Grup de monștri

Acest articol sau secțiune despre matematică lipsește sau lipsește de note și referințe bibliografice specifice . Deși există o bibliografie și / sau legături externe , nu există o contextualizare a surselor cu note de subsol sau alte referințe precise care indică cu exactitate originea informațiilor. Puteți îmbunătăți această intrare citând mai precis sursele . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

În matematică și în special în teoria grupurilor, grupul monstruos M (sau grupul IM sau Fischer-Griess ) este un grup finit de ordine

2 ⁴⁶ 3 ²⁰ 5 ⁹ 7 ⁶ 11 ² 13 ³ 17 19 23 29 31 41 47 59 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

≈ 8 10 ⁵³ .

Este un grup simplu care, prin urmare, nu are subgrupuri normale, cu excepția celor compuse din elementul de identitate și grupul M în sine.

Grupurile simple finite au fost clasificate în întregime : există 18 familii infinite de numărate de grupuri simple finite, plus 26 de grupuri sporadice care nu urmează nicio structură aparentă. Grupul Monster este cel mai mare dintre grupurile sporadice.

Existența și unicitatea

Grupul Monster a fost prezis de Bernd Fischer și Robert Griess în 1973 și a fost construit de Griess în 1980 ca un grup de automorfism al algebrei Griess , o algebră comutativă și non-asociativă cu 196.884 dimensiuni. Mai târziu, John Conway a reușit să simplifice construcția.

Lucrarea lui Griess și Conway a dovedit că grupul M există, în timp ce unicitatea sa a fost demonstrată de John G. Thompson ca o consecință a existenței unei reprezentări fidele de 196 883 dimensiuni. Dovada existenței unei astfel de reprezentări a fost anunțată de Simon P. Norton în 1982 , dar nu au fost publicate detalii. Prima demonstrație documentată a unicității grupului de monștri a fost dată în 1990 de Griess, Meierfrankenfeld și Segev.

Caracterele grupului M au fost calculate, deja în 1979 , chiar înainte de a fi demonstrate existența și unicitatea acestuia. Metoda de calcul s-a bazat pe presupunerea că gradul minim al unei reprezentări fidele este 196 883.

Vorbe de clacă

Grupul Monster este cel mai important grup pentru așa-numita conjectură Monstrous moonshine, care stabilește o conexiune profundă între matematică discretă și nediscretă, o conjectură demonstrată de Richard Borcherds în 1992 .

În acest context, grupul Monster joacă rolul grupului de automorfisme ale modulului Monster, o algebră a operatorilor de vârfuri cu dimensiuni infinite care conține algebra lui Griess și care acționează asupra algebrei lui Lie Monster, o structură care este un Kac-Moody generalizat algebra .

Construcția computerelor

Robert A. Wilson a găsit în mod explicit (cu ajutorul unui computer electronic) două matrice pătrate 196882 × 196882 pe câmpul a două elemente, care generează grupul M. Cu toate acestea, efectuarea calculelor cu aceste două matrice este prea costisitoare în termeni de timp și spațiu de memorie; prin urmare, Wilson și colaboratorii săi au conceput o metodă mai rapidă care permite efectuarea calculelor necesare.

Fie V un spațiu vectorial cu dimensiunea 196882 în câmpul a două elemente, și H să fie un subgrup mare (de preferință un subgrup maxim) al Monstrului, ales în așa fel încât să fie ușor de efectuat calculele. Subgrupul ales este 3 ^{1 + 12} .2.Suz.2, unde Suz indică grupul lui Suzuki . Elementele grupului M sunt stocate ca termeni în elementele lui H și ale unui generator suplimentar T. Este destul de rapid să calculăm acțiunea unuia dintre acești termeni asupra unui vector din V. Folosind această metodă este posibil să se facă calcule (de ordinul de mărime al unui element al Monstrului). Wilson a arătat că vectorii care satisfac stabilitatea u și v sunt grupuri banale; în consecință putem calcula (de exemplu) perioada unui element g al grupului M găsind cel mai mic exponent pozitiv i astfel încât g ⁱ u = u și g ⁱ v = v .

Această construcție și altele asemănătoare (cu caracteristici diferite) au fost folosite pentru a testa unele proprietăți interesante ale Monstrului (de exemplu pentru a găsi unele dintre subgrupurile sale non-locale maxime).

Bibliografie

• RL Griess, Jr. The Friendly Giant , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102
• Griess, Robert L., Jr.; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav O dovadă de unicitate pentru Monstru. Ann. de matematică. (2) 130 (1989), nr. 3, 567-602.
• PE Holmes și RA Wilson, O construcție computerizată a monstrului folosind 2 subgrupuri locale , J. London Math. Soc. 67 (2003), 346-364.
• SA Linton, RA Parker, PG Walsh și RA Wilson, Construcția computerizată a monstrului , J. Group Theory 1 (1998), 307-337.
• Conway, JH ; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; și Wilson, RA: Atlasul grupurilor finite: subgrupuri maxime și caractere obișnuite pentru grupuri simple. Oxford, Anglia 1985.
• SP Norton, Unicitatea monstrului Fischer-Griess , grupuri finite --- majorare (Montreal, Que., 1982), 271-285, Contemp. Math., 45, Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 1985.
• JH Conway și SP Norton, Monstrous Moonshine , Bull. London Math. Soc. 11 (1979), nr. 3, 308-339.

Elemente conexe

• Clasificarea grupurilor simple finite
• Grup sporadic

V · D · M Algebră
Numere	Naturale · Întregi · Raționale · iraționale · Algebrice · Transcendente · Reale · Complexe
Principii fundamentale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență · Relația de ordine
Elemente de combinatorie	Factorial · Permutare · Dispoziție · Combinație · Demutare · Principiul incluziunii-excluderii
Concepte fundamentale ale teoriei numerelor	Primul Primul număr · Teorema infinității numerelor prime · Situl lui Eratostene · Situl lui Atkin · Primalitatea testului · Teorema fundamentală a aritmeticii Divizoare Coprimă întregi · Identitate Bézout · GCD · mcm · Algoritmul lui Euclid · Criterii de divizibilitate · Divizor Aritmetica modulară Rest teorema chineză · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · φ Functia lui Euler · Wilson Teorema · Reciprocitate pătratică
Algebra elementară	Ecuație · Inegalitate · Polinomio · Triunghiul lui Pascal · Teorema binomială · Teorema restului · Lema Gauss · Teorema rădăcini raționale · Criteriul lui Eisenstein · Regula semnelor lui Descartes
Teoria grupului	Grupuri Group ( terminat · ciclic · abeliană ) · Grup Primar · câtul Group · nilpotent Group · rezolvabile Group · simetrica Group · diedru Group · simplu Group · Eventuala Group · monster Group · Klein Group · Grup de quaternions · generale lineare Grupa · ortogonal Group · Unitatea de grup · grup unitar de construcții · rezidual grup terminat · grup de spațiu · grup de profinite · produs directă · semidirect produs · împletitură de produse Teoreme Teorema izomorfism · Teorema lui Lagrange · Cauchy Teorema · teoremele Sylow · Teorema lui Cayley · Structura teorema de grupuri abeliene finite · Lema fluture · Clasificarea grupurilor simple , finite Subseturi Subgrup · Subgrup normal · Caracteristică subgrup · Subgrup Frattini · Torsiune subgrup · Clasa laterală · Clasa soților · Serie compozițională Omomorfismelor · izomorfism · automorphism intern · exterior automorphism · permutare · o prezentare de grup · acțiune de grup
Teoria inelului	Inel ( artiniano · noetherian ) · Caracteristică · Ideal ( Primul · plafon ) · Domeniu ( factorizare unică · idealuri principale · Euclidean ) · Matrice · inel simplu · Teorema Artin-Wedderburn · Formă · Domeniul Dedekind · Inele de extensie · Teorema bazei lui Hilbert
Teoria câmpului	Câmp · polinom ireductibil · polinom ciclotomic · Teorema fundamentală a algebrei · Campo terminat · automorfism · Endomorfismo Frobenius Extensii Divizarea Câmp · Câmpuri de extensie · extensie algebrică · extensie separabile · închidere algebrică · numere de câmp · extensie normală · extensie Galois · Abelian extensie · extensie cyclotomic · Teoria Kummer Teoria lui Galois Grupul Galois · Teoria lui Galois · Teorema fundamentală a teoriei lui Galois · Teorema Abel-Ruffini · Construcția cu rigla și busola
Alte structuri algebrice	Magma · semigrup · Corp · spațiu vectorial · Algebra camp · algebra Lie · Algebră diferențială · Algebră Clifford · topologică Group · Grupul comandat · inel de aproape

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică