Grup ortogonal
În matematică , grupul ortogonal de grad n peste un câmp K este grupul matricilor ortogonale n × n la valorile din K. Se notează cu O (n, K).
Când K este câmpul numerelor reale , grupul poate fi interpretat ca grupul de izometrii ale spațiului euclidian de dimensiunea n. Matricile având determinant egal cu +1 formează un subgrup , care este notat cu SO (n), grupul ortogonal special menționat . Grupul ortogonal special este grupul de rotații ale spațiului.
Definiție
Grupul ortogonal este un subgrup al grupului liniar general GL (n, K) al tuturor matricilor inversabile , definit astfel:
Cu alte cuvinte, este subgrupul format din toate matricile ortogonale [1] .
Când câmpul K nu este menționat, se înțelege că K este câmpul numerelor reale R. În această intrare, vom discuta doar cazul K = R.
Proprietăți de bază
O matrice ortogonală are determinantul +1 sau - 1. Subsetul lui O (n) format din toate matricile cu determinantul +1 la rândul său este un subgrup, numit grup ortogonal special. Se notează cu SO (n). Elementele acestui grup sunt rotațiile .
Grupul O (n) este grupul de izometrii ale sferei de dimensiune n - 1. Subgrupul SO (n) este dat de toate izometriile care păstrează „ orientarea sferei.
Topologie
Grupul O (n) este o varietate diferențiată și, împreună cu structura sa de grup, formează un grup Lie compact . Nu este conectat : are două componente conectate, dintre care una este SO (n).
Dimensiuni reduse
- Pentru n = 1, grupul O (1) este format din două elemente, 1 și - 1.
- Pentru n = 2, grupul SO (2) este izomorf pentru grupul coeficient R / Z unde R și Z sunt numerele reale, subgrupul de numere întregi . Acest grup este de obicei notat cu S 1, și este o topologic circumferință .
- Pentru n = 3, grupul SO (3) este homeomorf pentru spațiul proiectiv real de mărimea 3, care indică de obicei ca P 3 (R).
Grup fundamental
Grupul fundamental al SO (2) este Z, grupul întregilor . Pentru fiecare n> 2 grupul fundamental al SO (n) este în schimb Z / 2 Z, grupul ciclic cu două elemente. Prin urmare, are un compact universal de acoperire , care este indicat cu Spin (n) și care este, de asemenea, un grup Lie. Grupul Spin (n) se numește grup Spin.
Notă
- ^ Edward Sernesi, Geometry 2, 1st ed., Torino, Bollati Basic Books, 1994, p. 58, ISBN 88-339-5548-6 .
Bibliografie
- (EN) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Ediția a doua, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002 ISBN 0-8176-4259-5 .
- Edward Sernesi, Geometry 2, 1st ed., Torino, Bollati Basic Books, 1994, ISBN 88-339-5548-6 .
