Matrice Symplectic

În matematică , o matrice simplectică este o matrice $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ in marime $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ (ale cărui elemente sunt de obicei reale sau complexe ) care îndeplinește condiția:

M^{T}JM=J

{\ displaystyle M ^ {T} JM = J}

{\ displaystyle M ^ {T} JM = J}

unde este $M^{T}$ ${\ displaystyle M ^ {T}}$ ${\ displaystyle M ^ {T}}$ denotă matricea transpusă a $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este matricea antisimetrică $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ :

J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {bmatrix}}}

Aici $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ este matricea identității $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ . Rețineți că $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ are determinant $+1$ ${\ displaystyle +1}$ $+1$ și pătrat este opusul matricei de identitate: $J^{2}=-I_{2n}$ ${\ displaystyle J ^ {2} = - I_ {2n}}$ ${\ displaystyle J ^ {2} = - I_ {2n}}$

Unii autori preferă să utilizeze un $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ diferit pentru definirea matricilor simplectice. Singura proprietate esențială este aceea $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este o matrice antisimetrică non-singulară . Cea mai comună alternativă este forma diagonală a blocului :

J={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {matrix}} && 0 \\ & \ ddots & \\ 0 && {\ begin {matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {matrix}} && 0 \\ & \ ddots & \\ 0 && {\ begin {matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}

Rețineți că această alegere diferă de cea precedentă pentru o permutare a vectorilor bazei. De fapt, fiecare alegere a $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ poate fi purtat într-una din cele două forme anterioare cu o alegere diferită a bazei. Vezi formularea abstractă de mai jos în secțiunea transformări simplectice.

Proprietate

Fiecare matrice simplectică are un invers dat de:

M^{-1}=J^{-1}M^{T}J

{\ displaystyle M ^ {- 1} = J ^ {- 1} M ^ {T} J}

{\ displaystyle M ^ {- 1} = J ^ {- 1} M ^ {T} J}

Mai mult, produsul a două matrice simplectice este încă o matrice simplectică. Acest fapt conferă structura grupului setului tuturor matricelor simplectice. Există o structură naturală a varietății pe acest grup care produce un grup Lie (real sau complex) numit grup simplectic . Grupul simplectic are dimensiune $n(2n+1)$ ${\ displaystyle n (2n + 1)}$ ${\ displaystyle n (2n + 1)}$ .

Folosind teorema lui Binet, rezultă imediat din definiție că determinantul oricărei matrice simplectice este $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ ; mai exact, dovedește că merită $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ prin utilizarea pfaffiano și a identității:

{\mbox{Pf}}(M^{T}JM)=\det(M){\mbox{Pf}}(J)

{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (M ^ {T} JM) = \ det (M) {\ mbox {Pf}} (J)}

{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (M ^ {T} JM) = \ det (M) {\ mbox {Pf}} (J)}

Atâta timp cât $M^{T}JM=J$ ${\ displaystyle M ^ {T} JM = J}$ ${\ displaystyle M ^ {T} JM = J}$ Și ${\mbox{Pf}}(J)\neq 0$ ${\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (J) \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (J) \ neq 0}$ avem asta $\det(M)=1$ ${\ displaystyle \ det (M) = 1}$ ${\ displaystyle \ det (M) = 1}$ .

Este $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o matrice bloc $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ dat de:

M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ sunt matrici $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ . Apoi condiția care $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este simplectic este echivalent cu condițiile:

A^{T}D-C^{T}B=1\qquad A^{T}C=C^{T}A\qquad D^{T}B=B^{T}D

{\ displaystyle A ^ {T} DC ^ {T} B = 1 \ qquad A ^ {T} C = C ^ {T} A \ qquad D ^ {T} B = B ^ {T} D}

{\ displaystyle A ^ {T} D-C ^ {T} B = 1 \ qquad A ^ {T} C = C ^ {T} A \ qquad D ^ {T} B = B ^ {T} D}

Cand $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ ${\ displaystyle n = 1}$ aceste condiții sunt reduse la condiția unică $\det(M)=1$ ${\ displaystyle \ det (M) = 1}$ ${\ displaystyle \ det (M) = 1}$ . Deci o matrice $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ este simplectic dacă și numai dacă are determinant unitar.

Transformări simplectice

În formularea abstractă a algebrei liniare , matricile sunt înlocuite de transformări liniare ale spațiilor vectoriale cu dimensiuni finite. Analogul abstract al unei matrice simplectice este o transformare simplectică a unui spațiu vectorial simplectic . Pe scurt, un spațiu vectorial simplectic este un spațiu vectorial $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ -dimensional $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ dotat cu o nedegenerata formă biliniară antisimetrică $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ .

O transformare simplectică este deci o transformare liniară $f:V\to V$ ${\ displaystyle f: V \ to V}$ $f: V \ to V$ care păstrează $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , acesta este:

\omega (f(x),f(y))=\omega (x,y)

{\ displaystyle \ omega (f (x), f (y)) = \ omega (x, y)}

{\ displaystyle \ omega (f (x), f (y)) = \ omega (x, y)}

Stabilirea unei baze pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ poate fi scris ca o matrice $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ca o matrice $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Condiția care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o transformare simplectică este doar asta $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este o matrice simplectică:

M^{T}JM=J

{\ displaystyle M ^ {T} JM = J}

{\ displaystyle M ^ {T} JM = J}

Prin efectuarea unei schimbări de bază , reprezentată de o matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , avem:

J\mapsto A^{T}JA\qquad M\mapsto A^{-1}MA.

{\ displaystyle J \ mapsto A ^ {T} JA \ qquad M \ mapsto A ^ {- 1} MA.}

{\ displaystyle J \ mapsto A ^ {T} JA \ qquad M \ mapsto A ^ {- 1} MA.}

O poți purta oricând $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ într-una din cele două forme standard date în introducere cu o alegere adecvată a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Bibliografie

( EN ) Ralph Abraham și Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londra ISBN 0-8053-0102-X A se vedea capitolul 3 .
( EN ) Maurice de Gosson: Symplectic Geometry and Quantum Mechanics (2006) Birkhäuser Verlag, Basel ISBN 3-7643-7574-4 .
( EN ) Dusa McDuff și D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) Introducere în geometria simplectică ( PDF ), pe alpha01.dm.unito.it . Adus la 28 aprilie 2010 (arhivat din original la 21 septembrie 2006) .
( EN ) Structuri Poisson și structuri complexe ( PDF ), pe caressa.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Carrier · subspatiu ( Subspatiul generat ) · Aplicație Liniar ( Core · imagine ) · Base · Dimensiunea · dimensiunea Teorema · Grassmann Formula · sistem liniar · Gauss algoritm · Rouche-Capelli , teorema · Regula lui Cramer · spațiu dual · proiectiv spațiu · afină spațiu · Dimensiune teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema