17} \ cdot 3 ^ {9} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 13;}$ $2 ^ {{17}} \ cdot 3 ^ {9} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 13;$
$Fi_{23}$ ${\ displaystyle Fi_ {23}}$ $Fi _ {{23}}$ , de ordine $2^{18}\cdot 3^{13}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23;$ ${\ displaystyle 2 ^ {18} \ cdot 3 ^ {13} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 17 \ cdot 23;}$ $2 ^ {{18}} \ cdot 3 ^ {{13}} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 17 \ cdot 23;$
$Fi_{24}'$ ${\ displaystyle Fi_ {24} '}$ $Fi _ {{24}} '$ , de ordine $2^{21}\cdot 3^{16}\cdot 5^{2}\cdot 7^{3}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 29.$ ${\ displaystyle 2 ^ {21} \ cdot 3 ^ {16} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 17 \ cdot 23 \ cdot 29.}$ $2 ^ {{21}} \ cdot 3 ^ {{16}} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 ^ {3} \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 17 \ cdot 23 \ cdot 29.$

Grupul Harada-Norton :

$H. Nu.$ ${\ displaystyle HN}$ $HN$ , de ordine $2^{14}\cdot 3^{6}\cdot 5^{6}\cdot 7\cdot 11\cdot 19.$ ${\ displaystyle 2 ^ {14} \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5 ^ {6} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 19.}$ $2 ^ {{14}} \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5 ^ {6} \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 19.$

Grupul lui Thompson :

$T. h$ ${\ displaystyle Th}$ $Th$ , de ordine $2^{15}\cdot 3^{10}\cdot 5^{3}\cdot 7^{2}\cdot 13\cdot 19\cdot 31.$ ${\ displaystyle 2 ^ {15} \ cdot 3 ^ {10} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 ^ {2} \ cdot 13 \ cdot 19 \ cdot 31.}$ $2 ^ {{15}} \ cdot 3 ^ {{10}} \ cdot 5 ^ {3} \ cdot 7 ^ {2} \ cdot 13 \ cdot 19 \ cdot 31.$

Baby Monster :

$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , de ordine $2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47.$ ${\ displaystyle 2 ^ {41} \ cdot 3 ^ {13} \ cdot 5 ^ {6} \ cdot 7 ^ {2} \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 17 \ cdot 19 \ cdot 23 \ cdot 31 \ cdot 47 .}$ ${\ displaystyle 2 ^ {41} \ cdot 3 ^ {13} \ cdot 5 ^ {6} \ cdot 7 ^ {2} \ cdot 11 \ cdot 13 \ cdot 17 \ cdot 19 \ cdot 23 \ cdot 31 \ cdot 47 .}$

Monstrul Fischer-Griess:

$M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , de ordine $2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^{9}\cdot 7^{6}\cdot 11^{2}\cdot 13^{3}\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71.$ ${\ displaystyle 2 ^ {46} \ cdot 3 ^ {20} \ cdot 5 ^ {9} \ cdot 7 ^ {6} \ cdot 11 ^ {2} \ cdot 13 ^ {3} \ cdot 17 \ cdot 19 \ cdot 23 \ cdot 29 \ cdot 31 \ cdot 41 \ cdot 47 \ cdot 59 \ cdot 71.}$ $2 ^ {{46}} \ cdot 3 ^ {{20}} \ cdot 5 ^ {9} \ cdot 7 ^ {6} \ cdot 11 ^ {2} \ cdot 13 ^ {3} \ cdot 17 \ cdot 19 \ cdot 23 \ cdot 29 \ cdot 31 \ cdot 41 \ cdot 47 \ cdot 59 \ cdot 71.$

Relațiile dintre grupurile sporadice

Poate fi interesant de observat că, spre deosebire de ceea ce ar putea sugera numele lor, grupurile sporadice au legături diferite între ele și cu alte grupuri simple finite. De exemplu $M_{11}$ ${\ displaystyle M_ {11}}$ $M _ {{11}}$ poate fi construit din excepționalul automorfism extern al $Alt_{6}$ ${\ displaystyle Alt_ {6}}$ $Alt_ {6}$ și toate grupurile Mathieu pot fi construite recursiv ca grupuri de automorfism ale sistemelor Steiner . $Co_{1}$ ${\ displaystyle Co_ {1}}$ $Co_ {1}$ este modulul coeficient un centru de ordine $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ a grupului de automorfism al rețelei Leech (o rețea întreagă $24$ ${\ displaystyle 24}$ $24$ -dimensională a unui spațiu euclidian de dimensiune 24). Ca stabilizatori ai anumitor sub-rețele de dimensiuni $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ a rețelei lipitoare poate fi găsită $Co_{2}$ ${\ displaystyle Co_ {2}}$ $Co_ {2}$ , $Co_{3}$ ${\ displaystyle Co_ {3}}$ $Co_ {3}$ , $M. c L$ ${\ displaystyle McL}$ $McL$ , $H. S.$ ${\ displaystyle HS}$ $HS$ , și ca anumite subgrupuri locale de $Co_{1}$ ${\ displaystyle Co_ {1}}$ $Co_ {1}$ , de asemenea $J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ Și $S. tu z$ ${\ displaystyle Suz}$ $Suz$ . Mai mult, rețeaua Leech poate fi construită pornind de la sistemul Steiner $S(24,8,5)$ ${\ displaystyle S (24,8,5)}$ $S (24.8.5)$ asociat cu $M_{24}$ ${\ displaystyle M_ {24}}$ $M _ {{24}}$ . Exclus i $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ grupuri $J_{1}$ ${\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ , ${SAU}^{'} Nu.$ ${\ displaystyle O'N}$ $PE$ , $J_{3}$ ${\ displaystyle J_ {3}}$ $J_ {3}$ , $L y$ ${\ displaystyle Ly}$ $Te iubesc$ , $R. tu$ ${\ displaystyle Ru}$ $Ru$ Și $J_{4}$ ${\ displaystyle J_ {4}}$ $J_ {4}$ (așa-numiții Pariași), cei rămași $20$ ${\ displaystyle 20}$ $20$ grupurile sporadice sunt conținute ca secțiuni în Monstru și mulți dintre aceștia apar ca factori de compoziție în subgrupurile locale ale Monstrului: de exemplu Monstrul Copilului și $Co_{1}$ ${\ displaystyle Co_ {1}}$ $Co_ {1}$ ele apar ca coeficienți centralizatori ai elementelor de comandă adecvate $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ a Monstrului, în mod similar în normalizatoarele subgrupurilor de ordine $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ apărea $Fi_{24}'$ ${\ displaystyle Fi_ {24} '}$ $Fi _ {{24}} '$ Și $S. tu z$ ${\ displaystyle Suz}$ $Suz$ și, pentru subgrupuri de comenzi adecvate $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ , $7$ ${\ displaystyle 7}$ $7$ Și $11$ ${\ displaystyle 11}$ $11$ pot fi găsite în mod similar, respectiv $J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ , $H. Și$ ${\ displaystyle He}$ $El$ Și $M_{12}$ ${\ displaystyle M_ {12}}$ $M _ {{12}}$ . În mod similar, în secțiunile subgrupului local din Baby Monster puteți găsi, de asemenea: $Co_{2}$ ${\ displaystyle Co_ {2}}$ $Co_ {2}$ Și $H. Nu.$ ${\ displaystyle HN}$ $HN$ în elementele centralizatoare ale ordinii $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , $Fi_{22}$ ${\ displaystyle Fi_ {22}}$ $Fi _ {{22}}$ în normalizatoarele elementelor de ordine adecvate $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ Și $H. S.$ ${\ displaystyle HS}$ $HS$ în cele de ordine $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ .

Bibliografie

Michael Aschbacher : Grupuri sporadice Cambridge University Press, Cambridge 1994
John Horton Conway : Un grup perfect de ordin 8,315,553,613,086,720,000 și grupurile simple sporadice , Proc. Nat. Acad. Sci. USA 61 (1968), 398-400.
John Horton Conway , JH; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; Wilson, RA, Atlasul grupurilor finite. Subgrupuri maxime și caractere obișnuite pentru grupuri simple. Cu asistență de calcul de la JG Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon Clasificarea grupurilor simple finite, Memoriile numărul 3 Amer. Matematica. Soc. Vol. 40 numărul 3, 1998
Robert L. Griess : „Douăsprezece grupuri sporadice”, Springer-Verlag, 1998.

linkuri externe

Grup sporadic în MathWorld
Atlasul reprezentărilor grupurilor finite: grupuri sporadice , la brauer.maths.qmul.ac.uk .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică