Matrice anti-hamiltoniană

În algebra liniară , matricile anti-hamiltoniene sunt matrici speciale care corespund formelor biliniare antisimetrice pe un spațiu vectorial simplectic .

Definiție

Este $e_{1},...e_{2n}$ ${\ displaystyle e_ {1}, ... e_ {2n}}$ ${\ displaystyle e_ {1}, ... e_ {2n}}$ o bază în V , astfel încât $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ poate fi exprimat ca $\sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} e_ {i} \ wedge e_ {n + i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} e_ {i} \ wedge e_ {n + i}}$ . Prin urmare, un operator liniar este anti-hamiltonian în ceea ce privește $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ dacă și numai dacă matricea sa A satisface $A^{T}J=JA$ ${\ displaystyle A ^ {T} J = JA}$ ${\ displaystyle A ^ {T} J = JA}$ , unde J este matricea antisimetrică

Operator anti-hamiltonian

Fie V un spațiu vectorial , de dimensiuni uniforme, prevăzut cu o formă simplectică $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . O hartă liniară $A:\;V\mapsto V$ ${\ displaystyle A: \; V \ mapsto V}$ ${\ displaystyle A: \; V \ mapsto V}$ se numește operator anti-hamiltonian în ceea ce privește $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ dacă forma $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ ${\ displaystyle x, y \ mapsto \ Omega (A (x), y)}$ ${\ displaystyle x, y \ mapsto \ Omega (A (x), y)}$ este antisimetric.

J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {bmatrix}}}

iar I _n este matricea identitară a diemnsiunilor $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ ^[1] . Astfel de matrice se numesc anti-hamiltonieni.

Proprietate

Rădăcina unei matrice hamiltoniene este anti-hamiltoniană.
Orice matrice anti-hamiltoniană poate fi obținută ca rădăcină a unei matrice hamiltoniene ^[1] ^[2] .

Notă

^ ^a ^b William C. Waterhouse, Structura matricilor alternativ-hamiltoniene , în Algebra liniară și aplicațiile sale , vol. 396, 1 februarie 2005, pp. 385-390, DOI : 10.1016 / j.laa . 2004.10.003 , ISSN 0024-3795 ( WC ACNP ) .
^ Heike Faßbender, D. Steven Mackey, Niloufer Mackey și Hongguo XuHamiltonian Square Roots of Skew-Hamiltonian Matrices, Linear Algebra and its Applications 287, pp. 125 - 159, 1999

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[waterhouse-1] William C. Waterhouse, Structura matricilor alternativ-hamiltoniene , în Algebra liniară și aplicațiile sale , vol. 396, 1 februarie 2005, pp. 385-390, DOI : 10.1016 / j.laa . 2004.10.003 , ISSN 0024-3795 ( WC ACNP ) .

[2] Heike Faßbender, D. Steven Mackey, Niloufer Mackey și Hongguo XuHamiltonian Square Roots of Skew-Hamiltonian Matrices, Linear Algebra and its Applications 287, pp. 125 - 159, 1999

[1]

[2]