Teoria caracterului

În matematică , teoria caracterelor este o ramură a teoriei reprezentării grupurilor și este utilizată pe scară largă în teoria numerelor ; în special, este fundamental pentru dovada teoremei lui Dirichlet și a teoremei lui Burnside .

Definirea caracterului

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și fie $\rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)$ ${\ displaystyle \ rho \ colon G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ $\ rho \ colon G \ to {\ mathrm {GL}} (V)$ o reprezentare a grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Caracterul reprezentării $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este, prin definiție, harta $\chi _{\rho }\colon G\to K$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho} \ colon G \ to K}$ $\ chi _ {{\ rho}} \ colon G \ to K$ care trimite $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ $g \ în G$ în urma matricei reprezentative a automorfismului $\rho (g)$ ${\ displaystyle \ rho (g)}$ $\ rho (g)$ :

\chi _{\rho }(g)={\mbox{Tr}}(\rho (g)).

{\ displaystyle \ chi _ {\ rho} (g) = {\ mbox {Tr}} (\ rho (g)).}

\ chi _ {{\ rho}} (g) = {\ mbox {Tr}} (\ rho (g)).

Proprietate

Caracterul unei transformări are unele proprietăți particulare.

Este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ o reprezentare a grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe spațiul vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și fie $\chi _{\rho }$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ rho}}$ $\ chi _ {{\ rho}}$ caracterul său, atunci putem spune că:

$\chi (1_{G})$ ${\ displaystyle \ chi (1_ {G})}$ $\ chi (1_ {G})$ este egală cu dimensiunea spațiului vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ intr-adevar:
$\chi (1_{G})=\mathrm {Tr} (\rho (1_{G}))=\mathrm {Tr} (1_{\mathrm {GL} (V)})$ ${\ displaystyle \ chi (1_ {G}) = \ mathrm {Tr} (\ rho (1_ {G})) = \ mathrm {Tr} (1 _ {\ mathrm {GL} (V)})}$ $\ chi (1_ {G}) = {\ mathrm {Tr}} (\ rho (1_ {G})) = {\ mathrm {Tr}} (1 _ {{{\ mathrm {GL}} (V)} })$
și de atunci $1_{\mathrm {GL} (V)}$ ${\ displaystyle 1 _ {\ mathrm {GL} (V)}}$ $1 _ {{{\ mathrm {GL}} (V)}}$ este matricea identică a spațiului vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ urmele sale sunt egale cu mărimea sa.
$\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ este constantă la clasele de căsătorie . Cu alte cuvinte dacă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt două elemente ale lui G, avem $\chi (g^{-1}xg)=\chi (x)$ ${\ displaystyle \ chi (g ^ {- 1} xg) = \ chi (x)}$ $\ chi (g ^ {{- 1}} xg) = \ chi (x)$ . Motivul este că urma este invariantă prin similitudine , adică matricile similare au aceeași urmă.
Două reprezentări $\rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)$ ${\ displaystyle \ rho \ colon G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ $\ rho \ colon G \ to {\ mathrm {GL}} (V)$ Și $\pi \colon G\to \mathrm {GL} (U)$ ${\ displaystyle \ pi \ colon G \ to \ mathrm {GL} (U)}$ $\ pi \ colon G \ to {\ mathrm {GL}} (U)$ se spune că sunt izomorfe dacă există un izomorfism $\phi \colon V\to U$ ${\ displaystyle \ phi \ colon V \ to U}$ $\ phi \ colon V \ to U$ astfel încât:
$\phi \circ \pi (g)\circ \phi ^{-1}=\rho (g)$ ${\ displaystyle \ phi \ circ \ pi (g) \ circ \ phi ^ {- 1} = \ rho (g)}$ $\ phi \ circ \ pi (g) \ circ \ phi ^ {{- 1}} = \ rho (g)$
pentru fiecare element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ a grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Astfel, dacă $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Și $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ sunt izomorfe atunci, deoarece urma este invariantă prin similitudine , vor avea același caracter ( $\chi _{\pi }=\chi _{\rho }$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ pi} = \ chi _ {\ rho}}$ $\ chi _ {{\ pi}} = \ chi _ {{\ rho}}$ ).
De sine $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup finit de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ asa de $\chi (g)$ ${\ displaystyle \ chi (g)}$ $\ chi (g)$ aparține câmpului supradimensionat al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ generat din rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . De fapt de atunci $g^{n}=1$ ${\ displaystyle g ^ {n} = 1}$ $g ^ {n} = 1$ pentru fiecare $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ $g \ în G$ ai și tu $\rho (g)^{n}=1$ ${\ displaystyle \ rho (g) ^ {n} = 1}$ $\ rho (g) ^ {n} = 1$ pentru fiecare $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ $g \ în G$ și, prin urmare, valorile proprii ale $\rho (g)$ ${\ displaystyle \ rho (g)}$ $\ rho (g)$ sunt rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Caracterul unei sume directe

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ două spații vectoriale pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și $\pi :G\to \mathrm {GL} (V)$ ${\ displaystyle \ pi: G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ $\ pi: G \ to {\ mathrm {GL}} (V)$ , $\rho :G\to \mathrm {GL} (W)$ ${\ displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {GL} (W)}$ $\ rho: G \ to {\ mathrm {GL}} (W)$ două reprezentări ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Dacă definim $\pi _{g}:=\pi (g)$ ${\ displaystyle \ pi _ {g}: = \ pi (g)}$ $\ pi _ {g}: = \ pi (g)$ Și $\rho _{g}:=\rho (g)$ ${\ displaystyle \ rho _ {g}: = \ rho (g)}$ $\ rho _ {g}: = \ rho (g)$ , suma directă a $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Și $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este reprezentarea

\pi \oplus \rho :G\to \mathrm {GL} (V\oplus W)

{\ displaystyle \ pi \ oplus \ rho: G \ to \ mathrm {GL} (V \ oplus W)}

\ pi \ oplus \ rho: G \ to {\ mathrm {GL}} (V \ oplus W)

definit astfel:

(\pi \oplus \rho )_{g}:=\pi _{g}\oplus \rho _{g},

{\ displaystyle (\ pi \ oplus \ rho) _ {g}: = \ pi _ {g} \ oplus \ rho _ {g},}

(\ pi \ oplus \ rho) _ {g}: = \ pi _ {g} \ oplus \ rho _ {g},

unde este $\pi _{g}\oplus \rho _{g}$ ${\ displaystyle \ pi _ {g} \ oplus \ rho _ {g}}$ $\ pi _ {g} \ oplus \ rho _ {g}$ este aplicația care trimite $(v,w)$ ${\ displaystyle (v, w)}$ $(v, w)$ , apartenență $V\times W$ ${\ displaystyle V \ times W}$ $V \ ori W$ , în $(\pi _{g}v,\rho _{g}w)$ ${\ displaystyle (\ pi _ {g} v, \ rho _ {g} w)}$ $(\ pi _ {g} v, \ rho _ {g} w)$ , aparținând întotdeauna $V\times W$ ${\ displaystyle V \ times W}$ $V \ ori W$ .

În mod evident, are

\chi _{\pi \oplus \rho }(g)=\mathrm {Tr} ((\pi \oplus \rho )_{g})=\mathrm {Tr} (\pi _{g}\oplus \rho _{g})=\mathrm {Tr} (\pi _{g})+\mathrm {Tr} (\rho _{g})=\chi _{\pi }(g)+\chi _{\rho }(g),

{\ displaystyle \ chi _ {\ pi \ oplus \ rho} (g) = \ mathrm {Tr} ((\ pi \ oplus \ rho) _ {g}) = \ mathrm {Tr} (\ pi _ {g} \ oplus \ rho _ {g}) = \ mathrm {Tr} (\ pi _ {g}) + \ mathrm {Tr} (\ rho _ {g}) = \ chi _ {\ pi} (g) + \ chi _ {\ rho} (g),}

\ chi _ {{\ pi \ oplus \ rho}} (g) = {\ mathrm {Tr}} ((\ pi \ oplus \ rho) _ {g}) = {\ mathrm {Tr}} (\ pi _ {g} \ oplus \ rho _ {g}) = {\ mathrm {Tr}} (\ pi _ {g}) + {\ mathrm {Tr}} (\ rho _ {g}) = \ chi _ {{ \ pi}} (g) + \ chi _ {{\ rho}} (g),

asta pentru fiecare $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ prin urmare:

\chi _{\pi \oplus \rho }=\chi _{\pi }+\chi _{\rho }.

{\ displaystyle \ chi _ {\ pi \ oplus \ rho} = \ chi _ {\ pi} + \ chi _ {\ rho}.}

\ chi _ {{\ pi \ oplus \ rho}} = \ chi _ {{\ pi}} + \ chi _ {{\ rho}}.

Caracterul unui produs tensor

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ două spații vectoriale pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și $\pi :G\to \mathrm {GL} (V)$ ${\ displaystyle \ pi: G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ $\ pi: G \ to {\ mathrm {GL}} (V)$ , $\rho \colon G\to \mathrm {GL} (W)$ ${\ displaystyle \ rho \ colon G \ to \ mathrm {GL} (W)}$ $\ rho \ colon G \ to {\ mathrm {GL}} (W)$ două reprezentări ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Dacă definim $\pi (g)=\pi _{g}$ ${\ displaystyle \ pi (g) = \ pi _ {g}}$ $\ pi (g) = \ pi _ {g}$ Și $\rho (g)=\rho _{g}$ ${\ displaystyle \ rho (g) = \ rho _ {g}}$ $\ rho (g) = \ rho _ {g}$ , produsul tensor al $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Și $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este reprezentarea

\pi \otimes \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V\otimes _{K}W)

{\ displaystyle \ pi \ otimes \ rho \ colon G \ to \ mathrm {GL} (V \ otimes _ {K} W)}

\ pi \ otimes \ rho \ colon G \ to {\ mathrm {GL}} (V \ otimes _ {K} W)

definit astfel:

(\pi \otimes \rho )_{g}:=\pi _{g}\otimes \rho _{g},

{\ displaystyle (\ pi \ otimes \ rho) _ {g}: = \ pi _ {g} \ otimes \ rho _ {g},}

(\ pi \ otimes \ rho) _ {g}: = \ pi _ {g} \ otimes \ rho _ {g},

unde este $\pi _{g}\otimes \rho _{g}$ ${\ displaystyle \ pi _ {g} \ otimes \ rho _ {g}}$ $\ pi _ {g} \ otimes \ rho _ {g}$ trimite

\sum _{i}v_{i}\otimes w_{i}

{\ displaystyle \ sum _ {i} v_ {i} \ otimes w_ {i}}

\ sum _ {i} v_ {i} \ otimes w_ {i}

în

\sum _{i}\pi _{g}(v_{i})\otimes \rho _{g}(w_{i}).

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ pi _ {g} (v_ {i}) \ otimes \ rho _ {g} (w_ {i}).}

\ sum _ {i} \ pi _ {g} (v_ {i}) \ otimes \ rho _ {g} (w_ {i}).

Acest produs tensor are următoarea proprietate: dacă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt matricile a două hărți liniare $f\colon V\to V$ ${\ displaystyle f \ colon V \ to V}$ $f \ colon V \ to V$ , $g\colon W\to W$ ${\ displaystyle g \ colon W \ to W}$ $g \ colon W \ to W$ decât elementele de bază $\{v_{i}\ |\ i\}$ ${\ displaystyle \ {v_ {i} \ | \ i \}}$ $\ {v_ {i} \ | \ i \}$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $\{w_{i}\ |\ i\}$ ${\ displaystyle \ {w_ {i} \ | \ i \}}$ $\ {w_ {i} \ | \ i \}$ din $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , produsul lor tensor $f\otimes g$ ${\ displaystyle f \ otimes g}$ $f \ otimes g$ este reprezentat de produsul Kronecker al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , indicat cu $x\otimes y$ ${\ displaystyle x \ otimes y}$ $x \ otimes y$ , comparativ cu baza $\{v_{i}\otimes w_{j}\ |\ i,j\}$ ${\ displaystyle \ {v_ {i} \ otimes w_ {j} \ | \ i, j \}}$ $\ {v_ {i} \ otimes w_ {j} \ | \ i, j \}$ din $V\otimes _{K}W$ ${\ displaystyle V \ otimes _ {K} W}$ $V \ otimes_K W$ .

Din proprietate

\mathrm {tr} (x\otimes y)=\mathrm {tr} (x)\mathrm {tr} (y)

{\ displaystyle \ mathrm {tr} (x \ otimes y) = \ mathrm {tr} (x) \ mathrm {tr} (y)}

{\ mathrm {tr}} (x \ otimes y) = {\ mathrm {tr}} (x) {\ mathrm {tr}} (y)

rezultă că

\chi _{\pi \otimes \rho }=\chi _{\pi }\cdot \chi _{\rho }.

{\ displaystyle \ chi _ {\ pi \ otimes \ rho} = \ chi _ {\ pi} \ cdot \ chi _ {\ rho}.}

\ chi _ {{\ pi \ otimes \ rho}} = \ chi _ {{\ pi}} \ cdot \ chi _ {{\ rho}}.

Caracterul celei de-a doua puteri simetrice

Având în vedere un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , puterea simetrică $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -thth din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este spațiul vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , indicat cu $S^{m}(V)$ ${\ displaystyle S ^ {m} (V)}$ $S ^ {m} (V)$ , generat de produsele simetrice de tip $v_{1}\cdot \dots \cdot v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {1} \ cdot \ dots \ cdot v_ {m}}$ $v_ {1} \ cdot \ dots \ cdot v_ {m}$ unde i $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ apartine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ iar produsele sumelor se obțin prin impunerea distributivității obișnuite. Construcția este functorial în sensul că fiecare hartă liniară $\varphi :V\to W$ ${\ displaystyle \ varphi: V \ to W}$ $\ varphi: V \ to W$ îi poți asocia puterea simetrică $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -alea

S^{m}(\varphi ):S^{m}(V)\to S^{m}(W)

{\ displaystyle S ^ {m} (\ varphi): S ^ {m} (V) \ to S ^ {m} (W)}

S ^ {m} (\ varphi): S ^ {m} (V) \ to S ^ {m} (W)

trimiterea $v_{1}\dots v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {1} \ dots v_ {m}}$ $v_ {1} \ dots v_ {m}$ în $\varphi (v_{1})\dots \varphi (v_{m})$ ${\ displaystyle \ varphi (v_ {1}) \ dots \ varphi (v_ {m})}$ $\ varphi (v_ {1}) \ dots \ varphi (v_ {m})$ .

De sine $\{e_{1},\dots e_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ dots e_ {n} \}}$ $\ {e_ {1}, \ dots e_ {n} \}$ este o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ apoi o bază de $S^{m}(V)$ ${\ displaystyle S ^ {m} (V)}$ $S ^ {m} (V)$ este dat de produse ${e_{1}}^{i_{1}}\cdot \dots \cdot {e_{n}}^{i_{n}}$ ${\ displaystyle {e_ {1}} ^ {i_ {1}} \ cdot \ dots \ cdot {e_ {n}} ^ {i_ {n}}}$ ${e_ {1}} ^ {{i_ {1}}} \ cdot \ dots \ cdot {e_ {n}} ^ {{i_ {n}}}$ unde este $i_{1}+\dots +i_{n}=m$ ${\ displaystyle i_ {1} + \ dots + i_ {n} = m}$ $i_ {1} + \ dots + i_ {n} = m$ . Prin urmare, avem:

\dim _{K}(S^{m}(V))={\binom {n+m-1}{m}}.

{\ displaystyle \ dim _ {K} (S ^ {m} (V)) = {\ binom {n + m-1} {m}}.}

\ dim _ {K} (S ^ {m} (V)) = {\ binom {n + m-1} {m}}.

La fiecare spectacol $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ ${\ displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ $\ rho: G \ to {\ mathrm {GL}} (V)$ putem asocia reprezentarea $S^{m}(\rho ):G\to \mathrm {GL} (s^{m}(V))$ ${\ displaystyle S ^ {m} (\ rho): G \ to \ mathrm {GL} (s ^ {m} (V))}$ $S ^ {m} (\ rho): G \ to {\ mathrm {GL}} (s ^ {m} (V))$ definit prin trimitere $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în $S^{m}(\rho (g))$ ${\ displaystyle S ^ {m} (\ rho (g))}$ $S ^ {m} (\ rho (g))$ . De sine $m=2$ ${\ displaystyle m = 2}$ $m = 2$ , da

\chi _{S^{2}(\rho )}(g)={\frac {1}{2}}\left(\chi _{\rho }(g)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right)

{\ displaystyle \ chi _ {S ^ {2} (\ rho)} (g) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ chi _ {\ rho} (g) ^ {2} + \ chi _ {\ rho} (g ^ {2}) \ right)}

\ chi _ {{S ^ {2} (\ rho)}} (g) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ chi _ {{\ rho}} (g) ^ {2} + \ chi _ {{\ rho}} (g ^ {2}) \ dreapta)

Caracterul celei de-a doua puteri externe

Având în vedere un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , in marime $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și cu baza $\{v_{1},\dots v_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ dots v_ {n} \}}$ $\ {v_ {1}, \ dots v_ {n} \}$ , puterea externă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -thth din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este spațiul vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ indicat cu $\Lambda ^{m}(V)$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {m} (V)}$ $\ Lambda ^ {m} (V)$ și generate de alternarea produselor multiliniare $v_{1}\wedge \dots \wedge v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {1} \ wedge \ dots \ wedge v_ {m}}$ $v_ {1} \ wedge \ dots \ wedge v_ {m}$ unde i $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ sunt vectori ai $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ iar produsele sumelor se obțin prin impunerea distributivității obișnuite. Construcția este funcțională în sensul că este aplicată fiecărei aplicații $\varphi \colon V\to W$ ${\ displaystyle \ varphi \ colon V \ to W}$ $\ varphi \ colon V \ to W$ îi puteți asocia puterea externă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ -alea $\Lambda ^{m}(\varphi ):\Lambda ^{m}(V)\to \Lambda ^{m}(W)$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {m} (\ varphi): \ Lambda ^ {m} (V) \ to \ Lambda ^ {m} (W)}$ $\ Lambda ^ {m} (\ varphi): \ Lambda ^ {m} (V) \ to \ Lambda ^ {m} (W)$ trimiterea $v_{1}\wedge \dots \wedge v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {1} \ wedge \ dots \ wedge v_ {m}}$ $v_ {1} \ wedge \ dots \ wedge v_ {m}$ în $\varphi (v_{1})\wedge \dots \wedge \varphi (v_{m})$ ${\ displaystyle \ varphi (v_ {1}) \ wedge \ dots \ wedge \ varphi (v_ {m})}$ $\ varphi (v_ {1}) \ wedge \ dots \ wedge \ varphi (v_ {m})$ .

De sine $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ dots, e_ {n} \}}$ $\ {e_ {1}, \ dots, e_ {n} \}$ este o bază pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ apoi o bază de $\Lambda ^{m}(V)$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {m} (V)}$ $\ Lambda ^ {m} (V)$ este dat de produse $e_{i_{1}}\wedge \dots \wedge e_{i_{m}}$ ${\ displaystyle e_ {i_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge e_ {i_ {m}}}$ $și _ {{i_ {1}}} \ wedge \ dots \ wedge e _ {{i_ {m}}}$ unde este $i_{1}<\dots <i_{m}\in \{1,\dots ,n\}$ ${\ displaystyle i_ {1} <\ dots <i_ {m} \ in \ {1, \ dots, n \}}$ $i_ {1} <\ dots <i_ {m} \ in \ {1, \ dots, n \}$ . Deci avem

\dim _{K}(\Lambda ^{m}(V))={\binom {n}{m}}

{\ displaystyle \ dim _ {K} (\ Lambda ^ {m} (V)) = {\ binom {n} {m}}}

\ dim _ {K} (\ Lambda ^ {m} (V)) = {\ binom {n} {m}}

La fiecare spectacol $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ ${\ displaystyle \ rho: G \ to \ mathrm {GL} (V)}$ $\ rho: G \ to {\ mathrm {GL}} (V)$ putem asocia reprezentarea $\Lambda ^{m}(\rho ):G\to \mathrm {GL} (\Lambda ^{m}(V))$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {m} (\ rho): G \ to \ mathrm {GL} (\ Lambda ^ {m} (V))}$ $\ Lambda ^ {m} (\ rho): G \ to {\ mathrm {GL}} (\ Lambda ^ {m} (V))$ definit prin trimitere $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în $\Lambda ^{m}(\rho _{g})$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {m} (\ rho _ {g})}$ $\ Lambda ^ {m} (\ rho _ {g})$ . Da, da

\chi _{\Lambda ^{2}(\rho )}(g)={\frac {1}{2}}(\chi _{\rho }(g)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})).

{\ displaystyle \ chi _ {\ Lambda ^ {2} (\ rho)} (g) = {\ frac {1} {2}} (\ chi _ {\ rho} (g) ^ {2} - \ chi _ {\ rho} (g ^ {2})).}

\ chi _ {{\ Lambda ^ {2} (\ rho)}} (g) = {\ frac {1} {2}} (\ chi _ {{\ rho}} (g) ^ {2} - \ chi _ {{\ rho}} (g ^ {2})).

Relațiile de ortogonalitate

Lasa-i sa fie $(U,\pi )$ ${\ displaystyle (U, \ pi)}$ $(U, \ pi)$ , $(V,\rho )$ ${\ displaystyle (V, \ rho)}$ $(V, \ rho)$ două reprezentări ale grupului finit $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , și așa să fie $\varphi \colon U\to V$ ${\ displaystyle \ varphi \ colon U \ to V}$ $\ varphi \ colon U \ to V$ o aplicație liniară. În cazul în care caracteristica $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nu împarte ordinea $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ definim

\varphi _{0}:={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho _{g}\varphi \pi _{g}^{-1}.

{\ displaystyle \ varphi _ {0}: = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ rho _ {g} \ varphi \ pi _ {g} ^ {- 1 }.}

\ varphi _ {0}: = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {{g \ in G}} \ rho _ {g} \ varphi \ pi _ {g} ^ {{- 1 }}.

Este o aplicație liniară K $U\to V$ ${\ displaystyle U \ to V}$ $U \ to V$ , și are proprietatea fundamentală de a fi $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ -invariant, în sensul că $\varphi _{0}(\pi _{h}(u))=\rho _{h}(\varphi _{0}(u))$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0} (\ pi _ {h} (u)) = \ rho _ {h} (\ varphi _ {0} (u))}$ $\ varphi _ {0} (\ pi _ {h} (u)) = \ rho _ {h} (\ varphi _ {0} (u))$ pentru fiecare $h\in G$ ${\ displaystyle h \ în G}$ $h \ în G$ , $u\in U$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $u \ in U$ .

În cazul particular în care $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este închis algebric și reprezentări $(U,\pi )$ ${\ displaystyle (U, \ pi)}$ $(U, \ pi)$ , $(V,\rho )$ ${\ displaystyle (V, \ rho)}$ $(V, \ rho)$ sunt ireductibile, lema lui Schur ne spune că:

de sine $\pi \not \cong \rho$ ${\ displaystyle \ pi \ not \ cong \ rho}$ $\ pi \ not \ cong \ rho$ asa de $\varphi _{0}=0$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0} = 0}$ $\ varphi _ {0} = 0$ ;
de sine $\pi =\rho$ ${\ displaystyle \ pi = \ rho}$ $\ pi = \ rho$ asa de $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ $\ varphi _ {0}$ este multiplicarea prin scalar $\mathrm {tr} (\varphi )/\dim _{K}(V)$ ${\ displaystyle \ mathrm {tr} (\ varphi) / \ dim _ {K} (V)}$ ${\ mathrm {tr}} (\ varphi) / \ dim _ {K} (V)$ .

A doua afirmație este justificată de faptul că a spus $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ valoarea proprie a $\varphi _{0}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$ $\ varphi _ {0}$ da ai

\lambda \dim _{K}(V)=\mathrm {tr} (\varphi _{0})=\mathrm {tr} \left({\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho _{g}\varphi \rho _{g}^{-1}\right)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {tr} (\rho _{g}\varphi \rho _{g}^{-1})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {tr} (\varphi )=\mathrm {tr} (\varphi ).

{\ displaystyle \ lambda \ dim _ {K} (V) = \ mathrm {tr} (\ varphi _ {0}) = \ mathrm {tr} \ left ({\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ rho _ {g} \ varphi \ rho _ {g} ^ {- 1} \ right) = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ mathrm {tr} (\ rho _ {g} \ varphi \ rho _ {g} ^ {- 1}) = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ mathrm {tr} (\ varphi) = \ mathrm {tr} (\ varphi).}

\ lambda \ dim _ {K} (V) = {\ mathrm {tr}} (\ varphi _ {0}) = {\ mathrm {tr}} \ left ({\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {{g \ in G}} \ rho _ {g} \ varphi \ rho _ {g} ^ {{- 1}} \ right) = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {{g \ in G}} {\ mathrm {tr}} (\ rho _ {g} \ varphi \ rho _ {g} ^ {{- 1}}) = {\ frac {1} {| G | }} \ sum _ {{g \ in G}} {\ mathrm {tr}} (\ varphi) = {\ mathrm {tr}} (\ varphi).

Să ne gândim acum la $\pi _{g},\ \rho _{g}$ ${\ displaystyle \ pi _ {g}, \ \ rho _ {g}}$ $\ pi _ {g}, \ \ rho _ {g}$ ca în matrici și se notează componentele cu $\pi _{ij}(g)$ ${\ displaystyle \ pi _ {ij} (g)}$ $\ pi _ {{ij}} (g)$ Și $\rho _{hk}(g)$ ${\ displaystyle \ rho _ {hk} (g)}$ $\ rho _ {{hk}} (g)$ cu $1\leq i$ ${\ displaystyle 1 \ leq i}$ $1 \ leq i$ , $j\leq m$ ${\ displaystyle j \ leq m}$ $j \ leq m$ , $1\leq h$ ${\ displaystyle 1 \ leq h}$ $1 \ l și q h$ , $k\leq n$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ $k \ leq n$ . De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp închis algebric de caracteristică care nu împarte ordinea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , afirmațiile anterioare traduse în termeni matriciali devin următoarele.

De sine $\pi \not \cong \rho$ ${\ displaystyle \ pi \ not \ cong \ rho}$ $\ pi \ not \ cong \ rho$ asa de
${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\pi _{ij}(g)\rho _{hk}(g^{-1})=0.$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ pi _ {ij} (g) \ rho _ {hk} (g ^ {- 1}) = 0. }$ ${\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {{g \ in G}} \ pi _ {{ij}} (g) \ rho _ {{hk}} (g ^ {{- 1} }) = 0.$
De sine $\pi =\rho$ ${\ displaystyle \ pi = \ rho}$ $\ pi = \ rho$ asa de
${\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\pi _{ij}(g)\pi _{hk}(g^{-1})={\frac {1}{n}}\delta _{ik}\delta _{jh}.$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ pi _ {ij} (g) \ pi _ {hk} (g ^ {- 1}) = {\ frac {1} {n}} \ delta _ {ik} \ delta _ {jh}.}$ ${\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {{g \ in G}} \ pi _ {{ij}} (g) \ pi _ {{hk}} (g ^ {{- 1} }) = {\ frac {1} {n}} \ delta _ {{ik}} \ delta _ {{jh}}.$

Aici simbolul $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ este delta Kronecker .

Prima relație de ortogonalitate

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp închis algebric cu caracteristică zero. Amintiți-vă că, conform teoremei lui Maschke, fiecare caracter al unui grup generic $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este scris ca suma caracterelor ireductibile.

Să luăm în considerare următoarea formă bilineară simetrică nedegenerată pe spațiul vectorial al funcțiilor $G\to K$ ${\ displaystyle G \ to K}$ $G \ to K$ :

B(\phi ,\psi ):={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\phi (g)\psi (g^{-1}).

{\ displaystyle B (\ phi, \ psi): = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ phi (g) \ psi (g ^ {- 1}). }

B (\ phi, \ psi): = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {{g \ in G}} \ phi (g) \ psi (g ^ {{- 1}}) .

Rezultatul anterior implică faptul că dacă $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ sunt două caractere ireductibile în raport cu două reprezentări ale unui grup finit $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe spații vectoriale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , atât pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , valoarea a $B(\chi ,\theta )$ ${\ displaystyle B (\ chi, \ theta)}$ $B (\ chi, \ theta)$ este 1 dacă $\chi =\theta$ ${\ displaystyle \ chi = \ theta}$ $\ chi = \ theta$ și este 0 dacă $\chi \neq \theta$ ${\ displaystyle \ chi \ neq \ theta}$ $\ chi \ neq \ theta$ . Acest rezultat se numește prima relație de ortogonalitate a lui Schur .

Prima relație de ortogonalitate are consecințe extrem de importante:

Caracterele ireductibile distincte sunt liniar independente . Sunt într-adevăr $\chi _{1},\dots ,\chi _{s}$ ${\ displaystyle \ chi _ {1}, \ dots, \ chi _ {s}}$ $\ chi _ {1}, \ dots, \ chi _ {s}$ caractere distincte ireductibile ale grupului finit $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , și merită $a_{1}\chi _{1}+\dots +a_{s}\chi _{s}=0$ ${\ displaystyle a_ {1} \ chi _ {1} + \ dots + a_ {s} \ chi _ {s} = 0}$ $a_ {1} \ chi _ {1} + \ dots + a_ {s} \ chi _ {s} = 0$ cu $a_{1},\dots ,a_{s}\in K$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {s} \ în K}$ $a_ {1}, \ dots, a_ {s} \ în K$ . Apoi pentru fiecare $i=1,\dots ,s$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, s}$ $i = 1, \ dots, s$ da ai
$0=B(a_{1}\chi _{1}+\dots +a_{s}\chi _{s},\chi _{i})=a_{i}B(\chi _{i},\chi _{i})=a_{i}$ ${\ displaystyle 0 = B (a_ {1} \ chi _ {1} + \ dots + a_ {s} \ chi _ {s}, \ chi _ {i}) = a_ {i} B (\ chi _ { i}, \ chi _ {i}) = a_ {i}}$ $0 = B (a_ {1} \ chi _ {1} + \ dots + a_ {s} \ chi _ {s}, \ chi _ {i}) = a_ {i} B (\ chi _ {i}, \ chi _ {i}) = a_ {i}$ .
Numărul de caractere ireductibile ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este mai mic sau egal cu numărul de clase de căsătorie din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Sunt într-adevăr $C_{1},\dots ,C_{t}$ ${\ displaystyle C_ {1}, \ dots, C_ {t}}$ $C_ {1}, \ dots, C_ {t}$ clasele de căsătorie ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Data $C=C_{i}$ ${\ displaystyle C = C_ {i}}$ $C = C_ {i}$ putem lua în considerare funcția $f_{C}:G\to K$ ${\ displaystyle f_ {C}: G \ to K}$ $f_ {C}: G \ to K$ care valorează 1 din $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și 0 din $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Se pare că funcționează $f_{C_{1}},\dots ,f_{C_{t}}$ ${\ displaystyle f_ {C_ {1}}, \ dots, f_ {C_ {t}}}$ $f _ {{C_ {1}}}, \ dots, f _ {{C_ {t}}}$ sunt liniar independente și fiecare caracter este o combinație liniară a acestora, deci pentru punctul anterior caracterele ireductibile ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Sunt cel mult $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .
Lasa-i sa fie $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ personajele reprezentărilor ireductibile $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , și presupunem că $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ este ireductibil. Apoi multiplicitatea $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ în $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Este egal cu $B(\theta ,\chi )$ ${\ displaystyle B (\ theta, \ chi)}$ $B (\ theta, \ chi)$ . Cu alte cuvinte, ziceri $\chi _{1},\dots ,\chi _{s}$ ${\ displaystyle \ chi _ {1}, \ dots, \ chi _ {s}}$ $\ chi _ {1}, \ dots, \ chi _ {s}$ personaje ireductibile astfel încât $\theta =\chi _{1}+\dots +\chi _{s}$ ${\ displaystyle \ theta = \ chi _ {1} + \ dots + \ chi _ {s}}$ $\ theta = \ chi _ {1} + \ dots + \ chi _ {s}$ (există după teorema lui Maschke ), avem asta
$B(\theta ,\chi )=B(\chi _{1},\chi )+\ldots +B(\chi _{s},\chi )$ ${\ displaystyle B (\ theta, \ chi) = B (\ chi _ {1}, \ chi) + \ ldots + B (\ chi _ {s}, \ chi)}$ $B (\ theta, \ chi) = B (\ chi _ {1}, \ chi) + \ ldots + B (\ chi _ {s}, \ chi)$
În plus $B(\chi _{i},\chi )$ ${\ displaystyle B (\ chi _ {i}, \ chi)}$ $B (\ chi _ {i}, \ chi)$ merita $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ dacă și numai dacă $\chi _{i}=\chi$ ${\ displaystyle \ chi _ {i} = \ chi}$ $\ chi _ {i} = \ chi$ , altfel se aplică $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ . În special, scrierea unui personaj ca o sumă de caractere ireductibile este unică.
Este $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ un personaj al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Da, da $B(\chi ,\chi )\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle B (\ chi, \ chi) \ in \ mathbb {N}}$ $B (\ chi, \ chi) \ in {\ mathbb {N}}$ Și $B(\chi ,\chi )=1$ ${\ displaystyle B (\ chi, \ chi) = 1}$ $B (\ chi, \ chi) = 1$ dacă și numai dacă $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ este ireductibil. De fapt spus $\chi =m_{1}\chi _{1}+\dots +m_{s}\chi _{s}$ ${\ displaystyle \ chi = m_ {1} \ chi _ {1} + \ dots + m_ {s} \ chi _ {s}}$ $\ chi = m_ {1} \ chi _ {1} + \ dots + m_ {s} \ chi _ {s}$ descompunerea $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ ca sumă de caractere ireductibile, avem:
$B(\chi ,\chi )=m_{1}^{2}+\ldots +m_{s}^{2}.$ ${\ displaystyle B (\ chi, \ chi) = m_ {1} ^ {2} + \ ldots + m_ {s} ^ {2}.}$ $B (\ chi, \ chi) = m_ {1} ^ {2} + \ ldots + m_ {s} ^ {2}.$
Se spune că personajul principal al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și este indicat cu $\chi _{1}$ ${\ displaystyle \ chi _ {1}}$ $\ chi _ {1}$ sau mai simplu cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ personajul astfel încât $\chi _{1}\left(g\right)=1$ ${\ displaystyle \ chi _ {1} \ left (g \ right) = 1}$ $\ chi _ {1} \ left (g \ right) = 1$ pentru fiecare $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ $g \ în G$ . Este un personaj ireductibil având în vedere că $B(1,1)=1$ ${\ displaystyle B (1,1) = 1}$ $B (1.1) = 1$ . Pentru fiecare personaj ireductibil $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ diferit de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ prima relație de ortogonalitate spune că $B(\chi ,1)=0$ ${\ displaystyle B (\ chi, 1) = 0}$ $B (\ chi, 1) = 0$ , este următoarea egalitate:
$\sum _{g\in G}\chi (g)=0.$ ${\ displaystyle \ sum _ {g \ în G} \ chi (g) = 0.}$ $\ sum _ {{g \ în G}} \ chi (g) = 0.$
Lema lui Burnside spune pur și simplu că dat un caracter de permutare $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ relativ la o acțiune tranzitivă pe care o avem $B(\chi ,1)=1$ ${\ displaystyle B (\ chi, 1) = 1}$ $B (\ chi, 1) = 1$ , adică $\chi =1+\theta$ ${\ displaystyle \ chi = 1 + \ theta}$ $\ chi = 1 + \ theta$ pentru un caracter adecvat $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ care nu are 1 în descompunere. De cand
$B(\chi -1,\chi -1)=B(\chi ,\chi )-1=r-1$ ${\ displaystyle B (\ chi -1, \ chi -1) = B (\ chi, \ chi) -1 = r-1}$ $B (\ chi -1, \ chi -1) = B (\ chi, \ chi) -1 = r-1$
unde este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este rangul grupului de permutare $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , putem de exemplu deduce că $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este 2-tranzitiv dacă și numai dacă caracterul său este scris ca $1+\theta$ ${\ displaystyle 1+ \ theta}$ $1+ \ theta$ pentru un caracter ireductibil $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ care nu are $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în descompunere.
Reprezentarea regulată a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este reprezentarea liniară asociată cu acțiunea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ prin multiplicare spre dreapta. Deoarece numărul de puncte fixe ale fiecărui element neidentic din această reprezentare este egal cu zero, caracterul său este următorul: $\chi (g)=0$ ${\ displaystyle \ chi (g) = 0}$ $\ chi (g) = 0$ de sine $g\neq 1$ ${\ displaystyle g \ neq 1}$ $g \ neq 1$ , Și $\chi (1)=|G|$ ${\ displaystyle \ chi (1) = | G |}$ $\ chi (1) = | G |$ . Lasă-i să fie acum $\chi _{1},\dots ,\chi _{s}$ ${\ displaystyle \ chi _ {1}, \ dots, \ chi _ {s}}$ $\ chi _ {1}, \ dots, \ chi _ {s}$ personajele ireductibile ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Calculăm
$B(\chi ,\chi _{i})={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi (g)\chi _{i}(g^{-1})={\frac {1}{|G|}}\cdot |G|\cdot \chi _{i}(1)=\chi _{i}(1).$ ${\ displaystyle B (\ chi, \ chi _ {i}) = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ in G} \ chi (g) \ chi _ {i} (g ^ {- 1}) = {\ frac {1} {| G |}} \ cdot | G | \ cdot \ chi _ {i} (1) = \ chi _ {i} (1).}$ $B (\ chi, \ chi _ {i}) = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {{g \ in G}} \ chi (g) \ chi _ {i} (g ^ {{-1}}) = {\ frac {1} {| G |}} \ cdot | G | \ cdot \ chi _ {i} (1) = \ chi _ {i} (1).$
Cu alte cuvinte, fiecare caracter ireductibil apare ca o componentă ireductibilă a reprezentării regulate a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cu multiplicitate egală cu gradul său. Spus $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ gradul de $\chi _{i}$ ${\ displaystyle \ chi _ {i}}$ $\ chi _ {i}$ pentru $i=1,\dots ,s$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, s}$ $i = 1, \ dots, s$ , prin urmare avem $n_{1}^{2}+\dots +n_{s}^{2}=B(\chi ,\chi )=|G|$ ${\ displaystyle n_ {1} ^ {2} + \ dots + n_ {s} ^ {2} = B (\ chi, \ chi) = | G |}$ $n_ {1} ^ {2} + \ dots + n_ {s} ^ {2} = B (\ chi, \ chi) = | G |$ . Această egalitate se numește suma pătratelor formula o $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -Teorema Burnside .

A doua relație de ortogonalitate

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup finit și sunt $\chi _{1},\ldots ,\chi _{s}$ ${\ displaystyle \ chi _ {1}, \ ldots, \ chi _ {s}}$ $\ chi _ {1}, \ ldots, \ chi _ {s}$ reprezentările sale ireductibile pe teren $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ de numere complexe. Date $h,g\in G$ ${\ displaystyle h, g \ în G}$ $h, g \ în G$ da ai