Grup de tip Lie

În matematică , un grup Lie este de obicei un grup finit strâns legat de grupul punctelor raționale ale unui grup algebric reductiv liniar cu valori într-un câmp finit . Expresia „grupul Lie” nu are o definiție precisă larg acceptată, totuși clasa grupurilor Lie finite simple are o definiție precisă. Acestea din urmă joacă un rol cheie în clasificarea grupurilor simple finite . Cazurile speciale includ grupuri clasice , grupuri Chevalley , grupuri Steinberg și grupuri Suzuki-Ree .

Grupuri clasice

O abordare inițială a acestei întrebări a fost definirea și studiul detaliat al așa-numitelor grupuri clasice pe câmpuri finite și non-finite. S-a făcut multă muncă, de pe vremea lui Leonard Eugene Dickson până la cartea lui Jean Dieudonné . De exemplu, Emil Artin a studiat ordinele acestor grupuri, acordând o atenție deosebită clasificării coincidențelor.

Cele mai importante grupuri clasice sunt grupuri liniare speciale , grupuri ortogonale , grupuri simplectice și grupuri unitare . Există, de asemenea, alte grupuri clasice mai puțin importante obținute ca subgrupuri derivate sau ca coeficienți față de centru . Aceste grupuri sunt construite pe un câmp (finit sau nu) în același mod în care sunt construite pe câmpul numerelor reale. Ele corespund secvențelor $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ , $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ , $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ , $D_{n},^{2}A_{n},^{2}D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}, ^ {2} A_ {n}, ^ {2} D_ {n}}$ $D_ {n}, ^ {2} A_ {n}, ^ {2} D_ {n}$ a grupurilor Chevalley și Steinberg.

Grupuri Chevalley

Teoria așa-numitelor grupuri Chevalley a fost elucidată de cea a grupurilor algebrice și de lucrările lui Claude Chevalley de la mijlocul anilor 1950 asupra algebrelor Lie, prin care a fost definit conceptul grupului Chevalley . Chevalley a construit o bază Chevalley (un fel de formă integrală) pentru toate algebrele Lie simple și complexe (sau mai bine zis algebrele lor universale ), care pot fi utilizate pentru a defini grupurile algebrice corespunzătoare pe numere întregi. În special, el ar putea lua elementele unor astfel de grupuri în orice câmp finit. Prin algebre Lie $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ , $B_{n}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ $B_ {n}$ , $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ , $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ acest lucru a dat cele mai cunoscute grupuri clasice, dar această construcție a dat și grupurile asociate cu excepționalele algebre Lie $E_{6}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$ $E_ {6}$ , $E_{7}$ ${\ displaystyle E_ {7}}$ $E_ {7}$ , $E_{8}$ ${\ displaystyle E_ {8}}$ $E_ {8}$ , $F_{4}$ ${\ displaystyle F_ {4}}$ $F_ {4}$ Și $G_{2}$ ${\ displaystyle G_ {2}}$ $G_ {2}$ . (Unele dintre aceste grupuri fuseseră deja construite de Dickson.)

Grupuri Steinberg

Construcția lui Chevalley nu a furnizat toate grupurile clasice cunoscute: nu a inclus grupuri unitare și grupuri ortogonale nefracționate. Robert Steinberg a găsit o variantă a construcției Chevalley care a dat acestor grupuri și câteva familii noi. Această construcție generalizează construcția obișnuită a grupului unitar din grupul liniar general.

Grupul unitar este prezentat după cum urmează: grupul liniar general pe numere complexe are un automorfism diagramatic , dat prin inversarea diagramei Dynkin $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ , și un automorfism de câmp obținut prin luarea în considerare a conjugării complexe, care navetează. Grupul unitar este grupul de puncte fixe ale produsului acestor două automorfisme.

În mod similar, multe grupuri Chevalley au automatisme ale diagramelor induse de automorfism ale diagramelor lor Dynkin și automorfisme ale câmpului induse de automorfisme ale unui câmp finit. În mod similar cu cazul unității, Steinberg a construit familii de grupuri luând puncte fixe ale unui produs al unei diagrame și al unui automorfism de câmp.

Acest lucru a dat:

grupele unitare ² A _n prin automorfisme ale $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ de ordinul 2;

alte grupuri ortogonale ² D _n , din automorfisme ale $D_{n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ $D_n$ de ordinul 2;

și noile serii ² și ₆ , din automorfisme ale $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ de ordinul 2;

noua serie ³ D ₄ , din automorfisme ale $D_{4}$ ${\ displaystyle D_ {4}}$ $D_ {4}$ de ordinul 3.

Grupurile de tip ³ D ₄ nu au analogi pe reali, deoarece numerele complexe nu au automorfisme de ordinul 3. Simetriile diagramei $D_{4}$ ${\ displaystyle D_ {4}}$ $D_ {4}$ de asemenea, dau naștere procesului.

Grupuri Suzuki-Ree

În jurul anului 1960 , Michio Suzuki a făcut furori pentru găsirea unei noi succesiuni de grupuri care, la prima vedere, păreau fără legătură cu grupurile algebrice cunoscute. Ree cunoștea grupul algebric $B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ $B_2$ avea un automorfism „extra” de caracteristica 2, al cărui pătrat era automorfismul Frobenius . El a mai observat că, dacă un câmp finit al caracteristicii 2 are și un automorfism al cărui pătrat era harta Frobenius, atunci un analog al construcției lui Steinberg a dat grupurilor Suzuki. Câmpurile cu acest automorfism sunt cele de ordinul 2 ^{2 n +1} și grupurile corespunzătoare sunt grupurile Suzuki

² B ₂ (2 ^{2 n +1} ) = Suz (2 ^{2 n +1} ).

(Strict vorbind, grupul Suz (2) nu este considerat a fi un grup Suzuki, deoarece nu este simplu: este grupul Frobenius de ordinul 20). Ree a reușit să găsească 2 familii similare

² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

Și

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

de grupuri simple folosind faptul că $F_{4}$ ${\ displaystyle F_ {4}}$ $F_ {4}$ Și $G_{2}$ ${\ displaystyle G_ {2}}$ $G_ {2}$ au automorfisme suplimentare ale caracteristicilor 2 și 3. Cel mai mic grup ² F ₄ (2) de tip ² F ₄ nu este simplu, ci are un subgrup simplu de index 2, numit grupul Tits (de la matematicianul Jacques Tits ). Cel mai mic grup ² G ₂ (3) de tip ² G ₂ nu este simplu, dar posedă un subgrup simplu normal de index 3, izomorf la SL ₂ (8). În clasificarea grupurilor simple finite , grupurile Ree

² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

sunt cei a căror structură este mai dificil de definit în mod explicit cu precizie. Aceste grupuri au jucat, de asemenea, un rol în descoperirea primului grup sporadic modern, care posedă centralizatori de involuție de forma Z / 2 Z × PSL ₂ ( q ) pentru q = 3 ⁿ și căutând grupuri cu un centralizator de involuție similar. forma Z / 2 Z × PSL ₂ (5), Janko a găsit grupul sporadic $J_{1}$ ${\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ .

Relații cu grupuri finite simple

Grupurile de minciuni finite au fost printre primele grupuri luate în considerare în matematică, după grupuri ciclice , simetrice și alternante . Studiul lor a început cu teorema lui Camille Jordan conform căreia grupul liniar special proiectiv PSL ₂ ( q ) este simplu pentru q ≠ 2,3 . Această teoremă generalizează grupuri proiective mai mari și dă o importantă familie PSL _n ( q ) infinită de grupuri simple finite. Alte grupuri clasice au fost studiate de Leonard Dickson la începutul secolului XX. În anii 1950, Claude Chevalley a realizat că, după o reformulare adecvată, multe teoreme standard despre grupurile Lie semisimple admit analogi pentru grupurile algebrice pe un câmp arbitrar k, ducând la construcții a ceea ce se numește acum grupul Chevalley .

Mai mult, la fel ca în cazul grupurilor Lie simple și compacte, grupurile corespunzătoare s-au dovedit a fi aproape la fel de simple ca și grupurile abstracte ( teorema simplității Tits ). Deși se știa încă din secolul al XIX-lea că există alte grupuri simple finite (de exemplu , grupurile lui Mathieu ), s-a ajuns treptat la convingerea că aproape toate grupurile finite simple ar putea fi evaluate prin extensii adecvate ale construcției Chevalley, împreună cu grupuri alternante și ciclice. Cu toate acestea, excepțiile, grupurile sporadice, împărtășesc multe proprietăți cu grupurile finite de tip Lie și, în special, pot fi construite și caracterizate pe baza geometriei lor în sensul Tits.

Credința a devenit acum o teoremă . O analiză a listei grupurilor simple finite arată că grupurile Lie de pe un câmp finit includ toate grupurile finite simple, altele decât grupurile ciclice, grupurile alternante, grupurile Tits și cele 26 de grupuri sporadice simple.

Grupuri mici de tip Lie

Multe dintre grupurile mai mici din familiile menționate mai sus posedă proprietăți speciale care nu sunt împărtășite de majoritatea celorlalte grupuri familiale.

Uneori grupurile mai mici sunt mai degrabă rezolvabile decât simple; de exemplu grupurile SL ₂ (2) și SL ₂ (3) sunt rezolvabile.

Există un număr surprinzător de izomorfisme „accidentale” între diferite grupuri mici de tip Lie (și grupuri alternative). De exemplu, grupurile SL ₂ (4), PSL ₂ (5) și grupul alternativ în 5 puncte sunt toate izomorfe.

Unele grupuri simple au un multiplicator Schur mai mare decât se aștepta. De exemplu, grupurile A _n ( q ) au de obicei un multiplicator Schur de ordine ( n + 1, q - 1), dar grupul A ₂ (4) are un multiplicator Schur de ordin 48, în loc de valoarea așteptată 3.

Pentru o listă completă a acestor excepții, consultați lista de grupuri finite simple. Multe dintre aceste proprietăți speciale sunt legate de anumite grupuri sporadice simple. Existența acestor fenomene „mici” nu este într-adevăr un argument „banal”; se găsește în altă parte, de exemplu în teoria homotopiei .

Grupurile alternative se comportă uneori ca și cum ar fi grupuri Lie în câmp cu un singur element. Unele dintre grupurile mici alternante posedă proprietăți excepționale. Grupurile alternative au de obicei un automorfism extern al grupului de ordinul 2, dar grupul alternativ pe 6 puncte are un automorfism extern al grupului de ordinul 4. Grupurile alternative au de obicei un multiplicator Schur de ordinul 2, dar cele cu 6 sau 7 puncte au un Schur multiplicator al comenzii 6.

Probleme de notare

Din păcate, nu există o notație standard pentru grupurile finite de tip Lie, iar literatura conține zeci de sisteme incompatibile și confuze ale confesiunilor lor, dintre care unele cu greu ar putea fi mai rele, fiind concepute special pentru a confunda noii veniți.

Grupurile de tip A _{n −1} sunt uneori notate cu PSL _n ( q ) (grupul liniar special proiectiv) sau cu L _n ( q ).

Tastați grupuri $C_{n}$ ${\ displaystyle C_ {n}}$ $C_n$ sunt uneori notate cu Sp _{2 n} ( q ) (grupul simplectic) sau (confuz) prin Sp _n ( q ).

Denumirea grupurilor ortogonale este deosebit de confuză. Unele simboluri au folosit O _n ( q ), O ^- _n ( q ), PSO _n ( q ), $\Omega _{n}(q)$ ${\ displaystyle \ Omega _ {n} (q)}$ $\ Omega _ {n} (q)$ , dar există atât de multe convenții încât nu este posibil să se spună cu exactitate cărui grup îi corespund. O capcană deosebit de insidioasă este că unii autori folosesc O _n ( q ) pentru un grup care nu este grupul ortogonal, ci grupul simplu corespunzător.

Pentru grupurile Steinberg, unii autori scriu ² A _n ( q ² ) (și așa mai departe) pentru grupul pe care alți autori denotă ² A _n ( q ). Problema este că există două câmpuri implicate, unul de ordinul q ² și câmpul său fix de ordine q și aveți idei diferite despre care ar trebui să fie utilizat în notație. Convenția „ ² A _n ( q ² )” este mai logică și mai consistentă, dar convenția „ ² A _n ( q )” este mult mai comună și mai apropiată de convenția utilizată pentru grupurile algebrice .

Autorii diferă în ceea ce privește dacă grupurile precum A _n ( q ) sunt grupuri de elemente cu valori în grupul algebric simplu sau pur și simplu conectat. De exemplu, A _n ( q ) ar putea indica atât grupul liniar special SL _{n +1} ( q ), cât și grupul liniar special proiecțional PSL _{n +1} ( q ). Astfel, ² A ₂ (2 ² ) ar putea fi oricare dintre cele 4 grupuri diferite, în funcție de autor.

Elemente conexe

Grup de minciuni

Referințe

O referință clasică este

Grupuri simple de tip minciună de Roger W. Carter , ISBN 0-471-50683-4

Grupurile clasice sunt descrise în

La géométrie des groupes classiques de Jean Dieudonné

Leonard Dickson studiază grupele de tip G ₂ în

LE Dickson, Un nou sistem de grupuri simple , Math. Ann., 60 (1905), 137-150.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4167650-6

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică