Grupul lui Mathieu

În matematică , grupurile Mathieu sunt 5 grupuri finite simple descoperite în 1860 și 1873 de matematicianul francez Émile Mathieu . Aceste grupuri sunt notate cu M _n , unde n pot lua valorile 11, 12, 22, 23 și 24. În general, acestea sunt considerate ca grupuri de permutări de n puncte. Au fost primele grupuri sporadice identificate.

Mai multe grupuri tranzitive

Grupurile Mathieu sunt exemple de grupuri tranzitive multiple . Pentru un număr întreg pozitiv k , un grup de permutații G care acționează asupra n puncte se spune că este k-tranzitiv dacă pentru fiecare pereche de seturi de k puncte { a ₁ , ... a _k } și { b ₁ , ... b _k } (cu toate a _i reciproc distincte și toate b _i reciproc distincte), în grupul G există un element g care pentru fiecare i = 1, ..., k conduce la _i în b _i .

Grupurile M ₂₄ și M ₁₂ sunt 5-tranzitive, grupurile M ₂₃ și M ₁₁ sunt 4-tranzitive și M ₂₂ este 3-tranzitive.

Din clasificarea grupurilor finite simple rezultă că singurele k -transitive pentru k mai mari sau egale cu 4 sunt grupurile simetrice și grupurile alternante (având grade k și respectiv k -2) și grupurile Mathieu M ₂₄ , M ₂₃ , M ₁₂ și M ₁₁ .

Comenzi

Două realizări ale grupurilor lui Mathieu

Grup de automorfisme ale sistemelor Steiner

Dacă nu există o relație de echivalență , există un singur sistem Steiner S (5,8,24). Grupul M ₂₄ este grupul de automorfisme ale acestui sistem; cu alte cuvinte, este setul de permutări care conduc fiecare bloc către un alt bloc. M ₂₃ și M ₂₂ sunt definite ca subgrupurile lui M ₂₄ care sunt stabilizator cu un singur punct și respectiv stabilizator cu două puncte.

În mod similar, dacă nu există o echivalență, există un singur sistem Steiner S (5,6,12) și grupul M ₁₂ este grupul său de automorfisme; M ₁₁ este subgrupul său de stabilizare cu un singur punct.

Grup de automorfisme ale codului binar Golay

Grupul M ₂₄ poate fi realizat și ca un grup al automorfismelor codului binar Golay W. Amintiți-vă că acest cod este un set de 1024 secvențe binare (cuvinte cod) plasate în spațiul V = F ₂ ²⁴ din secvențele de 24 de biți. M ₂₄ poate fi văzut ca grupul de permutații ale coordonatelor lui V care transformă W în sine. De asemenea, putem considera M ₂₄ ca fiind intersecția lui S ₂₄ cu stabilizatorul Stab ( W ) în grupul de automorfisme Aut ( V ).

Subgrupurile simple M ₂₃ , M ₂₂ , M ₁₂ și M ₁₁ pot fi definite, respectiv, ca stabilizatori în S ₂₄ a unei singure coordonate, a unei perechi ordonate de coordonate, a unui subset de 12 elemente ale setului de coordonate corespunzător unei cuvânt de cod, al unui cuvânt de cod cu 12 elemente împreună cu o singură coordonată.

Bibliografie

• John H. Conway , R. T Curtis, SP Norton, RA Parker, RA Wilson (1985): Atlasul grupurilor finite. Subgrupuri maxime și caractere obișnuite pentru grupuri simple. Cu asistență de calcul de la JG Thackray. Eynsham: Oxford University Press. ISBN 0-19-853199-0

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre grupul lui Mathieu

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică