Matrice de schimbare de bază

În matematică și mai precis în algebră liniară , schimbarea bazei sau a matricei de coordonate este o matrice pătrată care codifică schimbarea unei baze a unui spațiu vectorial .

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial dimensional finit pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Lasa-i sa fie $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ două baze ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , și ei sunt $\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\dots ,\mathbf {b} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ dots, \ mathbf {b} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ dots, \ mathbf {b} _ {n}}$ vectorii care alcătuiesc baza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Se numește matrice de schimbare a coordonatelor de la bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ până la bază $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ singura matrice $[M]_{C}^{B}$ ${\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B}}$ $[M] _ {C} ^ {B}$ ale căror coloane sunt coordonatele vectorilor $\mathbf {b} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i}}$ $\ mathbf b_i$ în raport cu vectorii bazei $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ : ^[1]

[M]_{C}^{B}={\begin{bmatrix}\ [\mathbf {b} _{1}]_{C}&\cdots &[\mathbf {b} _{n}]_{C}\ \end{bmatrix}}

{\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B} = {\ begin {bmatrix} \ [\ mathbf {b} _ {1}] _ {C} & \ cdots & [\ mathbf {b} _ {n }] _ {C} \ \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B} = {\ begin {bmatrix} \ [\ mathbf {b} _ {1}] _ {C} & \ cdots & [\ mathbf {b} _ {n }] _ {C} \ \ end {bmatrix}}}

Avem apoi: ^[2]

[\mathbf {v} ]_{C}=[M]_{C}^{B}[\mathbf {v} ]_{B}\qquad [\mathbf {v} ]_{B}=([M]_{C}^{B})^{-1}[\mathbf {v} ]_{C}

{\ displaystyle [\ mathbf {v}] _ {C} = [M] _ {C} ^ {B} [\ mathbf {v}] _ {B} \ qquad [\ mathbf {v}] _ {B} = ([M] _ {C} ^ {B}) ^ {- 1} [\ mathbf {v}] _ {C}}

[\ mathbf v] _C = [M] _ {C} ^ {B} [\ mathbf v] _B \ qquad [\ mathbf v] _B = ([M] _ {C} ^ {B}) ^ {- 1 } [\ mathbf v] _C

În special, matricea $[M]_{C}^{B}$ ${\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B}}$ $[M] _ {C} ^ {B}$ este matricea asociată cu funcția de identitate pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ decât elementele de bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în domeniul e $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ în intervalul.

De sine $K=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {R}}$ este câmpul numerelor reale , matricea de schimbare a bazelor este utilă pentru a verifica dacă două baze au aceeași orientare : acest lucru se întâmplă exact atunci când determinantul matricei de schimbare a bazei care le conectează este pozitiv.

Reprezentare grafică în plan cartezian

Fig.1.
Vectorul

tu

{\ displaystyle u}

tu

are coordonate:

({\begin{smallmatrix}5\\3\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} 5 \\ 3 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} 5 \\ 3 \ end {smallmatrix}})}

în plan

\scriptstyle (x,y)

{\ displaystyle \ scriptstyle (x, y)}

{\ displaystyle \ scriptstyle (x, y)}

,

({\begin{smallmatrix}3\\1\scriptstyle \end{smallmatrix}})

{\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} 3 \\ 1 \ scriptstyle \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} 3 \\ 1 \ scriptstyle \ end {smallmatrix}})}

decât baza

\scriptstyle B

{\ displaystyle \ scriptstyle B}

{\ displaystyle \ scriptstyle B}

Și

({\begin{smallmatrix}-7\\5\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} -7 \\ 5 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} -7 \\ 5 \ end {smallmatrix}})}

decât baza

\scriptstyle C

{\ displaystyle \ scriptstyle C}

{\ displaystyle \ scriptstyle C}

.

Fig. 2.
Către transportator

[v_{1}]_{B}=({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [v_ {1}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [v_ {1}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}})}

, primul vector al bazei

B.

{\ displaystyle B}

B.

, se potrivește cu vectorul

[v_{1}]_{C}=({\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [v_ {1}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} -1 \\ 1 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [v_ {1}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} -1 \\ 1 \ end {smallmatrix}})}

care se identifică cu

\scriptstyle 1^{a}

{\ displaystyle \ scriptstyle 1 ^ {a}}

{\ displaystyle \ scriptstyle 1 ^ {a}}

coloana matricei

\scriptstyle [M]_{C}^{B}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {C} ^ {B}}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {C} ^ {B}}

.
Către transportator

[v_{2}]_{B}=({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [v_ {2}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 0 \\ 1 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [v_ {2}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 0 \\ 1 \ end {smallmatrix}})}

, al doilea vector al bazei

B.

{\ displaystyle B}

B.

, se potrivește cu vectorul

[v_{2}]_{C}=({\begin{smallmatrix}-4\\2\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [v_ {2}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} -4 \\ 2 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [v_ {2}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} -4 \\ 2 \ end {smallmatrix}})}

care se identifică cu

\scriptstyle 2^{a}

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 ^ {a}}

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 ^ {a}}

coloana matricei

\scriptstyle [M]_{C}^{B}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {C} ^ {B}}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {C} ^ {B}}

.

Fig.3.
Către transportator

[w_{1}]_{C}=({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [w_ {1}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [w_ {1}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} 1 \\ 0 \ end {smallmatrix}})}

, primul vector al bazei

C.

{\ displaystyle C}

C.

, se potrivește cu vectorul

[w_{1}]_{B}=({\begin{smallmatrix}1\\-{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [w_ {1}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 1 \\ - {\ frac {1} {2}} \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [w_ {1}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 1 \\ - {\ frac {1} {2}} \ end {smallmatrix}})}

care se identifică cu

\scriptstyle 1^{a}

{\ displaystyle \ scriptstyle 1 ^ {a}}

{\ displaystyle \ scriptstyle 1 ^ {a}}

coloana matricei

\scriptstyle [M]_{B}^{C}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {B} ^ {C}}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {B} ^ {C}}

.
Către transportator

[w_{2}]_{C}=({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [w_ {2}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} 0 \\ 1 \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [w_ {2}] _ {C} = ({\ begin {smallmatrix} 0 \\ 1 \ end {smallmatrix}})}

, al doilea vector al bazei

C.

{\ displaystyle C}

C.

, se potrivește cu vectorul

[w_{2}]_{B}=({\begin{smallmatrix}2\\-{\frac {1}{2}}\end{smallmatrix}})

{\ displaystyle [w_ {2}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 2 \\ - {\ frac {1} {2}} \ end {smallmatrix}})}

{\ displaystyle [w_ {2}] _ {B} = ({\ begin {smallmatrix} 2 \\ - {\ frac {1} {2}} \ end {smallmatrix}})}

care se identifică cu

\scriptstyle 2^{a}

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 ^ {a}}

{\ displaystyle \ scriptstyle 2 ^ {a}}

coloana matricei

\scriptstyle [M]_{B}^{C}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {B} ^ {C}}

{\ displaystyle \ scriptstyle [M] _ {B} ^ {C}}

.

Referindu-ne la fig. 1, să presupunem că avem vectorul în plan cartezian $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ de coordonate:

u={\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}

{\ displaystyle u = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 3 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle u = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 3 \ end {pmatrix}}}

.

Lasă-i să fie atunci $(v_{1},v_{2})$ ${\ displaystyle (v_ {1}, v_ {2})}$ ${\ displaystyle (v_ {1}, v_ {2})}$ Și $(w_{1},w_{2})$ ${\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2})}$ ${\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2})}$ două perechi de vectori decât în spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ respectiv identificați baza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este baza $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ date de la:

B=\left(v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\right)

{\ displaystyle B = \ left (v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}, v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 0 \ end {pmatrix} } \ dreapta)}

{\ displaystyle B = \ left (v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}, v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 0 \ end {pmatrix} } \ dreapta)}

C=\left(w_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},w_{2}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\right)

{\ displaystyle C = \ left (w_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, w_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix} } \ dreapta)}

{\ displaystyle C = \ left (w_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, w_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix} } \ dreapta)}

Cuplul $(v_{1},v_{2})$ ${\ displaystyle (v_ {1}, v_ {2})}$ ${\ displaystyle (v_ {1}, v_ {2})}$ poate reprezenta orice vector al planului cartezian (și, prin urmare, reprezintă o bază), deoarece acestea sunt non-paralele și, prin urmare, vectori independenți; același lucru este valabil și pentru cuplu $(w_{1},w_{2})$ ${\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2})}$ ${\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2})}$ .

Se verifică cu ușurință că vectorul poate fi obținut $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ ca o combinație de vectori ai bazei $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și bază $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ folosind următoarele ecuații:

u=3v_{1}+v_{2}

{\ displaystyle u = 3v_ {1} + v_ {2}}

{\ displaystyle u = 3v_ {1} + v_ {2}}

(1)

{\ displaystyle (1)}

(1)

u=-7w_{1}+5w_{2}

{\ displaystyle u = -7w_ {1} + 5w_ {2}}

{\ displaystyle u = -7w_ {1} + 5w_ {2}}

(2)

{\ displaystyle (2)}

(2)

Prin urmare, coordonatele vectorului $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ decât elementele de bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ sunt date de:

[u]_{B}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle [u] _ {B} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle [u] _ {B} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

[u]_{C}={\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}

{\ displaystyle [u] _ {C} = {\ begin {pmatrix} -7 \\ 5 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle [u] _ {C} = {\ begin {pmatrix} -7 \\ 5 \ end {pmatrix}}}

Grafic, pe baza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ vectorul $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este dat de suma vectorilor $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ ' Și $v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ ': în acest sens este necesar să se traseze linia care are aceeași direcție ca $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ și localizați punctul de intersecție cu linia dreaptă care trece prin vârful vectorului $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ și paralel cu $v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ . Astfel se obține vectorul $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ 'cu un modul egal cu de trei ori cel al $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ $v_1$ și vectorul $v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ 'cu modul egal cu $v_{2}$ ${\ displaystyle v_ {2}}$ $v_ {2}$ în conformitate cu ecuația $(1)$ ${\ displaystyle (1)}$ $(1)$ care poate fi rescris ca:

u=3v_{1}+v_{2}=v_{1}

{\ displaystyle u = 3v_ {1} + v_ {2} = v_ {1}}

{\ displaystyle u = 3v_ {1} + v_ {2} = v_ {1}}

'

+v_{2}

{\ displaystyle + v_ {2}}

{\ displaystyle + v_ {2}}

'

v_{1}

{\ displaystyle v_ {1}}

v_1

'

=3v_{1}

{\ displaystyle = 3v_ {1}}

{\ displaystyle = 3v_ {1}}

v_{2}

{\ displaystyle v_ {2}}

v_ {2}

'

=v_{2}

{\ displaystyle = v_ {2}}

{\ displaystyle = v_ {2}}

În mod similar, în bază $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ vectorul $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este dat de suma vectorilor $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ ' Și $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$ ': în acest sens este necesar să se traseze linia care are aceeași direcție ca $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ și localizați punctul de intersecție cu linia dreaptă care trece prin vârful vectorului $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ și paralel cu $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$ . Astfel se obține vectorul $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ ', în acest caz opus în versetul a $w_{1}$ ${\ displaystyle w_ {1}}$ $w_1$ , cu un modul egal de șapte ori cel din urmă și purtătorul $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$ 'cu modul egal de cinci ori $w_{2}$ ${\ displaystyle w_ {2}}$ $w_ {2}$ în conformitate cu ecuația $(2)$ ${\ displaystyle (2)}$ $(2)$ care poate fi rescris ca:

u=-7w_{1}+5w_{2}=w_{1}

{\ displaystyle u = -7w_ {1} + 5w_ {2} = w_ {1}}

{\ displaystyle u = -7w_ {1} + 5w_ {2} = w_ {1}}

'

+w_{2}

{\ displaystyle + w_ {2}}

{\ displaystyle + w_ {2}}

'

w_{1}

{\ displaystyle w_ {1}}

w_1

'

=-7w_{1}

{\ displaystyle = -7w_ {1}}

{\ displaystyle = -7w_ {1}}

w_{2}

{\ displaystyle w_ {2}}

w_ {2}

'

=5w_{2}

{\ displaystyle = 5w_ {2}}

{\ displaystyle = 5w_ {2}}

Matricea care vă permite să comutați între coordonatele din bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ celor bazate $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este dat de:

[M]_{C}^{B}={\begin{pmatrix}-1&-4\\1&2\end{pmatrix}}

{\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B} = {\ begin {pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 2 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle [M] _ {C} ^ {B} = {\ begin {pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 2 \ end {pmatrix}}}

Identitatea este valabilă ca dovadă $[u]_{C}=[M]_{C}^{B}[u]_{B}$ ${\ displaystyle [u] _ {C} = [M] _ {C} ^ {B} [u] _ {B}}$ ${\ displaystyle [u] _ {C} = [M] _ {C} ^ {B} [u] _ {B}}$ Așa cum se arată mai jos:

{\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-4\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -7 \\ 5 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -7 \\ 5 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \ end {pmatrix}}}

Fig. 2 permite să avem o reprezentare grafică a coloanelor acestei matrice . Prima coloană oferă coeficienții multiplicativi ai vectorilor care alcătuiesc baza $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ pentru a obține primul vector al bazei prin sumă geometrică $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în conformitate cu definiția dată în paragraful introductiv. Același lucru este valabil și pentru a doua coloană.

Matricea care vă permite să comutați între coordonatele din bază $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ celor bazate $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este dat de inversul său:

[M]_{B}^{C}={\begin{pmatrix}1&2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle [M] _ {B} ^ {C} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ - {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \ sfârșit {pmatrix}}}

{\ displaystyle [M] _ {B} ^ {C} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ - {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \ sfârșit {pmatrix}}}

Identitatea este valabilă ca dovadă $[u]_{B}=[M]_{B}^{C}[u]_{C}$ ${\ displaystyle [u] _ {B} = [M] _ {B} ^ {C} [u] _ {C}}$ ${\ displaystyle [u] _ {B} = [M] _ {B} ^ {C} [u] _ {C}}$ Așa cum se arată mai jos:

{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ - {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -7 \\ 5 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ - {\ frac {1} {2}} & - {\ frac {1} {2}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -7 \\ 5 \ end {pmatrix}}}

Fig. 3 vă permite să aveți o reprezentare grafică a coloanelor acestei matrice . Prima coloană oferă coeficienții multiplicativi ai vectorilor care alcătuiesc baza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru a obține primul vector al bazei prin sumă geometrică $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ în conformitate cu definiția dată în paragraful introductiv. Același lucru este valabil și pentru a doua coloană.

Compoziţie

Matricea de schimbare a bazelor permite codificarea relației dintre diferite baze prin compoziția funcțiilor. Lasa-i sa fie $B_{1}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ ${\ displaystyle B_ {1}}$ , $B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ Și $B_{3}$ ${\ displaystyle B_ {3}}$ ${\ displaystyle B_ {3}}$ baze pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și fie $M_{i,j}$ ${\ displaystyle M_ {i, j}}$ ${\ displaystyle M_ {i, j}}$ matricea de schimbare a coordonatelor din $B_{i}$ ${\ displaystyle B_ {i}}$ ${\ displaystyle B_ {i}}$ la $B_{j}$ ${\ displaystyle B_ {j}}$ ${\ displaystyle B_ {j}}$ . Avem: ^[3]

M_{1,3}=M_{2,3}M_{1,2}

{\ displaystyle M_ {1,3} = M_ {2,3} M_ {1,2}}

{\ displaystyle M_ {1,3} = M_ {2,3} M_ {1,2}}

Rezultă că dacă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este matricea de schimbare a coordonatelor din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ ${\ displaystyle B '}$ Și ${M.}^{'}$ ${\ displaystyle M '}$ $M '$ este matricea de schimbare a coordonatelor din ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ $B '$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ atunci relația se menține: ^[4]

MM'=I

{\ displaystyle MM '= I}

{\ displaystyle MM '= I}

În special, matricea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este inversabilă și ${M.}^{'}$ ${\ displaystyle M '}$ $M '$ este inversul său.

Schimbarea matricilor asociate cu endomorfisme

Este $T:V\to V$ ${\ displaystyle T: V \ to V}$ $T: V \ to V$ un endomorfism al unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Lasa-i sa fie $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ $B '$ două baze pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ matricea de schimbare a coordonatelor din ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ $B '$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Este $[T]_{B}$ ${\ displaystyle [T] _ {B}}$ ${\ displaystyle [T] _ {B}}$ matricea de transformare a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ decât baza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $[T]_{B'}$ ${\ displaystyle [T] _ {B '}}$ ${\ displaystyle [T] _ {B '}}$ matricea asociată cu ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ ${\ displaystyle B '}$ . Atunci relația are:

[T]_{B'}=M^{-1}[T]_{B}M

{\ displaystyle [T] _ {B '} = M ^ {- 1} [T] _ {B} M}

{\ displaystyle [T] _ {B '} = M ^ {- 1} [T] _ {B} M}

În mod echivalent, două matrice care reprezintă același endomorfism în raport cu baze diferite sunt similare . ^[5]

Exemple

În plan cartezian , fie $B=((1,0),(0,1))$ ${\ displaystyle B = ((1,0), (0,1))}$ ${\ displaystyle B = ((1,0), (0,1))}$ baza canonică e $B'=((0,1),(1,0))$ ${\ displaystyle B '= ((0,1), (1,0))}$ ${\ displaystyle B '= ((0,1), (1,0))}$ obținută prin permutare $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Matricea de schimbare a coordonatelor din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ $B '$ Și:
${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\ end {bmatrix}}}$
În spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ , matricea de schimbare dintre baze:
$B=\left(v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},v_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}\right)$ ${\ displaystyle B = \ left (v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \ end {pmatrix}}, v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, v_ {3} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \ end {pmatrix}} \ right)}$ ${\ displaystyle B = \ left (v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \ end {pmatrix}}, v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, v_ {3} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \ end {pmatrix}} \ right)}$
$B'=\left(w_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},w_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\right)$ ${\ displaystyle B '= \ left (w_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, w_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ \ 1 \ end {pmatrix}}, w_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right)}$ ${\ displaystyle B '= \ left (w_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}, w_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ \ 1 \ end {pmatrix}}, w_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right)}$
se găsește prin rezolvarea sistemului de ecuații liniare :
$v_{i}=M_{1i}w_{1}+M_{2i}w_{2}+M_{3i}w_{3}$ ${\ displaystyle v_ {i} = M_ {1i} w_ {1} + M_ {2i} w_ {2} + M_ {3i} w_ {3}}$ ${\ displaystyle v_ {i} = M_ {1i} w_ {1} + M_ {2i} w_ {2} + M_ {3i} w_ {3}}$
cu 9 ecuații (trei pentru fiecare $i=1,2,3$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ ) și 9 necunoscute $M_{ji}$ ${\ displaystyle M_ {ji}}$ ${\ displaystyle M_ {ji}}$ . Rezultatul este matricea:
$M={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {2}} & 1 & 1 \\ {\ frac {1} {2}} & - 1 & 0 \\ - {\ frac {1 } {2}} & 2 & 1 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {2}} & 1 & 1 \\ {\ frac {1} {2}} & - 1 & 0 \\ - {\ frac {1 } {2}} & 2 & 1 \ end {pmatrix}}}$
Matricea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ de aceea poate fi folosit pentru a schimba coordonatele unui vector fix. De exemplu, vectorul:
$v={\begin{pmatrix}5\\2\\7\end{pmatrix}}=2v_{1}-v_{2}+3v_{3}$ ${\ displaystyle v = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \ end {pmatrix}} = 2v_ {1} -v_ {2} + 3v_ {3}}$ ${\ displaystyle v = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ 7 \ end {pmatrix}} = 2v_ {1} -v_ {2} + 3v_ {3}}$
are coordonate cu privire la $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ :
$[v]_{B}={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle [v] _ {B} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle [v] _ {B} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \ end {pmatrix}}}$
Coordonatele sale cu privire la ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ $B '$ apoi se calculează după cum urmează:
$[v]_{B'}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle [v] _ {B '} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {2}} & 1 & 1 \\ {\ frac {1} {2}} & - 1 & 0 \ \ - {\ frac {1} {2}} & 2 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle [v] _ {B '} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {3} {2}} & 1 & 1 \\ {\ frac {1} {2}} & - 1 & 0 \ \ - {\ frac {1} {2}} & 2 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$

Notă

^ Hoffman, Kunze , p. 52 .
^ S. Lang , pagina 111 .
^ S. Lang , p . 113 .
^ S. Lang , pagina 114 .
^ S. Lang , pagina 115 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară, Torino, Bollati Basic Books, 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
F. Odetti, M. Raimondo, Elements of Linear Algebra and Analytical Geometry , ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4 .
Roggero, Schimbări de bază .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Prelegere de algebră liniară MIT despre schimbarea bazelor , de la MIT OpenCourseWare
( EN ) Conferința Khan Academy despre schimbarea bazei , de la Khan Academy

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hoffman, Kunze , p. 52 .

[2] S. Lang , pagina 111 .

[3] S. Lang , p . 113 .

[4] S. Lang , pagina 114 .

[5] S. Lang , pagina 115 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema