Factor prim

În teoria numerelor , factorii primi ai unui număr întreg pozitiv sunt numerele prime care îl împart exact, adică fără rest.

Două numere întregi pozitive sunt coprimă dacă și numai dacă nu au factori primi în comun. Întregul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este comprimat la fiecare număr întreg pozitiv, inclusiv el însuși. Acest lucru se datorează faptului că nu are factori primi; este produsul gol .

Prima factorizare a unui număr întreg pozitiv este lista factorilor săi primi, împreună cu puterea maximă a fiecărui prim care împarte exact numărul întreg. Teorema fundamentală a aritmeticii spune că fiecare număr întreg pozitiv are o factorizare primă unică.

Funcții Omega

Functia $\omega (n)$ ${\ displaystyle \ omega (n)}$ ${\ displaystyle \ omega (n)}$ numără numărul factorilor primi distincti ai $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ in timp ce $\Omega (n)$ ${\ displaystyle \ Omega (n)}$ ${\ displaystyle \ Omega (n)}$ numără numărul total de factori primi ai $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , adică, numără numărul divizorilor primi ai $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numărate cu multiplicitatea lor ^[1] :

n=\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{\alpha _{i}};

{\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}};}

{\ displaystyle n = \ prod _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i}};}

\Omega (n)=\sum _{i=1}^{\omega (n)}\alpha _{i}.

{\ displaystyle \ Omega (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} \ alpha _ {i}.}

{\ displaystyle \ Omega (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ omega (n)} \ alpha _ {i}.}

Functia $\omega (n)$ ${\ displaystyle \ omega (n)}$ ${\ displaystyle \ omega (n)}$ este un exemplu de funcții aritmetice aditive, dar nu complet aditive.

În general $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este dat de produsul de $\Omega (n)$ ${\ displaystyle \ Omega (n)}$ ${\ displaystyle \ Omega (n)}$ numere (nu neapărat distincte).

Exemple

Factorii principali ai $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ Sunt $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ (atâta timp cât $6=3\cdot 2$ ${\ displaystyle 6 = 3 \ cdot 2}$ ${\ displaystyle 6 = 3 \ cdot 2}$ ).
Numarul $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ are un singur factor primar: el însuși ( $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ este primul).
Numarul $100$ ${\ displaystyle 100}$ $100$ are doi factori primi: $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ (intr-adevar $100=2^{2}\cdot 5^{2}$ ${\ displaystyle 100 = 2 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2}}$ ${\ displaystyle 100 = 2 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2}}$ ).
Puterile a doi $2,4,8,16,$ ${\ displaystyle 2,4,8,16,}$ ${\ displaystyle 2,4,8,16,}$ etc. fiecare are un singur factor primar: $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .
Numarul $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ nu are factori primi (de fapt $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ corespunde produsului gol ).
Atâta timp cât $24=2^{3}\cdot 3^{1}$ ${\ displaystyle 24 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {1}}$ ${\ displaystyle 24 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {1}}$ rezultă că $\omega (24)=2$ ${\ displaystyle \ omega (24) = 2}$ ${\ displaystyle \ omega (24) = 2}$ Și $\Omega (24)=3+1=4$ ${\ displaystyle \ Omega (24) = 3 + 1 = 4}$ ${\ displaystyle \ Omega (24) = 3 + 1 = 4}$ .
Atâta timp cât $1701=3^{5}\cdot 7^{1}$ ${\ displaystyle 1701 = 3 ^ {5} \ cdot 7 ^ {1}}$ ${\ displaystyle 1701 = 3 ^ {5} \ cdot 7 ^ {1}}$ rezultă că $\omega (1701)=2$ ${\ displaystyle \ omega (1701) = 2}$ ${\ displaystyle \ omega (1701) = 2}$ Și $\Omega (1701)=6$ ${\ displaystyle \ Omega (1701) = 6}$ ${\ displaystyle \ Omega (1701) = 6}$ .
Atâta timp cât $3528=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{2}$ ${\ displaystyle 3528 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 7 ^ {2}}$ ${\ displaystyle 3528 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 7 ^ {2}}$ rezultă că $\omega (3528)=3$ ${\ displaystyle \ omega (3528) = 3}$ ${\ displaystyle \ omega (3528) = 3}$ Și $\Omega (3528)=7$ ${\ displaystyle \ Omega (3528) = 7}$ ${\ displaystyle \ Omega (3528) = 7}$ .

Notă

^ (EN) secvența A001222 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A001222 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]