Clasificarea grupurilor simple finite
Clasificarea grupurilor finite simple , numită și enorma teoremă , este un rezultat care poate fi considerat una dintre cele mai semnificative teoreme ale secolului al XX-lea, dacă nu, așa cum a afirmat matematicianul Daniel Gorenstein , unul dintre cele mai importante rezultate ale matematicii. .
Grupurile finite simple sunt cele care nu conțin subgrupuri normale proprii (care nu pot fi împărțite în grupuri mai mici); în teoria grupurilor finite joacă un rol similar cu cel al primilor în aritmetică .
Orice număr natural mai mare de 1 poate fi descompus în factori primi și factorizarea este în esență unică ; în mod similar, se întâmplă pentru descompunerea fiecărui grup finit în grupuri simple.
Teorema corespunzătoare („clasificare”) arată că, cu excepția izomorfismelor , fiecare grup finit simplu trebuie să aparțină uneia dintre următoarele clase :
- grup ciclic de ordinul întâi, adică un grup finit comutativ simplu
- grup alternativ de cel puțin gradul cinci, adică un grup de permutări ale unui set de cel puțin cinci elemente
- grup liniar clasic ( grup liniar special proiectiv , simplectic , ortogonal sau unitar pe un câmp finit )
- Grup de tip Lie . Ar include, de exemplu, grupul Tits .
- grupuri sporadice , care nu se încadrează într-o anumită familie. Cei cunoscuți au aproximativ 26 de ani.
De unii grupul Tits este considerat un grup sporadic, deoarece nu este cu adevărat un grup de tip Lie (în acest caz grupurile sporadice cunoscute ar deveni 27).
Grupurile sporadice
Cinci grupuri sporadice au fost descoperite de Émile Mathieu în jurul anului 1860 , în timp ce celelalte 21 au fost descoperite între 1965 și 1975 . Existența multora dintre aceste grupuri a fost speculată înainte ca grupurile să fie de fapt construite. Multe dintre aceste grupuri au fost numite după matematicienii care au făcut prima dată ipoteza existenței lor. Lista grupurilor este următoarea:
- Grupurile lui Mathieu M 11 , M 12 , M 22 , M 23 , M 24 .
- Grupurile Janko J 1 , J 2 sau HJ , J 3 sau HJM , J 4 .
- Grupurile Conway Co 1 , Co 2 , Co 3 .
- Grupurile Fischer Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 sau Fi 24 '.
- Grupul Higman-Sims HS .
- Grupul lui McLaughlin McL .
- Grupul Held He sau F 7 .
- Grupul lui Rudvalis Ru .
- Grupul sporadic al Suzuki Suz .
- Grupul lui O'Nan O'N .
- Grupul Harada-Norton HN sau F 5 .
- Grupul Lyons Ly .
- Grupul lui Thompson Th sau F 3 .
- Grupul Baby Monster B sau F 2 .
- Grupul de monștri Fischer-Griess M sau F 1 (numit pentru numărul imens al elementelor sale, de ordinul 10 54 ).
Au fost calculate toate reprezentările matriciale pe câmpurile finite ale grupurilor sporadice, cu excepția celei din grupul Monstru.
Dintre cele 26 de grupuri sporadice, 20 pot fi considerate subgrupuri sau coeficienți de subgrupuri din grupul Monștri. Cele 6 excepții sunt grupurile sporadice J 1 , J 3 , J 4 , O'N , Ru și Ly . Aceste 6 grupuri sunt deseori numite grupuri paria .
Clasificarea
Primii pași în clasificare au început la mijlocul secolului al XIX-lea, când Émile Mathieu a descoperit primele cinci grupuri sporadice; dar numai o sută de ani mai târziu, un nou grup sporadic a fost găsit, mai exact în 1965 , de Zvonimir Janko ; în practică, majoritatea studiilor de clasificare au fost realizate între 1950 și 1980 . Clasificarea a fost finalizată în 1981 , când Simon Norton a demonstrat unicitatea Monster Group, imensul grup sporadic F 1 al lui Bernd Fischer , pe care Robert Griess îl construise.
De la Mathieu, sute de matematicieni au fost implicați în sarcina clasificării grupurilor finite simple; dovada completă a teoremei este distribuită în aproximativ 500 de articole și umple aproape 15.000 de pagini tipărite.
Strategia câștigătoare pentru succes în demonstrarea teoremei clasificării a fost conturată în 1954 de Richard Brauer și ulterior a fost implementată în anii 1950 de matematicienii Claude Chevalley , Jacques Tits , Robert Steinberg , Mitsuo Suzuki și Rimhak Ree , cărora le datorăm descrierea sistematică a Grupuri de tip minciună .
Cercetările au fost reluate în ultima parte a anilor 1960, când Daniel Gorenstein a creat un program pentru a finaliza demonstrația. De remarcat este contribuția fundamentală a lui Michael Aschbacher pentru rezultatele sale numeroase și surprinzătoare.
Neobișnuit pentru articolele de natură matematică este durata considerabilă a teoremei clasificării: de exemplu, un articol de John Griggs Thompson , care a apărut în șase părți între 1968 și 1974 , ocupă peste 400 de pagini. În plus, între 1976 și 1980 , au circulat aproximativ 3.000 de pagini dactilografiate de lucrări printre matematicieni, uneori chiar fără a fi publicate. Din aceasta înțelegem de ce dovada teoremei clasificării este greu la îndemâna unui singur matematician și de ce au apărut îndoieli cu privire la validitatea teoremei.
Din acest motiv, un program de revizuire a dovezii a fost promovat de însuși Gorenstein și de alți matematicieni, pentru a da dovezii un caracter mai coerent și mai convingător, care poate standardiza rezultatele multor matematicieni care, în momente diferite, au lucrat la problema clasificare și că poate elimina orice erori locale ascunse în unele articole, precum și clarificarea unor probleme, legate în special de natura Grupului de Monștri , care sunt încă deschise. În acest sens, se vorbește și despre o demonstrație de a doua generație . Lucrările continuă până în prezent. [ fără sursă ]
Bibliografie
- Michael Aschbacher , Statutul clasificării grupurilor simple finite , Notificări ale American Mathematical Society , august 2004
- Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon Clasificarea grupurilor simple finite (volumul 1) , AMS, 1994 (volumul 2) , AMS,
- Ronald Solomon : Despre grupurile simple finite și clasificarea lor , Notificări ale Societății Americane de Matematică, februarie 1995
- John H. Conway ; RT Curtis; SP Norton; RA Parker; RA Wilson: „ Atlasul grupurilor finite: subgrupuri maxime și caractere obișnuite pentru grupuri simple. ” Oxford, 1985.
- Comenzi ale grupurilor simple non-abeliene Arhivat 4 aprilie 2005 la Internet Archive .: Include o listă a tuturor grupurilor simple non-abeliene până la comanda 10 000 000 000 (în engleză).
- Atlasul reprezentărilor grupurilor finite : conține reprezentări și alte date referitoare la multe grupuri finite simple, inclusiv grupuri sporadice (în engleză).
