Spațiul vectorial implectic

În algebra liniară , un spațiu vectorial simplectic este un spațiu vectorial real $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de dimensiuni uniforme cu o funcție

\omega :V\times V\to \mathbb {R}

{\ displaystyle \ omega: V \ times V \ to \ mathbb {R}}

\ omega: V \ times V \ to \ mathbb {R}

astfel încât, pentru fiecare $v, v^{'}, w, w^{'}$ ${\ displaystyle v, v ', w, w'}$ $v, v ', w, w'$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și pentru fiecare $\lambda ,\mu$ ${\ displaystyle \ lambda, \ mu}$ $\ lambda, \ mu$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$

\omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)

{\ displaystyle \ omega (\ lambda v + \ mu v ', w) = \ lambda \ omega (v, w) + \ mu \ omega (v', w)}

\ omega (\ lambda v + \ mu v ', w) = \ lambda \ omega (v, w) + \ mu \ omega (v', w)

\omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')

{\ displaystyle \ omega (v, \ lambda w + \ mu w ') = \ lambda \ omega (v, w) + \ mu \ omega (v, w')}

\ omega (v, \ lambda w + \ mu w ') = \ lambda \ omega (v, w) + \ mu \ omega (v, w')

\omega (v,v)=0

{\ displaystyle \ omega (v, v) = 0}

\ omega (v, v) = 0

\omega (v,w)=0

{\ displaystyle \ omega (v, w) = 0}

\ omega (v, w) = 0

pentru fiecare

w

{\ displaystyle w}

w

implica

v=0

{\ displaystyle v = 0}

v = 0

Cu alte cuvinte, $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este o formă bilineară antisimetrică nedegenerată , numită produs antiscalar sau simplectic. Spaţiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ echipat cu formularul $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ se spune, de asemenea, că are o structură simplectică.

Am reparat o bază , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ poate fi reprezentat în conformitate cu o matrice de transformare care trebuie neapărat să fie antisimetrică și nu singulară . Dimensiunea spațiului este neapărat egală, deoarece se arată că nu există matrici antisimetrice inversabile cu dimensiuni impare.

Bibliografie

Ralph Abraham și Jarrold E. Marsden, Fundamentele mecanicii , (1978) Benjamin-Cummings, capitolul 3, Londra ISBN 0-8053-0102-X .
Dusa McDuff și D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

Introducere în geometria simplectică ( PDF ), pe alpha01.dm.unito.it . Adus la 6 martie 2009 (arhivat din original la 21 septembrie 2006) .
Structuri Poisson și structuri complexe ( PDF ), pe caressa.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică